3.4 Unit´ es d’un corps de nombres

(1)

Université P. et M. Curie (Paris VI), Michel Waldschmidt Deuxième semestre 2006/2007 date de mise à jour:27/03/2007 Master de sciences et technologies 1ère année - Mention :Mathématiques et applications Spécialité :Mathématiques Fondamentales MO11 :Théorie des nombres (12 ECTS)

Troisi`eme partie : Arithm´etique des Corps de Nombres

Fascicule 6 : section 3.4 (12 pages)

3.4 Unit´ es d’un corps de nombres

3.4.1 Enonc´´ e du th´eor`eme de Dirichlet

Uneunité algébriqueest un élément inversible de l’anneau des entiers algébriques.

Lemme 3.14. Pour un entier alg´ebriqueαd’un corps de nombresk, les conditions suivantes sont

´equivalentes

(i)αest une unit´e alg´ebrique.

(ii)N(α) =±1.

(iii)N_k/Q(α) =±1.

D´emonstration. .

L’´equivalence entre (ii) et (iii) est banale, puisque N(α) = N_Q(α)/Q(α) et que N_k/Q(α) = N(α)^[k:Q(α)]

.

Si αest une unité algébrique, d’inverse β, et sik est un corps de nombres contenant α, alors on a d’une part Nk/Q(α) ∈ Z et Nk/Q(β) ∈ Z car α et β sont entiers algébriques, et d’autre part Nk/Q(α)Nk/Q(β) = Nk/Q(αβ) = 1 car αβ= 1. Donc Nk/Q(α) est un élément inversible de Z, ce qui montre (i)⇒(ii).

Enfin siαest un entier algébrique de norme±1, son polynôme minimal surZs’écrit Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+· · ·+a_n−1X+a_n ∈Z[X]

aveca_n =±1, et l’entier alg´ebrique

β =−an(αⁿ⁻¹+a1αⁿ⁻²+· · ·+a_n−1) v´erifieαβ=a²_n= 1, doncβ est l’inverse deα.

Notons qu’il existe desnombresalgébriques de norme±1 qui ne sont pas des unités algébriques : un exemple est

−1 +i√ 15 4

(2)

qui est racine du polynˆome 2X²+X+ 2.

Soientkun corps de nombres etnson degré. D’après le théorème de l’élément primitif1.21, il existeα∈ktel quek=Q(α). On décompose le polynôme irréductibleP ∈Q[X] deαdansR[X] : soientr1 le nombre de facteurs irréductibles de degré 1 etr2 le nombre de facteurs irréductibles de degré 2. Ainsir1+ 2r2=n. Notons α1, . . . , αr1 les racines réelles deP :

P(X) =

r₁

Y

i=1

(X−αj)

r₁+r₂

Y

j=r1+1

(X²+bjX+cj).

Pourr1+ 1≤j ≤r1+r2 le polynômeX²+bjX+cj a deux racines complexes conjuguées, que l’on noteαj etαr₂+j =αj. Ainsi la décomposition deP en facteurs irréductibles dansCest

P(X) =

n

Y

i=1

(X−αj).

Il y anQ-isomorphismesσ1, . . . , σn dek dansC, qui sont d´etermin´es respectivement par σ_j(α) =α_j (1≤j≤n).

Pour 1 ≤ j ≤ r₁ l’image σ_j(k) de k par σ_j est dans R, tandis que σ_r₁_+j et σ_r₁_+r₂_+j sont complexes conjugués pour 1 ≤ j ≤ r₂. L’ensemble {σ1, . . . , σ_r₁} des plongements réels et celui {σ_r₁₊₁, . . . , σ_r₁_+2r₂}des plongements non réels ne dépendent pas du choix de l’élément primitifα.

Leplongement canonique dekest l’applicationQ-lin´eaire injectiveσ:k→R^r¹×C^r² d´efinie par σ(x) = σ₁(x), . . . , σ_r₁_+r₂(x)

.

Le seul choix qui ne soit pas intrinsèque est celui entre un plongement non réel et son conjugué.

On identifieC `a R² parz=<(z) +i=(z) et on note encore σl’applicationQ-lin´eaire de kdans Rⁿ qui envoiex∈ksur

σ₁(x), . . . , σ_r₁(x),< σ_r₁₊₁(x)

,= σ_r₁₊₁(x)

, . . . ,< σ_r₁_+r₂(x)

,= σ_r₁_+r₂(x) .

