Les carr´ es de Victor
Il s’agit de d´ecouvrir l’analogue pour les parall´elogrammes, dˆu `a Vic- tor Th´ebault (1882-1960), des propri´et´es des triangles cit´ees dans les probl`emes D10004 et D10128.
a) Etant donn´e un parall´elogramme ABCD, on construit les 4 carr´es ayant pour cˆot´e respectivement AB, BC, CD, DA `a l’ext´erieur du pa- rall´elogramme. Quelle figure forment leurs centres ?
Mˆeme question si les carr´es sont construits du mˆeme cˆot´e que le pa- rall´elogramme, par rapport au cˆot´e commun (cas “int´erieur”).
b) Ce parall´elogramme ABCD est la section droite d’un prisme. D´eter- miner un plan coupant ce prisme selon un carr´e.
c) Quel carr´e peut ˆetre la projection orthogonale du parall´elogramme ABCD?
Solution
a) Soient m=ABetn=BC les longueurs des cˆot´es du parall´elogramme, G son centre,V l’angle (suppos´e aigu) deBC etCD.
Soit M, N, O, P les centres des carr´es ayant pour cˆot´e AB,BC,CD,DA respectivement, I etJ les milieux de AB et BC respectivement. Les tri- anglesGIM etGJ N sont ´egaux (GI =N J,IM =GJ, ˆI = ˆJ =V+π/2) donc
GM =GN = s
m2+n2+ 2mnsinV
4 .
En d´eveloppant le produit scalaire
GM .GN = (GI+IM).(GJ+J N), on obtient 0.
GM etGN sont orthogonaux,GM N est un triangle rectangle isoc`ele, de mˆeme GN O, GOP et GP M. M N OP est un carr´e, qu’on peut appeler
“carr´e de Victor ext´erieur”, de cˆot´e l=
s
m2+n2+ 2mnsinV
2 .
1
Pour le cas “int´erieur”, il suffit de remplacer les vecteurs IM et J N par leurs oppos´es dans le raisonnement pr´ec´edent. Il en r´esulte un “carr´e de Victor int´erieur”, de cˆot´e
l0= s
m2+n2−2mnsinV
2 .
b) Soit A0B0C0D0 une coupe plane du prisme, c’est un parall´elogramme, c’est en outre un carr´e de cˆot´e d si et seulement si d = A0B0 = B0C0 = A0C0/√
2.
Six, y, zsont les cotes respectives deA0, B0, C0par rapport au planABCD, on a
|x−y|=√
d2−m2,|y−z|=√
d2−n2,
|x−z|=√
2d2−m2−n2−2mncosV. D’o`u la condition
±√
d2−m2±√
d2−n2±√
2d2−m2−n2−2mncosV = 0.
En chassant les radicaux, on obtient l’´equation bicarr´ee
d4−d2(m2+n2) +m2n2sin2V = 0, de racines d= (±l±l0)/√ 2.
La racine qui convient est d= (l+l0)/√ 2.
Cette valeur permet de construire le plan cherch´e.
c) La racine d0 =|l−l0|/√
2 satisfait l’´equation
±√
m2−d02±√
n2−d02±√
m2+n2+ 2mncosV −2d02 = 0.
C’est la condition qu’on obtient en consid´erant queABCD se projette en A0B0C0D0, avec d0 =A0B0=B0C0 =A0C0/√
2.
2
