Chapitre 1 Espaces vectoriel normés

(1)

Chap 1 : Espaces vectoriels normés

Inégalités classiques

1/

2 2 2

2 1/2

1 1 1

1/

2 2 2

2 2

2 1/2

2 2

1 1 1

(( ) ,( ) ) ( ) | | | |

) )

(( ) ,( ( ) | | | | |

) )

|

( )( ( 0

Cauchy-Schwarz :

Minkowski (I) :

n n n

i

i i i

n n n

i n

i i i i i i i

n i

i

i i i

i i i i i i

i i i

x y x

u v u u v

v v

y

v u

v

u u

  

   

      

   

    

      

    

   



  



  

^¹^/2 ^(mettre²^CS⁾



( [0,1]

2 2

)

( ) 1 , 1 1

max 1 1

n i i

i

i j i j i i i

x i j

x x x y x i

x n

n x

x y

 

     

   

  

2 1 1 2 1 1

( , ) ]1;p q [ tq 1, ( , ) , ^p ^q

p q   _  p q

        

2

1/ 1/

1 1

2

1

/ /

(

1 1

( , ) ]1; [ 1

(( ) ,( ( ) |

( )) ( (

) ) | |

| )

(lemme sur ) )

Holdër : tq

p q

n n n

p q

i

i i

n i i i

i i

p p q q

i i

i

i i

p q p q

u v x

v y

u v u x

   x

   

   

       

 

    

1/

( ) 1/

1 1 1 (

1 1

1, ( / 1 ( max

) ) )

i i

p

n q n p

n

i

i p

i i

n n

i i i y i i i

i i

q S i

i

S y x

y

p y x x y

q x x

 

   

 

    

           

















1/ 1/ 1/

1 2

1 1

]1; [ (( ) ,( ) ) ( ) | | | | | |

Minkowski (II) :

p p p

n n n

p p p

i

i n

i i i i i i i

i i

p u v u v u v

  

     

          





 



 





1 1 1

( ... ) ... 1( . .. )

Inégalité arithmético-géométrique : x _n ⁿ, ⁿ x _n x _n

x _ x n  x

 

I. Normes

est un avec ou

E ev E

1 2 3

2

:

( ) , ( ) 0 0 ( )

( ) , , ( ) | | ( )

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( , )

Une norme sur est une application vérifiant :

séparation

sous-additivité / inégalité triangulaire est alors u

E N E

N x E N x x

N x E N x N x

N x y E N x y N x N y

E N

  

 

    

    

    

n espace vectoriel normé (evn)

1 2

: ( ) ( )

Une application p E _ vérifiant N et N est une semi-norme

2 2

[0,1], ( , ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )

( , ) , | ( ) ( ) | ( ) 1

2

* Convexité :

* est lipschitzienne pour elle-même

* Sur la droite , il y a vecteurs normés si , une infinité si

x y E N x y N x N y

x y E N x N y N x y N

x

    

        

     

  (cercle unité)

 

1

1/2 2

2

([ , ], ), | | | |2

([ , ], ) ([ , ], )

Sur (CV en moyenne) (CV en moyenne quad)

et sont des semi-normes sur , ce sont des normes sur

pm

b

a a

pm

a b a b f f f b f

a b a b

 







C

C C

(2)

1

3 3

2 2

:

( ) ( , ) ( , ) 0

( ) ( , ) ( , ) ( , )

( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

Une distance sur (ensemble) est une application vérifiant :

est alors un espace métrique

X d X

d x y X d x y x y

d x y X d x y d y x

d x y z X d x y d x z d z y X d

 

    

  

   

II. Boules, sphères, parties bornées

( ,E ) evn. Sur E2, on pose d x y( , ) x y ( , )X d espace métrique

( , ) ( ) 0 : ( , ) { / ( , ) }

( ) : ( , ) { / ( , ) }

( ) : ( ,

Soient La boule ouverte de centre et de rayon

La boule fermée de centre et de rayon La sphère de centre et de rayon

a r E i r a r a r x E d a x r

ii a r a r x E d a x r

iii a r S a r

      

  

B B

) {x E d a x/ ( , )r}

2

.