La structure du groupe des unitésZ^×_k d’un corps de nombreskest donnée par leThéorème de Dirichlet:

Théorème 3.15. Soientk un corps de nombres,n son degré, r₁ le nombre de plongements réels deket2r₂ le nombre de plongements complexes deux-à-deux conjugués complexes. Alors le groupe des unitésZ^×_k dekest un groupe de type fini et de rangr=r₁+r₂−1.

Dire queZ^×_k est un groupe abélien de type fini et de rangrsignifie que d’une part son groupe de torsion, qui est le groupek_tors^× des racines de l’unité contenues dansk, est fini, et d’autre part que le quotientZk/k_tors^× est isomorphe àZ^r: il existerunités1, . . . , rdansZ^×_k, qui sont linéairement indépendantes dansZ^×_k (on ditmultiplicativement indépendantespuisque la loi est multiplicative), telles que toute unité deks’écrive de manière unique

ζ^a₁¹· · ·^a_r^r

avecζracine de l’unité etai∈Z(1≤i≤r). On dit que (1, . . . , r) est un système fondamental d’unités dek si cette propriété est vérifiée, c’est-à-dire si les images de1, . . . , r modulo torsion forment une base du groupe abélien libreZ^×_k/k_tors^× .

La démonstration du théorème 3.15 nécessite quelques préliminaires sur les sous-groupes de Rⁿ.

(3)

3.4.2 Sous-groupes de Rⁿ

Des exemples de sous-groupes deRsont d’une part

{0}, Z et plus g´en´eralementZxpourx∈R et d’autre part

Z+Z√

2, Q et R.

Les sous-groupes de la premi`ere liste sont discrets dansR: un sous-groupeGdeRⁿestdiscret si pour tout compactK deRⁿ, l’intersectionG∩K est finie. Ceux de la deuxi`eme liste sont denses.

On remarquera que l’adh´erence d’un sous-groupe deRⁿ est encore un sous-groupe de Rⁿ. QuandG₁ etG₂sont deux sous-groupes deRⁿ¹ etRⁿ² respectivement, le produitG₁×G₂est un sous-groupe deRⁿ avecn=n1+n2.

Nous allons voir que, dans une certaine mesure, ces remarques permettent de d´ecrire tous les sous-groupes deRⁿ.

Nous commen¸cons par d´ecrire les sous-groupes discrets de Rⁿ.

Lemme 3.16. Un sous-groupe GdeRⁿ est discret dans Rⁿ si et seulement s’il existe un ouvert U deRⁿ contenant 0 tel queG∩U soit discret.

Démonstration. Si G est discret on peut prendre U = Rⁿ. Inversement, si G n’est pas discret, il existe un élément z ∈ Rⁿ qui est un point d’accumulation d’éléments de G : pour tout > 0 il existe x∈ G tel que 0 < |z−x| < et il existe y ∈ G tel que 0 < |z−y| < |z−x|. Alors 0<|x−y|<2, ce qui montre que 0 est point d’accumulation deG.

Exercice. 1. Montrer qu’un sous-groupe non discret deRest partout dense.

2. En d´eduire la liste des sous-groupes ferm´es de R.

3. SoitGun sous-groupe de type fini deR. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur son rang pour queGsoit dense dansR.

4. Soitθ∈R. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur θpour que le sous-groupeZ+Zθ soit dense dansR.

Proposition 3.17. SoitGun sous-groupe discret deRⁿ. Il existe un entiertdans l’intervalle0≤ t≤net des élémentse₁, . . . , e_tdeG, linéairement indépendants surR, tels queG=Ze₁+· · ·+Ze_t. En particulier e1, . . . , etsont linéairement indépendants sur Z, donc Gest libre de rangt. Le nombretest la dimension duR-sous–espace vectoriel deRⁿ engendré parG. La proposition3.17 montre que dans un sous-groupe discret deRⁿ, des éléments linéairement indépendants surZsont automatiquement linéairement indépendants surR.

Définition. Un sous-groupe discret deRⁿde rang maximalnest appeléréseau (en anglaislattice) deRⁿ.

