G2 – Trigonom´etrie
I Enroulement de la droite num´ erique
I.1 Cercle trigonom´ etrique
D´efinitionI.1 — Dans le plan muni d’un rep`ere (O ;I ;J), le cercle trigonom´etrique est le cercleC de centre O et de rayon 1 orient´e dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Remarque I Le p´erim`etre du cercle est de 2π.
I.2 Enroulement de la droite num´ erique sur le cercle trigonom´ etrique
Proposition I.1 — — Par enroulement de la droite num´erique autour du cercle trigonom´etrique, on peut associer `a tout r´eel un unique point du cercle.
— Soit aun nombre r´eel, et M le point du cercle trigonom´etrique associ´e au r´eela, alors le point M est associ´e `a tous les r´eels de la formea+k2π.
Preuve — Faire un sch´ema.
— En effet, le p´erim`etre du cercle vautP= 2π. Donc les r´eelsaesta+k2πarrivent au mˆeme endroit sur le cercle (mais poura+k2π, on aura faitk tours sur le cercle en plus que poura)
II Cosinus et sinus d’un nombre r´ eel
II.1 D´ efinition
D´efinitionII.1 — Soit M le point sur le cercle trigonom´etrique associ´e au r´eela. Alors
— cosaest l’abscisse du point M.
— sinaest l’ordonn´ee du point M.
Proposition II.1 — Pour tout nombre r´eela, on a :
— −1≤cosa≤1 et−1≤sina≤1
— Pour tout entier relatif k, cos(a+k2π) =cos(a) etsin(a+k2π) = sin(a). On dit que les fonctions cosestsin sont 2πp´eriodiques.
— cos2(a) + sin2(a) = 1
Preuve — cosaet sinasont les coordonn´ees d’un point sur le cercle de centre O et de rayon 1 : donc ses coordonn´ees sont n´ecessairement plus grande que -1 et plus petite que 1 (faire un dessin, le cercle est inscrit dans un carr´e de cˆot´e 2, qui va de -1 `a 1).
— Lorsque l’on enroule la droite num´erique autour du cercle, les pointsM(x;y) et M0(x+kP;y+kP) vont ˆetre repr´esent´e par le mˆeme point sur le cercle.
Maximilien Dreveton 1 6 juin 2017
— Prenons le point M sur le cercle, de coordonn´eesM(cosa; sina). M est sur le cercle de centre O et de rayon 1, donc la distance OM vaut 1 (le rayon du cercle). Par ailleurs, la distance OM vautp
(xM−xO)2+ (yM−yO)2=
pcos2a+ sin2a. DoncOM2= cos2a+ sin2a= 1.
II.2 Valeurs remarquables
Proposition II.2 — Courbe repr´esentative des fonctionscos,sin.
Proposition II.3 — On donne quelques valeurs remarquables de cosx et sinx.
Angle (degr´es) x(radian) cosx sinx
0 0 1 0
30 π
6
√3 2
1 2
45 π
4
√2 2
√2
2
60 π
3
1 2
√3
2
90 π
2 0 1
180 π 1 0
Maximilien Dreveton 2 6 juin 2017