Un exemple de matrice tri-diagonale

Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Ann´ee Scolaire

D´epartement de Math´ematiques 2017-2018

Licence Math´ematiques - Analyse Num´erique des Syst`emes Lin´eaires Exercices du chapitre 1

Exercice 1. Un exemple de matrice tri-diagonale.

On consid`ere la matriceA carr´ee de taille d, de coefficient g´en´erique (a_i,j) d´efini par : a_i,i= 2, a_i,j =−1 si|i−j|= 1, a_i,j = 0 sinon.

On s’int´eresse aux ´el´ements propres de la matrice A.

1. D´emontrer que Aest diagonalisable sur R.

2. On consid`ere une valeur propreλdeAet un vecteur propre associ´ex= (x1,· · ·, xd).

a) On pose x₀ = 0 et x_d+1 = 0. Montrer que les x_i sont les premiers termes d’une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2. D´eterminer l’´equation caract´eristique associ´ee et calculer son discriminant ∆ en fonction deλ.

b) En utilisant la condition x_d+1= 0, montrer que ∆6= 0 .

3. Montrer alors que les valeurs propres deAsont les 2−2 cos(_d+1^kπ ) pourk= 1,· · ·, d et d´eterminer des vecteurs propres associ´es.

4. En d´eduire en particulier que la matrice sym´etriqueA est d´efinie positive.

Exercice 2. Matrices par blocs

Soit A ∈ C^n×n une matrice triangulaire sup´erieure par blocs dont les blocs sont not´es Aij(1≤i, j≤p), les blocs diagonauxAii ´etant carr´es (ki×ki).

a. Montrer que detA = Qp

i=1detA_ii. On pourra d’abord faire la d´emonstration pour la matrice

A=

A11 A12

0 A22

=

Ik1 A12

0 A22

A11 0 0 I_k2

b. Montrer que si de plusAest inversible, alorsA⁻¹ est triangulaire sup´erieure par blocs.

c. Montrer que S(A) =Sp

i=1S(Aii).

Exercice 3. Matrices d´efinies positives et factorisation

SoitA∈R^d×d. Montrer l’´equivalence :Aest sym´etrique d´efinie positive si et seulement si il existe une matrice inversibleR telle que A=R^>R.

Exercice 4. Angles d’Euler

Soit A ∈S_d(R) une matrice sym´etrique et q(x) =hAx, xi la forme quadratique associ´ee.

Soitx∈R^dun vecteur de norme 1 : kxk₂= 1.

a. Montrer qu’il existe une matrice diagonale D∈ R^d×d et une matrice orthogonale Ω ∈ R^d×d tel queq(x) =hDΩ^Tx,Ω^Txi.

1

b. On posey= Ω^Tx. Montrer quekyk₂= 1.

c. Montrer qu’il existe des r´eelsλ_i, θ_i (i= 1, . . . , d) tels que q(x) =

d

X

i=1

λicos²θi.

Exercice 5. Exemple et contre-exemple de factorisations LU.

a) Construire un exemple de matrice inversible qui ne poss`ede pas de d´ecomposition LU. b) Construire un exemple de matrice inversible sym´etrique admettant une d´ecomposition LU mais n’´etant pas d´efinie positive.

Exercice 6. Exemple de factorisation de Cholesky

D´eterminer la factorisation de Cholesky de la matrice 4×4 suivante :









4 1 0 0 1 4 0 2 0 0 4 1 0 2 1 4







 .

2