D´emonstration de la proposition3.17. Soitf1, . . . , ftune partie deGlibre surRmaximale. C’est une base du sous-espace vectorielV deRⁿ engendr´e parG. De plusG⁰ =Zf1+· · ·+Zftest un sous-groupe deG. Montrons que G⁰ est d’indice fini dansG.

SoitK un compact deRⁿ contenant

{u1f1+· · ·+utft; 0≤ui<1 (1≤i≤t)}.

(4)

Soitx∈G. Alorsx∈V, donc on peut ´ecrirex=x1f1+· · ·+xtft avecxi∈R. Soit mi= [xi] la partie enti`ere dexi :

mi∈Z, 0≤xi−mi<1 (1≤i≤n).

Posonsx⁰=m1f1+· · ·+mtft. Alorsx⁰∈G⁰ et x−x⁰ ∈G∩K. CommeGest discret,G∩K est fini. Donc le groupe quotientG/G⁰ est fini etG⁰ est d’indice fini dansG.

Soitsl’ordre deG/G⁰ et soitf_i⁰=f_i/s (1≤i≤t). On a

G⁰=Zf₁+· · ·+Zf_t⊂G⊂Zf₁⁰ +· · ·+Zf_t⁰, ce qui permet de conclure grˆace `a la proposition3.13.

Théorème 3.18 (Structure des sous-groupes de Rⁿ). SoitGun sous-groupe additif de Rⁿ. Il existe un plus grand sous-espace vectorielV deRⁿ surRcontenu dans l’adhérence deG. Soient dla dimension deV etd+tla dimension de l’espace vectoriel engendré parGsurR. Posons enfin G⁰ =G∩V. Alors il existe un sous-groupe discret G⁰⁰ de G, discret de rang t, tel que G soit la somme directe deG⁰ etG⁰⁰.

D´emonstration. Pour% >0 notons

B(0, %) ={x∈Rⁿ; kxk ≤%}

la boule euclidienne de rayon%et soitV_% leR-espace vectoriel engendr´e parG∩B(0, %) dansRⁿ. Posons

V = \

%>0

V_%.

L’application%7→dimV%est croissante `a valeurs enti`eres≥0, donc il existe%0>0 tel queV =V%

pour 0< %≤%0.

Montrons queG⁰=G∩V est dense dansV. Soit >0 et soitx∈V. Posons%= min{/d, %0} et soit{e1, . . . , ed}une base deV surRavecei∈G∩B(0, %). On ´ecritx=x1e1+· · ·+xded, on posemi = [xi] (1≤i≤d) ety=m1e1+· · ·+mded. Alorsy∈G⁰ v´erifiekx−yk ≤.

Soit maintenant W le sous-espace deRⁿ engendr´e parG. Comme il contient V sa dimension estd+t avect≥0. SoitV⁰ un suppl´ementaire deV dansW et soitp:W →V⁰ la projection de noyauV.

Montrons que p(G) est un sous-groupe discret de V⁰. Sinon il existerait z ∈ p(G) tel que 0<kzk< avec=%₀/2. Soitw∈Gtel quez=p(w) ; on au=w−z∈V. CommeG⁰ est dense dansV il existew⁰ ∈G⁰ tel que ku−w⁰k< . Alors kw−w⁰k< %₀ etp(w−w⁰) =z6= 0, ce qui signifie quew−w⁰∈Gv´erifiew−w⁰6∈V et contredit le fait queV =V_%₀.

Alorsp(G) est un sous-groupe discret deV⁰ de rangt, donc un r´eseau deV⁰. On en prend une basep(y₁), . . . , p(y_t) et on poseG⁰⁰=Zy₁+· · ·+Zy_t. AinsiG=G⁰⊕G⁰⁰.

Enfin comme G⁰⁰ est discret, V est le plus grand sous-espace vectoriel de Rⁿ contenu dans l’adh´erence deG.

Le théorème3.18permet de préciser la structure des sous-groupes fermés de Rⁿ :

(5)

Corollaire 3.19. SoitGun sous-groupe ferm´e deRⁿ. Il existe un plus grand sous-espace vectoriel V contenu dans G; si W est un sous-espace vectoriel de Rⁿ suppl´ementaire de V, alors W ∩G est un sous-groupe discret deRⁿ, etGest somme directe de V et deW ∩G.

