(a) Montrer que A est major´e

UNIVERSIT´E PAUL SABATIER – ANN´EE 2009-2010 LICENCE 1`ere ann´ee – IMP – Math2

Devoir surveill´e – 15 octobre 2009 – dur´ee 1H30

Epreuve sans document ni calculatrice. Les ´etapes des calculs doivent ˆetre d´etaill´ees et toutes les r´eponses justifi´ees. On veillera `a donner les r´esultats sous forme simplifi´ee.

N’oubliez pas de pr´eciser votre nom, votre section et votre groupe de TD sur les copies.

Si vous rendez plusieurs copies, pensez `a les num´eroter

Exercice 1. (5 points)

Etudier la convergence des suites d´efinies pour n≥0 par x_n = n+ 5n²

1 + 2n⁴ et y_n= n²+n cos(n)−n³ 2n²+ 1 · Exercice 2. (5 points)

1. Soient A et B des sous-ensembles non vides de R. On suppose que A ⊂ B et que B est major´e.

(a) Montrer que A est major´e.

(b) Etablir l’in´egalit´e sup(A)≤sup(B).

2. Soit (vn)n∈N une suite r´eelle born´ee.

(a) Justifiez l’existence pourn ∈Nde la quantit´es_n = sup(A_n) o`uA_n={v_k; k ≥n}.

(b) Montrer que la suite (s_n)n∈N est monotone puis qu’elle converge.

Exercice 3. (10 points)

Le but de cet exercice est l’´etude de la suite (un)n≥1 d´efinie par u_n=

n

X

k=1

1

k² = 1 + 1

4 +· · ·+ 1 n²·

1. Montrer que (u_n)n≥1 est monotone.

2. Montrer que pour tout k ≥2, 1

k² ≤ 1

k−1 − 1 k·

3. En d´eduire que (u_n)n≥1est major´ee puis qu’elle converge vers une limite que l’on notera

`.

1

4. Montrer que pour tout k ≥1, 1 k² ≥ 1

k − 1 k+ 1· 5. D´eduire de la question pr´ec´edente que si 1≤p < n,

u_p+ 1

p+ 1 − 1

n+ 1 ≤u_n≤u_p+ 1 p− 1

n, puis proposer un encadrement de ` en fonction dep et u_p.

6. Expliciter l’encadrement de`obtenu pourp= 1 etp= 2 en donnant le d´eveloppement d´ecimal des bornes. A partir de quelle valeur dep obtient-on une approximation de `

`

a 10⁻² pr`es?

Exercice 4. (hors bar`eme) Soit (u_n)n∈N une suite r´eelle.

1. On suppose que (u_n)n∈N admet pour limite un nombre `∈ R. Montrer en utilisant la d´efinition de limite que les suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N convergent vers `.

2. On suppose maintenant que les suites (u_2n)n∈N et (u_2n+1)n∈N sont convergentes et ont mˆeme limite. Montrer que (u_n)n∈N converge.

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