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I.2 Enroulement de la droite num´ erique sur le cercle trigonom´ etrique

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

G2 – Trigonom´etrie

I Enroulement de la droite num´ erique

I.1 Cercle trigonom´ etrique

D´efinitionI.1 — Dans le plan muni d’un rep`ere (O ;I ;J), le cercle trigonom´etrique est le cercleC de centre O et de rayon 1 orient´e dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Remarque I Le p´erim`etre du cercle est de 2π.

I.2 Enroulement de la droite num´ erique sur le cercle trigonom´ etrique

Proposition I.1 — — Par enroulement de la droite num´erique autour du cercle trigonom´etrique, on peut associer `a tout r´eel un unique point du cercle.

— Soit aun nombre r´eel, et M le point du cercle trigonom´etrique associ´e au r´eela, alors le point M est associ´e `a tous les r´eels de la formea+k2π.

Preuve — Faire un sch´ema.

— En effet, le p´erim`etre du cercle vautP= 2π. Donc les r´eelsaesta+k2πarrivent au mˆeme endroit sur le cercle (mais poura+k2π, on aura faitk tours sur le cercle en plus que poura)

II Cosinus et sinus d’un nombre r´ eel

II.1 D´ efinition

D´efinitionII.1 — Soit M le point sur le cercle trigonom´etrique associ´e au r´eela. Alors

— cosaest l’abscisse du point M.

— sinaest l’ordonn´ee du point M.

Proposition II.1 — Pour tout nombre r´eela, on a :

— −1≤cosa≤1 et−1≤sina≤1

— Pour tout entier relatif k, cos(a+k2π) =cos(a) etsin(a+k2π) = sin(a). On dit que les fonctions cosestsin sont 2πp´eriodiques.

— cos2(a) + sin2(a) = 1

Preuve — cosaet sinasont les coordonn´ees d’un point sur le cercle de centre O et de rayon 1 : donc ses coordonn´ees sont n´ecessairement plus grande que -1 et plus petite que 1 (faire un dessin, le cercle est inscrit dans un carr´e de cˆot´e 2, qui va de -1 `a 1).

— Lorsque l’on enroule la droite num´erique autour du cercle, les pointsM(x;y) et M0(x+kP;y+kP) vont ˆetre repr´esent´e par le mˆeme point sur le cercle.

Maximilien Dreveton 1 6 juin 2017

(2)

— Prenons le point M sur le cercle, de coordonn´eesM(cosa; sina). M est sur le cercle de centre O et de rayon 1, donc la distance OM vaut 1 (le rayon du cercle). Par ailleurs, la distance OM vautp

(xM−xO)2+ (yM−yO)2=

pcos2a+ sin2a. DoncOM2= cos2a+ sin2a= 1.

II.2 Valeurs remarquables

Proposition II.2 — Courbe repr´esentative des fonctionscos,sin.

Proposition II.3 — On donne quelques valeurs remarquables de cosx et sinx.

Angle (degr´es) x(radian) cosx sinx

0 0 1 0

30 π

6

√3 2

1 2

45 π

4

√2 2

√2

2

60 π

3

1 2

√3

2

90 π

2 0 1

180 π 1 0

Maximilien Dreveton 2 6 juin 2017

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