Exercice. Soitx= (x1, . . . , xn)∈Rⁿ. On consid`ere le sous-groupe

G=Zⁿ+Zx={(a1+a0x1, . . . , an+a0xn) ; (a0, . . . , an)∈Zⁿ⁺¹} deRⁿ.

1.Montrer queGest discret dansRⁿ si et seulement six∈Qⁿ. 2.En d´eduire que les conditions suivantes sont ´equivalentes.

(i) 0 est un point d’accumulation deG

(ii) Pour tout >0 il existe des entiers p1, . . . , pn,q, avecq >0, tels que 0< max

1≤i≤n|qxi−pi|< . (iii) L’un au moins desnnombresx₁, . . . , x_n est irrationnel.

3.Montrer queGest dense dansRⁿ si et seulement si les nombres 1, x₁, . . . , x_n sont lin´eairement ind´ependants surQ.

En d´eduire que pour tout (ξ1, ξ2)∈R² et pour tout >0 il existe des entiers rationnelsp1,p2 et qavec

|ξ1−p1−q√

2| ≤ et |ξ2−p1−q√ 3| ≤.

Exercice. On appelle caract`ere deRⁿ tout homomorphisme continu deRⁿ dansR/Z(ou dans le groupe multiplicatifUdes nombres complexes de module 1, cela revient au mˆeme).

1.Vérifier que tout homomorphisme continu du groupe additifRdans lui-même est une application R-linéaire, c’est-à-dire de la formex7→λx, pour unλ∈R. En déduire d’abord que tout homomorphisme continu du groupe additifRdans le groupe multiplicatifR^× est de la formex7→e^λx, ensuite que tout homomorphisme continu du groupe additifRdans le groupe multiplicatifUest de la formex7→eîλx. En déduire que tout homomorphisme continu χ:R→R/Zse factorise en χ=s◦h:

R −−−−−→^h R χ&



 y

s

R/Z

o`us:R→R/Zest la surjection canonique eth:R→Rest une application lin´eaire.

2.Quanduest un élément deRⁿ, l’applicationψu deRⁿdansUdonnée parx7→e^2iπu·x(oùu·x est le produit scalaire standard dansRⁿ) est un caractère de Rⁿ. Vérifier qu’on les obtient tous ainsi. Le noyau deψu est{x∈Rⁿ; u·x∈Z}.

3.En déduire que l’application de HomR(Rⁿ,R) dans le groupe des caractères de Rⁿ qui, à une forme linéaireϕ, associeχϕ: x7→e^2iπϕ(x), est un isomorphisme de groupes. Le noyau de χϕ est ϕ⁻¹(Z).

4.SoitGun sous-groupe de type fini deRⁿ. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes.

(i)Gest dense dansRⁿ.

(ii) Pour tout sous-espace vectorielV deRⁿ distinct deRⁿ, on a rang_Z(G/G∩V)>dimR(Rⁿ/V).

(6)

(iii) Pour tout hyperplanH deRⁿ, on a rang_Z(G/G∩H)≥2.

(iv) Pour toute forme lin´eaire non nulleϕ:Rⁿ −→Ron aϕ(G)6⊂Z.

(v) Pour tout caract`ere non trivialχ deRⁿ, on aχ(G)6={1}.

(vi) Choisissons des générateurs g1, . . . , g` de Gsur Zet écrivons les coordonnées desgj dans la base canonique deRⁿ :

g_j = (g_1j, . . . , g_nj), (1≤j≤`);

pour tout (s1, . . . , s`) dansZ^` distinct de (0, . . . ,0), la matrice







g11 · · · g1`

... . .. ... g_n1 · · · g_n`

s₁ · · · s_`







est de rangn+ 1.

Montrer aussi que dans le cas`=n+ 1, la condition (vi) est équivalente à la suivante : (vii) Lesn+ 1 nombres réels

∆_h= det g_ij

1≤i≤n 1≤j≤n+1, j6=h

, (1≤h≤n+ 1) sont lin´eairement ind´ependants surQ.

Voici une caract´erisation des r´eseaux parmi les sous-groupes discrets d’un sous-espace vectoriel de Rⁿ.