(1) ( , )

(2) , 0 ( , )

(3) { ( , } / ( , ) } Soit On a équivalence entre :

Il existe une boule ouverte de qui contient tq

est borné On dit alors que est une partie bornée de

A X

a R X A

a X R A a R

d x y x y A

A X



    



B B

( , ) 2

: ( ) ( ) sup ( , ) ( ) 0

Diamètre d'une partie bornée de

La notion de borné dépend de la norme en dimension infinie

x y A

A X diam A d A d x y _ diam



    

III. Fonctions bornées, lispschitziennes

: 0 ( )

sup ( )

ensemble, evn. Une fonction est bornée si : tq , On pose

x X

X E f X E M x X f x M

f _ f x



     



/ , ( )

maj :

bornée maj et min

f M x X f x M

E f f

    

   

(x_{n n}) est bornée si    M 0, n ,x_n M

( ) : ( )

Si x_n _n non bornée,   st croissante tq ^t x__n _n_

En dimension infinie, la notion de convergence dépend de la norme

2

) :

( , ) ,

( , )

( ) )

(

, evn. est lispschitzie

evn,

est le rapport de Lispsch nne si

itz de

E F

F E

A f A F k

x y

E F

A f x f y k x y k f

 

    



IV. Convergence des suites dans un evn

( ,E ) evn

,

(x_{n n}) E converge lorsqu'il existe lE tel que   0,  n_ ,  n n x_nl  (x_n) CV vers l( x_n l )_n_ tend vers dans 0

(3)

La limite est unique, si elle existe : on la note lim

Une suite convergente est bornée. La limite suit les combinaisons linéaires.

n xn



 ou

( , , , ) ( , , )

Une algèbre est telle que est un

est une application bilinéaire de vers

A A ev

A A A

    



. : , est linéaire, aussi, et se développe comme un produit (non comm.) L'algèbre est commutative si l'est, associative si l'est, unitaire si admet un élément neutre

i e  x A y x y y y x

( ,A ) est une algèbre normée si ( ,A ) est un evn et : ( , )x y A2, x y  x y ( xⁿ  x ⁿ)

( , ) {X  f  ( , )X bornée munie des lois naturelles et de } _

B F

(( ) ,( ) ) ( )2 lim lim '

algèbre normée. _{n n} _{n n} ⁿ , _n , _n _n _n converge vers

n n

A x y A x l y l x y l l

 

   

V. Convergence dans les espaces de fonctions

ensemble, evn

X E

( ) ( , ) , ( ( ))

( ) lim ( )

converge simplement si, converge est la limite simple de

n n

n

n n

n n

f X E x X f x

X E

f f

x f x



  

 



F

, ,

0 / ( ) ( )

Convergence simple  x X,    , n_x_  n n_x , f_n x  f x 

( ) ( , )

0, / , , ( ) ( ) ( sup ( ) ( ) )

converge uniformément vers lorsque :

x X n n

n n

f X E f

n n x X f x f x

n_ _ f x x f

  



            

F

La convergence uniforme implique la convergence simple. La réciproque est FAUSSE

0

bornée à partir d'un certain rang

CVU n

n

f f

f f _

 

    



²



^1/2

1

2

( ) ([ , ], ) ([ , ], ) 0 | | 0

( ) ([ , ], ) 0 | | 0

converge en moyenne vers lorsque : converge en moyenne quadratique vers lorsque :

n n n n

n n n

a

a n

b

f a b f a b f f f f

f a b f f f f f

      

     



C C

C

1

*

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /

Ces notions sont distinctes : mais l'inverse est faux

Césaro : _{n n} , _k tq CV vers

n

k k n n k k k

k n

n k

k

CVU CVMQ CVM

x E l   y  x  l

 



 

   

           

   



 



2 1 1 1

1

1/

( )( )

ln ([ , ]

)

~ , )

+ Cesaro mm li ( ,

m,

n n n

n n

n

n b

n n

n a

f f f I f

I

f a b I f I I

I a

I

M b f

M





  

   

 

   

 

   

C

*

in

{ } f

CV dans Div euclid,

n n

p

n m p

m

l u

p u u u u

    n    

(4)

VI. Extractions, valeurs d’adhérence

Un extraction est une application :  strictement croissante

, ( ) La composée de 2 extractions est une extraction. Si extraction,   n  n n partie infinie de . Il existe extraction telle que ( )

A  A

(0) minA ( )n min( \A { (0)... (n 1)}) surj : p.absurde : a A\ ( ) a

            

un ensemble X

: , ( )

est extraite de s'il existe strictement croissante tq : _n _n

vX uX    n v u_

non majorée extraction tq ( )_n strictement croissante

u u

u

 

   

0   0, extraction tq  n u, __{( )}_n 

// //

Procédé diagonal :

HP (apcr = à partir d’un certain rang)

0

( ) ...

