D230 La randonnée à bicyclettes [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon
1/ Etudions le ratio entre la plus grande distance (max) et la plus petite distance (min) dans un ensemble de 6 points distincts du plan.
S’il existe 3 points alignés, alors ce rapport vaut au moins 2.
Par exemple si A, B et C sont alignés dans cet ordre avec AB<=BC<=AC et AB+BC=AC, alors AC/AB >= 1 + BC/AB >= 2 avec égalité ssi B est milieu de [AC].
Par conséquent, max >= AC, min <= AB et donc max/min >= AC/AB >= 2.
Supposons à présent qu’il n’y a pas 3 points alignés et montrons qu’il existe 3 points formant un angle d’au moins 2pi/3, ayant pour conséquence que ce rapport vaut au moins sqrt(3).
En effet, si par exemple le triangle ABC est tel que BAC >= 2pi/3 et pi/3 > CBA >= ACB, alors d’après la relation d’Al-Kashi, nous avons BC² = AB²+AC² - 2*AB*AC*cos(BAC), d’où BC² >= AB²+AC² + AB*AC.
D’après la loi des sinus sin(CBA)/sin(ACB) = AC/AB >= 1, d’où BC² >= 3AB².
Enfin, max >= BC, min <= AC et donc max/min >= BC/AB >= sqrt(3).
Si les 6 points forment un hexagone convexe, alors, la somme des 6 angles internes valant 4pi, l’un des angles internes vaudra au moins 2pi/3.
Sinon nous allons montrer qu’il existe un point situé strictement à l’intérieur d’un triangle formé par 3 autres points car dans ce cas, si par exemple D est situé strictement à l’intérieur du triangle ABC, alors, la somme des 3 angles ADB, BDC et CDA valant 2pi, l’un des angles vaudra au moins 2pi/3.
Nécessairement il existe un point situé strictement à l’intérieur de l’enveloppe convexe formée par les 6 points (le plus petit convexe contenant les 6 points). Si ce n’est pas déjà un triangle, il suffit de peut trianguler le polygone (quadrilatère ou pentagone) en traçant par exemple les diagonales issues d’un même sommet. Ce point est bien situé strictement à l’intérieur puisque nous avons déjà écarté le cas où 3 points sont alignés.
De cette étude il ressort clairement qu’Hippolyte s’est trompé puisque 24,7/15 < sqrt(3).
Remarque : ce n’est pas l’arrondi qui est en cause puisque même dans le « meilleur » cas 24,8/14,9 < sqrt(3).
2/ Il semblerait que ce ratio vaille au moins 2sin(2pi/5) = sqrt((5+sqrt(5))/2) # 1,90 atteint seulement dans une configuration bien particulière.
Malheureusement je n’ai pas réussi à prouver ce résultat plus fin. Une piste pourrait être de montrer qu’il existe 3 points formant un angle d’au moins 4pi/5…
Dans la mesure où 28,5/15 = 1,9, nous pouvons donc considérer que les 6 villages sont dans cette configuration, à savoir par exemple les sommets d’un pentagone régulier ABCDE et son centre F avec 3 distances
* FA = FB = FC = FD = FE = 15
* AB = BC = CD = DE = EA = 15*2*sin(pi/5) = 15*sqrt((5-sqrt(5))/2) # 17,6
* AC = BD = CE = DA = EB = 28,5
Nous cherchons donc un cycle hamiltonien sur ce graphe.
Si l’on raisonne par rapport à F, compte tenu de la symétrie, il y a 2 possibilités (par exemple AFE ou AFD).
On écarte AFD assez facilement en raisonnant sur E.
Intuitivement le plus court cycle devrait être celui représenté après (en rouge).
E F
D C
B A
Finalement c’est le trajet ABCDEF = 4*AB + 2*AF = 4*17,6 + 2*15 # 100 km au km près.
Références sur ce résultat non prouvé :
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=33896 http://groups.google.fr/group/sci.math/msg/be14cec4eb775329
