B143. Les carr´ es magiques d´ ecimaux
UnCMDest caract´eris´e par les nombres de1`a4plac´es aux coins, seule fa¸con pour que leur total fasse 10. On a le choix de placer les couples 1− 4 et 2−3 sur les diagonales ou sur 2 cˆot´es oppos´es, et il n’y a probablement pas d’avantage `a un choix plutˆot qu’`a l’autre (je prendrai le premier choix). Mais ce placement introduit une contrainte tr`es forte dans la recherche de CMD et interdit les configurations jusqu’`a6×6cases :
2×2: il n’y a pas de carr´e magique d’ordre2(CM Dou pas) 3×3: le nombre caract´eristique (n2×(n2+ 1)
2 ) vaut15. Il faudrait10 sur la case centrale pour compl´eter les diagonales, et on est limit´e `a9.
4×4: le nombre caract´eristique vaut34. Le cˆot´e comprenant les nombres1et 2doit ˆetre compl´et´e par15et16, et il n’existe plus de possibilit´e de compl´eter celui qui comprend1et3.
5×5: le nombre caract´eristique vaut 65. Pour compl´eter les 4 cˆot´es, il faut r´ealiser un total de58 + 59 + 61 + 62 = 240en12nombres, mais le total de 14`a 25vaut seulement234.
6×6: le nombre caract´eristique vaut 111. Pour compl´eter les 4 cˆot´es et les diagonales, il faut r´ealiser un total de104 + 105 + 107 + 108 + 2×106 = 636 en24nombres, mais le total de13`a 36vaut seulement588.
7×7: le nombre caract´eristique vaut175. Pour compl´eter les 4 cˆot´es et les diag- onales, il faut r´ealiser un total de168+169+171+172+2×170−c= 1020−c en 29 nombres (c est le nombre en case centrale). Le total de 21 `a 49 vaut 1015, et la contrainte qui empˆeche les CMDd’ordre<7est donc lev´ee.
Avecc= 5, on devrait utiliser tous les nombres de21`a49uniquement pour les 4 cˆot´es et les diagonales, ce qui semble trop restrictif. Je choisis doncc= 49, et apr`es un grand nombre de tˆatonnements, j’obtiens leCMDsuivant :
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