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D159 - A chacun son tour

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Academic year: 2022

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(1)

Un point P à l’intérieur d’un triangle ABC se projette en D,E et F sur les droites BC,CA et AB.

Déterminer la position de P dans les quatre cas suivants : - le produit PD.PE.PF est maximal,

- la somme DE + EF + FD est minimale, - la somme BD2 + CE2 + AF2 est minimale,

- la somme BC/PD + CA/PE + AB/PF est minimale.

1) Les aires de PBC, PCA, PAB varient proportionnellement à PD, PE et PF. Leur produit est maximal lorsque PD.PE.PF l’est ; or, leur somme est constante, égale à l’aire de ABC, donc leur produit est maximal lorsque les trois sont égales : PA, PB, PC sont les médianes, et P est le centre de gravité du triangle.

2) Si D1 et D2 sont les symétriques de D par rapport à AB et AC respectivement, puisque DE=D2E et FD=FD1, DE+EF+FD sera minimale si les points D1FED2

sont alignés, et alors DE+EF+FD=D1D2 ; par ailleurs, l’angle D1AD2 est le double de BAC, donc D1D2 est proportionnel à AD1=AD, qui est minimum si AD est une hauteur. De même pour BE et CF : P est alors l’orthocentre de ABC.

D159 - A chacun son tour

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