Continuité
Objectifs
– Définir la notion de continuité et étudier la structure deC0(I,R).
– Étudier la continuité sur un intervalle : théorème des valeurs intermédiaires et ses conséquences.
– Étudier la notion d’uniforme continuité et le théorème deHeine.
– Étudier les liens entre la continuité et la monotonie d’une fonction.
– Définir la notion d’approximation par les fonctions en escalier.
– Étendre la notion de continuité aux fonctions à valeurs complexes.
Plan
12 Continuité 137
I) Rappels . . . 137
1) Définitions . . . 137
2) Théorèmes généraux . . . 138
II) Fonctions continues sur un intervalle . . . 139
1) Théorème des valeurs intermédiaires . . . 139
2) Continuité sur un segment . . . 139
3) Uniforme continuité . . . 139
III) Continuité et fonctions monotones . . . 140
1) Rappels . . . 140
2) Monotonie et continuité . . . 140
3) Théorème des bijections . . . 140
IV) Approximation . . . 141
1) Fonctions en escalier . . . 141
2) Fonctions continues par morceaux . . . 141
V) Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . 142
1) Continuité . . . 142
2) Propriétés . . . 142
VI) Exercices . . . 142
I) Rappels
1) Définitions NDéfinition 12.1
Soit f :I →Rune fonction et soita∈I, on dit quef est
138 Chapitre 12 : Continuité
– continue en alorsque lim
t→af(t) =f(a) (sinon on dit que aest un point de discontinuité def).
– continue à gauche en alorsqueI∩]− ∞;a[6=∅ et lim
t→a−f(t) =f(a).
– continue à droite en alorsqueI∩]a; +∞[6=∅ et lim
t→a+f(t) =f(a).
Si f est continue en tout point de I, alors on dit quef est continue sur I. L’ensemble des fonctions continues surI est noté C0(I,R).
Remarques:
a) f est continue en a∈I ssi∀ ε >0,∃α >0,∀ x∈I,|x−a|< α=⇒ |f(x)−f(a)|< ε.
b) f est continue enassi lim
x→
x6=aaf(t) =f(a), lorsquean’est pas une borne deI, ceci équivaut encore à lim
t→a+f(t) =f(a) et lim
t→a−f(t) =f(a),i.e.f est continue à gauche et à droite en a.
c) f est continue ena ssi pour toute suite (un) d’éléments deI, qui tend vers a, la suite (f(un)) tend versf(a).
Prolongement par continuité : Soit f :I → Rune fonction et soit a une extrémité de I réelle et n’appartenant pas àI, sif admet une limite finie`ena, alors la fonctionf˜:I∪ {a} →Rdéfinie par :
f˜(x) =
f(x) six6=a
` six=a
est continue surI∪ {a}. Cette fonction est appelée prolongement de f par continuité en a.
2) Théorèmes généraux
I théorème12.1
Soient f, g deux fonctions continues surI, et soitα un réel, alors : – f+g,f×g etαf sont continues sur I.
– Si g ne s’annule pas surI alors f
g est continue sur I.
– Si h : J → R est une fonction continue sur l’intervalle J et si Im(f) ⊂ J, alors h◦f est continue surI.
Conséquences :
a) Il découlent des théorèmes généraux queC0(I,R)est uneR-algèbre pour les opérations usuelles sur les fonctions.
b) Si f etgsont continues surI alorssup(f, g)etinf(f, g) le sont (en particulierf+ etf−le sont), car :sup(f, g) = f+g+|f −g|
2 et inf(f, g) = f+g− |f−g|
2 .
II) Fonctions continues sur un intervalle
1) Théorème des valeurs intermédiaires I théorème12.2
Soit f : [a;b]→ R une fonction continue sur le segment [a;b] (a < b), si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f s’annule au moins une fois,i.e.:∃ `∈[a;b], f(`) = 0.
Conséquences :
a) Il découle de ce théorème que si f : I → R est continue sur l’intervalle I et si f change de signe, alors f s’annule au moins une fois surI.
b) Une fonction continue sur un intervalle et qui ne s’annule pas, garde un signe constant.
I théorème12.3 (des valeurs intermédiaires)
Sif :I →Rest continue sur l’intervalleI, alorsIm(f) est un intervalle.
Plus précisément, sia, b∈I et sicest un réel compris entref(a)etf(b), alors il existeα entre aetb tel quef(α) =c.
2) Continuité sur un segment I théorème12.4
L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Il en découle qu’une fonction continue sur un segment possède un maximum (M) et un minimum (m). On dit aussi parfois qu’une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
3) Uniforme continuité NDéfinition 12.2
On dit que la fonction f :I →Rest uniformément continue surI lorsque :
∀ ε >0,∃α >0,∀ a, x∈I,|x−a|< α=⇒ |f(x)−f(a)|< ε.