Lemme 3.20. Soient V un sous-espace vectoriel de Rⁿ et soit G un sous-groupe discret deRⁿ contenu dansV. Pour que Gengendre V sur R, il faut et il suffit qu’il existe un ensemble born´e B deV tel que

V = [

g∈G

(B+g).

D´emonstration. SiGcontient une base{e1, . . . , e_n} deV surR, alors B={x₁e₁+· · ·+x_ne_n; 0≤x_i<1 (1≤i≤n)}

convient.

Inversement, si G est contenu dans un sous-espace vectoriel V⁰ de V avec V⁰ 6= V, et si p : V → W est la projection de V sur un suppl´ementaire W de V⁰ dans V, alors pour toute partieB deV on a

p



 [

g∈G

(B+g)



=p(B).

CommeW =p(V) est de dimension≥1, siB est born´e, alorsp(B)6=p(V), donc [

g∈G

(B+g)6=V.

(7)

SoitGun r´eseau deRⁿ. Pour chaque basee={e1, . . . , en}deGle parall´elogramme Pe={x1e1+· · ·+xnen; 0≤xi<1 (1≤i≤n)}

est undomaine fondamental pourG, c’est-à-dire un système complet de représentants des classes moduloG. En écrivant

Rⁿ= [

g∈G

(P_e+g) (3.21)

on obtient une partition deRⁿ.

Le passage d’une base de Gà une autre se fait avec une matrice de déterminant ±1, donc la mesure de Lebesgueµ(Pe) dePe ne dépend pas dee: ce nombre est appeléle volume du réseau Get notév(G).

Voici un exemple des résultats obtenus par Minkowski au XIXème siècle comme application de sagéométrie des nombres.

Théorème 3.22 (Minkowski). Soient G un réseau de Rⁿ et B un sous-ensemble mesurable de Rⁿ. On supposeµ(B)> v(G). Alors il existe xet y distincts dans B tels quex−y∈G.

Démonstration. Grâce à (3.21) on peut écrireB comme réunion disjointe desB∩(P_e+g) avecg parcourantG. Alors

µ(B) =X

g∈G

µ(B∩(P_e+g)). Comme la mesure de Lebesque est invariante par translation on a

µ(B∩(P_e+g)) =µ((−g+B)∩P_e).

Les ensembles (−g+B)∩Pesont tous contenus dansPe et la somme de leurs mesures estµ(B)>

µ(Pe). Donc ils ne sont pas deux-`a-deux disjoints (c’est une des versions duprincipe des tiroirs de Dirichlet). Il existeg6=g⁰ dansGtels que

(−g+B)∩(−g⁰+B)6=∅.

Soientxet y dansB tels que−g+x=−g⁰+y. Alorsx−y=g−g⁰∈G\ {0}.

Corollaire 3.23. SoitGun réseau deRⁿ et soitB un sous-ensemble mesurable de Rⁿ, convexe et symétrique par rapport à l’origine, tel que µ(B)>2ⁿv(G). AlorsB∩G6={0}.

Démonstration. On applique le théorème3.22à l’ensemble B⁰= 1

2B={x∈Rⁿ ; 2x∈B}.

On aµ(B⁰) = 2⁻ⁿµ(B)> v(G), donc il existex6=ydansB⁰tels quex−y∈G. Alors 2xet 2ysont dansB, et commeBest sym´etrique−2y∈B. EnfinBest convexe, donc (2x−2y)/2 =x−y∈G∩B.

Remarque. Avec les notations du corollaire3.23, si on suppose queBest une partie compacte de Rⁿ, alors l’inégalité largeµ(B)≥2ⁿv(G) suffit pour obtenir la conclusion. On le voit par exemple en appliquant le corollaire3.23à (1 +)B avec→0.

(8)

3.4.3 Plongements d’un corps de nombres

Nous utiliserons plusieurs fois la remarque suivante : la somme des modules des coefficients d’un polynˆome

(X−α₁)· · ·(X−α_n)∈C[X]

est major´ee par

(1 +|α1|)· · ·(1 +|αn|). (3.24) Proposition 3.25. L’image de l’anneau des entiersZk de k par le plongement canoniqueσ est un r´eseau deRⁿ.