. , , ( ) ( ... ) ( )

: ... ( )

famille d'extractions. extraction tq soit extraite apcr de TOUTES les extractions extraction tq ,

par exemple :

k

k p

p p p p p

n

i e p N n N n n

n n

    

    

  



       

VII. Valeurs d’adhérence

( )

, .

0, , /

0, { / }

( )

On a équivalence entre :

est infini extraction tq converge en est alors appelée valeur d'adhérence de

n

n n

n

u E a A

N n N u a

n u a

u a

a u



 



 

      

     



 



( ) ( )

( )

Si converge vers , est l'unique valeur d'adhérence de possède au moins une sous-suite monotone

n n n n

n

u l l u

u 

Preuve : A {n / k n u, _k u_n} Si ,  A( ) avec extraction. Si fini, maj A con str par rec Bolzano-Weierstrass : Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence

Toute suite réelle possède une valeur d'adhérence dans .

Toute suite complexe bornée possède au moins une valeur d'adhérence. Idem pour ^p (u_n)_n suite réelle bornée. (u_{n n}) converge(u_{n n}) possède AU PLUS une valeur d'adhérence

Preuve : (u_n) non CV vers unique a v a. .(u__{( )}_n ) tq n u, __{( )}_a   a  bornée+BW2 v.a^e 

VIII. Suites de Cauchy

( ,E ) evn. uE est de Cauchy si :     0, n_ / ( , ) m n  2,(mn_ et nn_  u_nu_m ) Toute suite convergente est de Cauchy. Toute suite de Cauchy est bornée.

(5)

de Cauchy. convergente possède au moins une valeur d'adhérence

uE u u

( , )

L'evn E est complet si toute suite de Cauchy converge , ,( ⁿ, _) sont complets

IX. Suites récurrentes réelles

2 2 1

1

, ( ) ( )

( ) ( )

Si est monotone

Si , et , sont monotones

n n

n

f u

u f u

f f f u u



  



( , ) : est strictement contractante si : ]0,1[, ( , ) 2, ( ) ( )

A E f AE  k  x y A f x  f y k xy

1 0

:[ , ] [ , ] ! [ , ] ( )

[ , ] ( )

( )

Si est strictement contractante, tq

De plus, toute suite _{n n} ⁿ telle que est correctement définie et converge vers

n n

f a b a b l a b f l l

u a b

u l

u _ f u

   

 

  

Preuve : g  f Id + TVI. |u_n_₁l|| (f u_n) f l( ) |k u| _n  l| kⁿ^¹|u₀l|

1( , ) intervalle de .

I f C I I

/ / / /

.

| '( ) | 1

( ) 0 [ ; ]

Points attractifs, répulsifs : point fixe de On dit que est : attractif si

neutre si répulsif si

Si est attractif, tq soit stable

HP l f l

f l f l

f l

i l  J l  l  I

 

 

 

      

1

0 1 ( )

( ) ( , ( ) ( ) )

par

Pour toute suite telle que et , converge vers

Si est répulsif et si vérifie et , la suite est stationnaire

n n

n

n n

f

u u J u f u u l

ii l u I n u _ f u u l u

  

   

Preuve : ) tq | '( ) | 1. ¹ / ,| ( ) ( ) | | '( ) || |

EAF J

i k f l k f J x J f x f l f c x l k

  C         

1 1

) : , _n , ⁿ | '( ) | . tq | '( ) | 1. Pour grand : | _{n p} |

n n

u l un l

ii ABS n u l f l k f l k n k u l

u l u l



 

 

         

 

1

1 1

( )

| | | | ...

Techniques utiles :

Pour avoir un équivalent d'une suite , chercher tel que converge Pour étudier une expression du type , penser à diviser par

n n

n n n

u f u

u u

z z z

 

 



 

