ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 26 novembre 2004
Feuille d’Exercices : Suites N
◦1
Exercice 1: Soituune suite de nombres entiers relatifs qui converge vers un r´eel`. Montrez que uest stationnaire.
Exercice 2: Etudiez la monotonie des suites 1. un=
n
X
k=0
1 2k −n 2. un= n!
2n+1
3. un= lnn
n , pourn≥1 4. un=
2n
X
k=0
(−1)k k+ 1
Exercice 3: Soit (un)n∈N? une suite born´ee de nombres r´eels v´erifiant :
∀n∈N?, 2un≤un+1+un−1
1. Montrez que la suite (vn) de terme g´en´eralvn =un+1−un converge.
2. Montrez que (vn) est convergente de limite nulle.
Exercice 4: On consid`ere la suiteS d´efinie par∀n∈N?, Sn =
n
X
k=0
1 2n+ 2k−1. 1. Etudiez la monotonie deS.
2. Montrez queS est convergente
3. D´eterminez un encadrement de la limite.
Exercice 5: Suite r´ecurrenteSoitula suite d´efinie par
u0=−2
∀n∈N, un+1= 2un
3−un
Dans cet exercice nous pr´esentons une m´ethode -ce n’est pas la seule !- pour d´emontrer que u converge.
1. D´emontrez queuest major´ee par 0.
2. Etudiez la monotonie deu.
3. Conclure `a la convergence deu.
4. D´eterminez sa limite.
Exercice 6: Comparaisons
Etudiez la convergence des suites d´efinies par :
∀n≥1, un=
n
X
k=1
√ 1
n+k vn=
1 + sinn 2
n1
Exercice? 7: Suite d´efinie implicitement
On consid`ere pourn∈N? la fonction polynomiale d´efinie pour toutx∈Rpar : pn(x) =xn+xn−1+· · ·+x−1
1. En ´etudiant la fonction polynomialepn, d´emontrez qu’elle poss`ede une unique racine positive not´eeun.
1
2. D´emontrez que∀n∈N?,pn(un+1)<0. En d´eduire le sens de variation de la suite (un) et d´emontrez qu’elle converge.
3. Simplifiez l’expression de pn(x) pourx6= 1 et en d´eduisez-en la limite de la suite (un).
Exercice8: Soituune suite d´ecroissante, convergente de limite nulle. On ´etudie la suiteSd´efinie par :
∀n∈N, Sn=
n
X
k=0
(−1)k uk
1. Montrez que les suites (S2k) et (S2k+1) sont adjacentes.
2. En d´eduire que la suiteS converge et que sa lmite`v´erifie :
∀n∈N, |un−`| ≤un+1
Exercice 9: Soit 0< b < a. On consid`ere les suites imbriqu´ees d´efinies par
u0=a v0=b
∀n∈N un+1= un+vn
2 vn+1= 2unvn un+vn
.
1. D´emontrez par r´ecurrence que ∀n∈N, vn< un.
2. D´emontrez quev est croissante et queuest d´ecroissante.
3. (a) V´erifiez que∀n∈N, 0< un+1−vn+1<1
2(un−vn) (b) En d´eduire que les suitesuet v sont adjacentes.
4. D´eterminez la limite commune des suitesuetv.
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