Démonstration. SiKest un compact deRⁿ, il existe un nombre réelC >0 tel que tout (x₁, . . . , x_n)∈ K vérifie |xi| ≤C (1 ≤i ≤ n). Si x ∈ k est tel que σ(x)∈ K, alors |σi(x)| ≤ C√

2 pour tout i= 1, . . . , n. De (3.24) on déduit que pourx∈Z_k∩σ⁻¹(K) la somme des modules des coefficients du polynôme minimal dexest majorée par (1 +C√

2)ⁿ, donc les polynômes unitaires irréductibles deZ[X] dont ces xsont racines sont en nombre fini. Ainsiσ(Z_k)∩K est fini, et par conséquent σ(Zk) est un sous-groupe discret de Rⁿ. Comme σest un homomorphisme injectif deZ-modules et queZk est de rangn, son imageσ(Zk) est un sous-groupe de rangndeRⁿ.

Le calcul du volume de ce r´eseau se d´eduit de la proposition suivante :

Proposition 3.26. SoitM un sous-Z-module libre dek de rang net soitx1, . . . , xn une base de M sur Z. Alorsσ(M)est un r´eseau deRⁿ de volume

v σ(M)

= 2^−r²

det σ_i(x_j) .

Démonstration. Soitd un entier positif tel quedxi ∈Zk pour 1 ≤i ≤n. Alors dM ⊂Zk. Donc σ(dM) est un sous-groupe d’indice fini deσ(Zk), et il résulte de la proposition3.25queσ(dM) et σ(M) sont des réseaux deRⁿ.

Le volume de σ(M) est la valeur absolue du d´eterminant de la matrice n×n dont la i`eme colonne est

σ₁(x_i), . . . , σ_r₁(x_i),< σ_r₁₊₁(x_i)

,= σ_r₁₊₁(x_i)

, . . . ,< σ_r₁_+r₂(x_i)

,= σ_r₁_+r₂(x_i) . Par combinaison linéaire des lignes, la valeur absolue de ce déterminant est égale au module du déterminant de la matrice dont laième colonne est

σ1(xi), . . . , σr1(xi), σr1+1(xi),(1/2)σr1+1(xi), . . . , σr1+r2(xi),(1/2)σr1+r2(xi) .

On en d´eduit imm´ediatement :

Corollaire 3.27. Le volume du r´eseau σ(Z_k)deRⁿ est 2^−r²|Dk|^1/2 o`u Dk est le discriminant de k.

(9)

Le plongement canonique d’un corps de nombres est utile pour ´etudier la structure additive de l’anneau des entiers. Pour ´etudier la structure multiplicative on introduit le plongement logarithmique λdek: c’est l’application dek^× dansR^r¹^+r² qui envoiex∈k^× sur

λ(x) = log

σ1(x)

, . . . ,log σr₁(x)

,2 log

σr₁+1(x)

, . . . ,2 log

σr₁+r₂(x)

. Comme

N_k/Q(x) =

n

Y

i=1

σ_i(x),

si s: R^r¹^+r² → R est l’application s(t1, . . . , tr₁+r₂) = t1+· · ·+tr₁+r₂, alors pour x∈ k^× on a s◦λ(x) = log|N_k/Q(x)|.

En particulier un élément xde k^× vérifie |N_k/Q(x)|= 1, si et seulement siλ(x) appartient à l’hyperplanH = kersdeR^r¹^+r² d’équationt1+· · ·+tr₁+r₂= 0.

Grˆace au lemme3.14on en d´eduit :

Lemme 3.28. Soitx∈Zk,x6= 0. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (i)x∈Z^×_k

(ii)Nk/Q(x) =±1 (iii)λ(x)∈H.

Le résultat suivant, dû à Kronecker, nous permettra de déterminer le noyau de la restriction deλà Z_k\ {0}:

Lemme 3.29. Si un entier algébrique non nulαa tous ses conjugués complexes de modules ≤1, alorsαest une racine de l’unité.

Démonstration. L’hypothèse surαet la majoration (3.24) impliquent que la somme des modules des coefficients des polynômes minimaux des nombresα^m,m∈Z,m≥0, est bornée par 2^[Q(α):Q], indépendamment de m, donc ces nombresα^mforment un ensemble fini : il existem6=m⁰ tel que α^m=α^m⁰, d’où le lemme3.29.

