E 647 Antoine Verroken
1. Ross Honsberger prouve dans son livre “Mathematical Gems I ,1973,p 117-118”qu‟il existe un cercle qui contient en son intérieur exactement k points intègres.
Schéma :
a. les coordonnées du centre du cercle ne peuvent pas être toutes les deux rationelles.
b. dans un plan il n‟y a pas de points intègres à même distance d‟un point p de coordonnées: ( sqrt(2) , 1/3 ).
c. donc on peut ranger les points intègres d‟après leurs distances du centre du cercle ( sqrt(2) , 1/3 ) de p1 à pn.
2. Nombre de points intègres P pour un cercle „ r „ centré à l‟origine,formule Gauss.
[ - ] = plancher d‟une fonction.
P = 1 + 4 * [ r ] + 4 * somme [ sqrt( r^2 – i^2 ), i = 1 ..[ r ] ] comme le carré du rayon est un entier „ n „ , on applique :
P = 1 + 4 * [ sqrt(n) ] + 4 * somme [ sqrt( n – i^2 ) , i = 1 ..[ sqrt(n)] ]
ce qui donne pour P = 2009 n = r^2 = 638 639 640
