D159 Chacun son tour
Solution proposée par Pierre Letreurtre
Q1 : Maximum de PD * PE * PF
Soit la droite parallèle à AB qui coupe AC en M et BC en N.
Quand P évolue le long de MN, PF reste constant, PE reste dans un rapport constant avec PM et de même PD avec PN.
Le maximum de PD * PE coïncide avec celui de PM * PN, donc P est sur la médiane issue de C.
Par extension, P est au barycentre de ABC.
Q2 : Minimum de DE + EF + FD
Un peu de physique d'abord : remplaçons DEF par un élastique idéal qui assure la même tension en tous ses points, et D, E et F par des poulies glissant sans frottement sur les cotés de ABC.
Pour chacun des points D, E et F, si les angles de part et d'autre de la perpendiculaire au coté ne sont pas égaux, la composante des 2 forces le long du coté n'est pas nulle et le point se déplace jusqu'à ce que cette condition soit remplie.
Donc P est le centre du cercle inscrit dans DEF.
Soient a = FDP = EDP b = FEP = DEP c = DFP = EFP
En utilisant le fait que les quadrilatères AEPF, BDPF et CEPD sont inscriptibles, il est facile de montrer que APE + c = APF + b = BPF + a = 90°
et comme 2 * (a + b + c) = 180°, il en résulte que E, P et B sont alignés.
Donc P est l'orthocentre de ABC.
Q3 : Minimum de BD
2
+ CE
2
+ AF
2
BD
2
+ CE
2
+ AF
2
+ PD
2
+ PE
2
+ PF
2
= PA
2
+ PB
2
+ PC
2
Donc BD
2
+ CE
2
+ AF
2
= DC
2
+ EA
2
+ FB
2
Comme les 2 termes sont égaux, le minimum recherché est le même que celui de leur somme, et on peut maintenant raisonner coté par coté :
BD
2
+ CD
2
est symétrique par rapport à la position de D sur BC, donc le milieu de BC est un extrémum, en l'occurrence un minimum.
Donc P est le centre du cercle circonscrit à ABC.
Q4 : Minimum de BC/PD + CA/PE + AB/PF
Décomposons BC en BD + DC, de même pour CA et AB, et recomposons autour de chaque sommet.
Soient a, b et c les angles en A, B et C. Il s'agit maintenant de trouver le minimum de cotg(x) + cotg(a – x) + cotg(y) + cotg(b – y) + cotg(z) + cotg(c – z)
Fixons d'abord l'angle en A :
cotg(x) + cotg(a – x) n'a pas de points singuliers en dehors de 0 et a et est symétrique quand x varie de 0 à a, donc la valeur x/2 est un extrémum, en l'occurrence un minimum.
Donc P est le centre du cercle inscrit dans ABC.
