D308 −L'ellipse circonscrite
Problème proposé par Patrick Gordon
On considère la figure formée par k cercles de même rayon r, de centres A, B, C… alignés tels que AB = BC = … = e.
Quelle est l'aire minimale d'une ellipse d'axes de symétrie identiques à ceux de cette figure et circonscrite à celle-ci?
Solution proposée par l'auteur Une telle ellipse (E) a pour équation :
1) x²/a² + y²/b² = 1
Naturellement, elle n'aura de contact qu'avec les deux cercles extrêmes.
Soit T son point de contact avec le cercle le plus à droite, soit (), dans le quadrant (x,y) >0 et t l'angle orienté que fait T avec l'axe des x.
Notons d l'abscisse de donc : d = (k–1)e/2.
Écrivons que (E) passe par T :
2) (d + rcost)²/a² + (rsint)²/b² = 1
Par ailleurs, la normale en T à l'ellipse doit être T.
D'une façon générale, la normale en T (x0, y0) à une ellipse x²/a² + y²/b² = 1 a pour équation :
Ici :
x0 = d + rcost y0 = rsint
Écrivons que la normale passe par (d, 0) : 0 – rsint = a² rsint × (–rcost) / b² (d + rcost) soit encore:
3) a²rcost = b² (d + rcost)
4) (a² − b²) rcost = b²d
Remplaçant, selon (3), (d + rcost) par a²rcost/b² dans (2), il vient : a²cos²t + b²sin²t = b4 / r²
Soit encore :
5) (a² – b²) cos²t = b²(b²–r²) / r²
En égalant les expressions (4) et (5) de cos²t, il vient : cos²t = b²(b²–r²) / r²(a² – b²) = b4d² / r²(a² – b²)² soit :
6) (a²−b²) (b²−r²) − b²d² = 0
C'est une relation entre a et b seuls qui, pour des paramètres r et d donnés, définit une famille d'ellipses. Nota : dans cette équation, a et b désignent les "demi-axes" de l'ellipse selon Ox et Oy respectivement; a n'est pas forcément le "grand" axe.
Nous cherchons l'aire minimale d'une ellipse x²/a² + y²/b² = 1, c’est-à-dire le minimum de
ab, c’est-à-dire tout aussi bien celui de a²b², pour a² et b² liés par (6).
On peut donc poser A = a² et B = b² et réécrire (6) : 7) (A−B) (B−r²) − Bd² = 0
La recherche de l'extremum du produit de A et B liés par (7) consiste à égaler les ratios des dérivées partielles de AB (soit respectivement B et A) et de l'expression (7), soit :
(B – r²) / B = [– (B – r²) + A – B – d²] / A On en tire A en fonction de B, soit :
8) A = [2B² – (r² – d²) B] / r² D'où, en réécrivant (7) :
9) A= [B² + B(d² − r²)] / (B − r²)
En rapprochant (8) et (9), on obtient une équation en B seul : 2B² – (4r² – d²) B + 2r² (r² – d²) = 0
Application numérique (1) : r = 2; k= 3, e = 3 On a d = (k–1)e/2 = 3, d'où :
2B² – 7B – 40 = 0
B = ¼ (7 ± (49+320)) = (7+19,21)/4 = 6,55 d'où b = 2,56 On en déduit, par (8) :
A = [2B² – (r² – d²) B] / r² = (2×6,55² + 5×6,55)/4 = 29,66, d'où a = 5,45.
Application numérique (2) : r = 3; k= 5, e = 4 On a d = (k–1)e/2 = 8, d'où :
2B² – (36–64)B +18×(9–64) = 0 B² +14B – 495 = 0
B = – 7 ± (49+495) = 16 d'où b = 4,04 On en déduit, par (8) :
A = [2B² – (r² – d²) B] / r² = (2×16,32² + 55×16,32)/9 = 159, d'où a = 12,61.
Application numérique (3) : r = 2; k= 5, e = 3 On a d = (k–1)e/2 = 6, d'où :
2B² – (16–36)B +8×(4–36) = 0 B² +10B – 128 = 0
B = – 5 ± (25+128) = 7,37 d'où b = 2,71 On en déduit, par (8) :
A = [2B² – (r² – d²) B] / r² = (2×7,37² + 32×7,37)/4 = 86,11, d'où a = 9,28.