On d´eduit du lemme3.29

Z_k∩kerλ=k^×_tors.

Comme la fonction d’Eulerϕ(n) tend vers l’infini avecn, le groupe de torsion d’un corps de nombres est fini (donc cyclique).

3.4.4 Th´eor`eme de Dirichlet

Le théorème 3.15 de Dirichlet, qui donne la structure du groupe des unités d’un corps de nombres, est une conséquence de l’énoncé plus précis suivant :

Théorème 3.30. L’imageλ(Z_k)de l’anneau des entiers dekpar le plongement logarithmique est un réseau de l’hyperplanH.

La démonstration du théorème3.30va utiliser plusieurs lemmes auxiliaires.

Lemme 3.31. Pour tout compactK deR^r¹^+r² l’ensemble deα∈Z^×_k tels que λ(α)∈K est fini.

(10)

Démonstration. La majoration (3.24) montre que si K est un compact de R^r¹^+r² les polynômes unitaires irréductibles de Z[X] dont les éléments de λ⁻¹(K)∩Zk sont racines sont en nombre fini.

Il r´esulte du lemme 3.31queZ^×_k est un groupe de type fini, produit direct du groupe finik^×_tors par un groupe libre de type fini et de rangr≤r₁+r₂−1 :

Z^×_k 'k^×_tors×Z^r.

Pour compléter la démonstration des théorèmes3.30et3.15il reste à vérifier quer=r1+r2−1, c’est-à-dire queZ^×_k contient r1+r2−1 éléments multiplicativement indépendants, ce qui revient encore à dire queλ(Z^×_k) engendre l’hyperplan H sur R. Pour cela on part d’un élément z de H et on veut montrer qu’il existe un élément deλ(Z^×_k) à distance bornée de z(pour pouvoir utiliser le lemme3.20). On construit déjà un élémentαdeZk tel queλ(α) ne soit pas trop loin dez, on majore la valeur absolue de la norme de αen utilisant le fait que λ(α) est proche de H, et cela suffit pour approcherλ(α), doncz, par un élément deλ(Z^×_k), grâce au lemme3.32que voici.

Lemme 3.32. Soit κ > 0. Il existe un sous-ensemble fini Γ de Zk tel que tout entier α ∈ Zk

v´erifiant|N_k/Q(α)| ≤κ, puisse s’´ecrire α=γ avec γ∈Γ et∈Z^×_k.

Démonstration. Le seul élément de Zk de norme 0 est 0. Donc si κ <1 le résultat est vrai avec Γ ={0}.

Soit m un entier non nul dans l’intervalle −κ ≤m ≤ κ. L’anneau Zk/mZk est fini ; il n’y a donc qu’un nombre fini d’id´eaux deZk qui contiennentmZk. Siα∈Zkv´erifie Nk/Q(α) =m, alors m∈αZk.

Ceci montre qu’il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux principaux deZ_k ayant un générateur dont la norme a une valeur absolue≤κ. Pour chacun d’eux on choisit un générateurγet on prend pour Γ l’ensemble de cesγ (sans oublier 0).

Lemme 3.33. Il existe une constante κ > 0 ayant la propriété suivante : si λ1, . . . λn sont des nombres réels positifs vérifiant λ1· · ·λn =κ etλr₁+r₂+j =λr₁+j pour 1 ≤j ≤r2, alors il existe α∈Zk tel que

0<|σi(α)| ≤λi pour 1≤i≤n.

D´emonstration. SoitKle compact de R^r¹×C^r² d´efini par

|zi| ≤λi pour 1≤i≤r1+r2. Son volume est

r₁

Y

i=1

(2λi)

r₁+r₂

Y

j=r1+1

πλ²_j= 2^r¹π^r²κ.

On prendκ >(2/π)^r²|D_k|^1/2 de telle sorte que ce volume soit>2^r¹^+r²|D_k|^1/2. Comme le volume deσ(Z_k) est 2^−r²|D_k|^1/2(lemme3.27), on aµ(K)>2ⁿv(σ Z_k)

et il ne reste plus qu’à appliquer le théorème de Minkowski3.23.

Remarque. Sous les hypothèses du lemme 3.33, l’élément α qui est donné par la conclusion satisfait 1≤ |N_k/Q(α)| ≤κ.

