2009-2010 Test 02

INTERROGATION : VECTEURS

Durée 1h - Il sera tenu compte de la rédaction et de la propreté

Exercice 1 : (5 points) Dans la figure ci- contre, représenter :

le vecteur u+v

à partir du point A.

le vecteur v u−

à partir du point B.

le point P tel que PA=u le point Q tel que BQ=2v

Exercice 2 : (8 points)

Soit 1; ³ A 2

 − 

 , ¹; 2 B 2 

− 

 , ^C

( )

1a. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AC].

1b. Les points I, B et D sont-ils alignés ? 2. ADCB est-il un parallélogramme ?

Exercice 3 : (7 points)

Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( ; , )O i j

on considère:A( 3; 3) ,− − B( 12; 0) ,− C(0; 6) , D(9;3) ^. 1. Démontrer que ABCD est un parallélogramme.

2a. Calculer les coordonnées de I le milieu de [AB].

2b. Calculer les coordonnées du point M tel que AIDM soit un parallélogramme.

3. Calculer AB, AC et BC. En déduire la nature du triangle ABC.

A

B

u

v

INTERROGATION : Corrigé

Exercice 1

Voici la figure associée aux questions de l’exercice 1.

Exercice 2 : (8 points) Soit 1; ³

A 2

 − 

 , ¹; 2 B 2 

− 

 , ^C

( )

2 2

D 

 − 

 .

1a. Le milieu I de [AC] a pour coordonnées ;

2 2

A C A C

x x y y

I + + 

 

  cad ^{1 0}; ^{3 / 2 3}

2 2

I + − + 

 

  donc ^{1 3};

I2 4

 

 . 1b. Les points I, B et D sont-ils alignés ssi les vecteurs IB

et BD

sont colinéaires.

On a 1;⁵ IB 4

− 

 

et 2; ⁵ BD 2

 − 

 

: pour savoir si ces vecteurs sont colinéaires, on calcule par exemple leur déterminant (produit en croix).

On a

( )

2 4

 

− − − × =

  : donc ces vecteurs sont colinéaires, donc les points I, B et D sont alignés.

2. Le quadrilatère ADCB est un parallélogramme ssi AD=BC . On a par ailleurs ^{1/ 2} , ^{1/ 2}

1 1

AD  BC 

   

   

: ces vecteurs ont les mêmes coordonnées donc ils sont égaux.

Ainsi, ADCB est bien un parallélogramme A

B

u

v

u+v

v-u

-u P

Q

Exercice 3 : (7 points)

Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( ; , )O i j

on considère:A( 3; 3) ,− − B( 12; 0) ,− C(0; 6) , D(9;3) ^. 1. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ssi AB=DC

.

Or ⁹ , ⁹

3 3

AB−  DC− 

   

   

donc ces vecteurs ont les mêmes coordonnées donc ils sont égaux.

Ainsi, ABCD est bien un parallélogramme

2a. Les coordonnées de I milieu de [AB] sont donnés par ;

2 2

A B A B

x x y y

I + + 

 

  cad ¹⁵; ³

2 2

I 

− −

 

 .

2b. Soit M ^x y

  

  : AIDM est un parallélogramme ssi AI=MD .

Or ^{9 / 2} , ⁹

3 / 2 3

AI MD x

y

− −

   

   

−

   

et comme deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées on a

9 9 / 2 27 / 2

3 3 / 2 ... 3 / 2

x x

y y

− = − =

 

⇔

 

− = =

  (ce sont les coordonnées de M).

3.

Le calcul d’une longueur se fait à l’aide de la formule AB=

(

) (

)

> Comme AB = AC, le triangle est isocèle en A.

> Comme AB² + AC² = BC², la réciproque du théorème de Pythagore assure que ABC est en plus rectangle en A.

ABC est donc un triangle rectangle isocèle en A.