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Un exemple d’espace topologique non quasi-compa où toute suite possède une valeur d’adhérence
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Soient E un ensemble indénombrable et Pω(E) l’ensemble des parties dénombrables de E.
PourX∈Pω(E), on note
ΩX={Y∈Pω(E)/ Y ⊂X}
Pour toutX, Y ∈Pω(E), on aΩX∩ΩY=ΩX∩Y, si bien que l’ensemble B={ΩX/ X∈Pω(E)}
eune base d’ouverts d’une certaine topologieT surPω(E).
•L’espace (Pω(E),T ) n’epas quasi-compa. En effet, la familleBeun recouvrement d’ouverts dePω(E) et si l’on pouvait en extraire un recouvrement fini{ΩX1,· · ·,ΩXn, alors pour toutX ∈ Pω(E), on auraitX⊂X1∪ · · · ∪Xn. Les partiesX1,· · ·, Xn étant dénombrables, il en ede même deX1∪ · · · ∪Xn. L’ensembleEétant indénombrable, la partieE−X1∪ · · · ∪Xnl’eaussi et il exie donc une partieX⊂E−X1∪ · · · ∪Xndénombrable, ce qui conitue une absurdité.
•Toute suite (Xn)nd’éléments dePω(E) converge pourT (et donc possède une valeur d’adhérence).
En effet, les parties Xn étant dénombrables, il en e de même de la partie X =S
nXn. Si Ω désigne un ouvert contenantX, alors par définition de la topologieT , il exieY ∈Pω(E) telle queX∈ΩY ⊂Ω. La conditionX∈ΩY équivaut à l’inclusionX⊂Y et comme pour toutn≥0, Xn⊂X⊂Y, on en déduit queXn∈ΩY⊂Ω. L’élémentXedonc bien une limite de la suite (Xn)n.
