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A50159. Carr´es `a la file

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Academic year: 2022

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(1)

A50159. Carr´ es ` a la file

Prenant 4 entiers cons´ecutifs, je forme la somme de leurs carr´es. Montrez que

– c’est aussi la somme de 3 carr´es,

– ce ne peut ˆetre la somme de moins de 3 carr´es.

Solution

Soitn le second des entiers de d´epart. On a

(n– 1)2+n2+ (n+ 1)2+ (n+ 2)2 = 4n2+ 4n+ 6.

a) Cette expression s’´ecrit (2n+ 1)2+ 22+ 12, somme de trois carr´es.

b) Comme n2 et n sont de mˆeme parit´e, 4n2 + 4n est multiple de 8. Les restes modulo 8 des carr´es ne pouvant ˆetre que 0, 1 ou 4, on ne peut pas obtenir un reste 6 avec moins de 3 carr´es, il faut au moins 3 carr´es dont les restes sont 1, 1 et 4.

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