(11)

Démonstration du théorème3.30. Soit (t1, . . . , tr₁+r₂)∈H. Posonsnj= 1 pour 1≤j≤r1,nj= 2 pourr1< j≤r1+r2,

λj=κ^1/ne^t^j^/n^j (1≤j≤r1+r2)

et λr₁+r₂+j = λr₁+j pour 1 ≤ j ≤ r2, où κ est la constante dont l’existence est affirmée dans l’énoncé du lemme3.33. Alorsλ1· · ·λn=κ, donc il existeα∈Zk tel que

0<|σ_j(α)| ≤λ_j pour 1≤j≤n

et 1≤ |N_k/Q(α)| ≤κ. Commet1+· · ·+, tr₁+r₂ = 0 on en d´eduit, pour 1≤j ≤r1+r2,

|σj(α)|=|N_k/Q(α)| Y

1≤i≤n i6=j

|σi(α)|⁻¹≥κ^−(n−1)/ne^t^j^/n^j.

Cela montre qu’il existe une constanteκ⁰ telle que, pour tout (t1, . . . , , tr₁+r₂)∈H, il existeα∈Zk

v´erifiant|Nk/Q(α)| ≤κet

1≤j≤,rmax₁+r₂

t_j−n_jlog|σ_j(α)|

≤κ⁰.

On utilise le lemme3.32: soit Γ un sous-ensemble fini deZ_ktel que tout ´el´ementα∈Z_ksatisfaisant

|Nk/Q(α)| ≤κs’´ecrive γ avec∈Z^×_k et γ∈Γ. Alors pour toutt ∈H il existeγ ∈Γ et∈Z^×_k tels que

kt−λ(γ)−λ()k ≤κ⁰,

ce qui montre que siB d´esigne la boule deR^r¹^+r² de centre 0 et de rayon R=κ⁰+ max

γ∈Γ kλ(γ)k, on a

H ⊂ [

∈Z^×_k

B+λ() .

Le lemme3.20permet de conclure queλ(Z^×_k) est un r´eseau deH.

Définition. Un système fondamental d’unités d’un corps de nombresk est un ensemble der= r₁+r₂−1 unités ₁, . . . , _r dans Z^×_k dont les images modulo k^×_tors forment une base du groupe Z^×_k/k_tors^× .

Cela signifie que toute unitédekpeut s’écrire de manière unique ζâ₁¹· · ·â_r^r

avecζ racine de l’unit´e etaj∈Z.

Soitη1, . . . , ηrun ensemble derunités dek. On définit lerégulateurR(η1, . . . , ηr) de ce système d’unités comme le module du déterminant d’un mineur r×r de la matrice (r+ 1)×r dont les colonnes sont

λ(ηj), (1≤j ≤r).

Le fait que la norme deηj soit±1 montre que tous ces mineurs ont le même module. Un système derunités est indépendant (dans leZ-moduleZ^×_k) si et seulement si son régulateur n’est pas nul.

(12)

Lemme 3.34. Soit1, . . . , r un système fondamental d’unités dek et soitη1, . . . , ηr un système indépendant der unités dek. Alors le quotient

R(η1, . . . , ηr)/R(1, . . . , r)

est égal à l’indice du sous-groupe de Z^×_k/k^×_tors engendré par les classes deη₁, . . . , η_r.

Démonstration. SoitE le sous-groupe deZ^×_k engendré par η₁, . . . , η_r. D’après la proposition3.13 qui donne la structure des modules sur les anneaux principaux, il existe une base x₁, . . . , x_r de Z^×_k/k_tors^× et des entiers positifs a₁, . . . , a_r tels que a₁x₁, . . . , a_rx_r soit une base de E/k_tors^× . Alors l’indice deE/k_tors^× dansZ^×_k/k^×_tors esta₁· · ·a_r, et le quotient des régulateurs aussi.

En particulier le régulateur d’un système fondamental d’unités de k est le minimum parmi les régulateurs des systèmes indépendants de r unités de k, il ne dépend donc pas du système fondamental choisi : on l’appelle lerégulateur de k et on le noteRk. Sir= 0 (c’est-à-direk=Q ou sik est un corps quadratique imaginaire) on poseRk= 1.