Remarques:
a) Cette définition dépend aussi de l’ensemble I, on dit qu’elle a un caractère global, alors que la définition de la continuité en un point est locale car elle ne dépend que du point (pas de l’ensemble I).
b) La définition d’uniforme continuité est plus forte que la définition de continuité. Autrement dit, une fonction uniformément continue sur I est nécessairement continue sur I. Nous verrons que la réciproque est fausse en général.
c) Une fonction lipschitzienne surI est nécessairement uniformément continue surI. En particulier si f est dérivable surI et si f0 est bornée, alors f est uniformément continue sur I. Par contre si f0 est non bornée, alors on sait que f n’est pas lipschitzienne sur I mais elle peut très bien être uniformément continue.
140 Chapitre 12 : Continuité
I théorème12.5 (de Heine1)
Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.
III) Continuité et fonctions monotones
1) Rappels
Soit f :I →Rune fonction monotone sur l’intervalleI, alors en tout point intérieur àI f admet une limite finie à gauche et à droite (théorème de la limite monotone). Plus précisément, si f est croissante et si x0 est intérieur àI, alors :
lim
x→x−0
f(x) = sup
x<x0
f(x)6f(x0)6 lim
x→x+0
f(x) = inf
x>x0
f(x).
Proposition : Si f est strictement croissante et continue sur l’intervalle I, alors : – lorsque I = [a;b], on a Im(f) = [f(a);f(b)],
– lorsque I = [a;b[, on a Im(f) = [f(a); lim
b f[, – lorsque I =]a;b], on aIm(f) =] lim
a f;f(b)], – lorsque I =]a;b[, on aIm(f) =] lim
a f; lim
b f[.
2) Monotonie et continuité
I théorème12.6
Si f :I →R est monotone sur l’intervalleI et si Im(f) est un intervalle, alors f est nécessai- rement continue sur I.
Ce théorème énonce une réciproque du théorème des valeurs intermédiaires, mais elle n’est valable que pour les fonctions monotones.
I théorème12.7
Sif :I →Rest continue sur l’intervalleI et injective, alors f est strictement monotone.
3) Théorème des bijections
Soitf :I →Rune fonction strictement monotone, alorsf est injective, doncf induit une bijection de I surIm(f), la bijection réciproque est :
φ: Im(f) → I
x 7→ y défini par y∈I etf(y) =x .
De plus, la bijection a le même sens de variation quef, en effet, supposonsf croissante et soienty < y0 deux éléments de Im(f), alors il existe x, x0 ∈ I, tels que f(x) = y etf(x0) =y0; si on avait x >x0 alors on auraity>y0 ce qui est contradictoire, doncx < x0 i.e.φ(y)< φ(y0).
1HEINE Heinrich Eduard(1821 – 1881) : mathématicien allemand qui travailla sur la théorie des fonctions.
D’autre part, dans un repère orthonormé du plan, on a :
M(x, y)∈Cφ ⇐⇒
x∈Im(f) y=φ(x) ⇐⇒
y∈I f(y) =x
⇐⇒ M0(y, x)∈Cf.
On en déduit que les courbes représentatives des fonctions f et φsont symétriques par rapport à la première bissectrice.
Le théorème suivant apporte une précision sur la continuité de la réciproque : I théorème12.8
Si f :I → Rest strictement monotone sur l’intervalle I, alors f induit une bijection deI sur J = Im(f). Si de plusf est continue surI, alors la bijection réciproque est continue sur J.
IV) Approximation
1) Fonctions en escalier NDéfinition 12.3
Soit f : [a;b]→Rune fonction, on dit que f est en escalier sur [a;b]lorsqu’il existe un entiern∈N∗, des réels x0 = a < x0 < · · · < xn = b, et des réels c0, . . . , cn−1 tels que sur chacun des intervalles ouverts : ]xk;xk+1[la fonction f est constante égale à ck (06k6n−1). On dit aussi parfois que f est constante par morceaux. L’ensemble des fonctions en escalier sur[a;b]est noté E([a;b],R).
I théorème12.9
Si f : [a;b]→ Rest continue sur le segment [a;b], alors pour tout ε >0, il existe une fonction ψ en escalier sur [a;b]telle que ∀t∈[a;b],|f(t)−ψ(t)|6ε.
Remarques:
a) C’est l’uniforme continuité de f qui fait aboutir la démonstration.
b) L’approximation par des fonctions en escalier sera utilisée pour définir la notion d’intégrale (méthode des rectangles).
c) Si f est continue sur [a, b], alors pour toutε >0 il existe deux fonctions en escalierφetψ telle que∀t∈[a;b], ψ(t)6f(t)6φ(t)avecφ(t)−ψ(t)< ε. En effet, on sait qu’il existe une fonction en escalierg telle que kf −gk∞< ε/2, on a donc pourt∈[a;b], g(t)−ε/26f(t)6g(t) +ε/2, il suffit donc de prendreψ=g−ε/2 etφ=g+ε/2.
2) Fonctions continues par morceaux NDéfinition 12.4
Une fonction f : [a;b] → R est dite continue par morceaux sur le segment [a;b], lorsqu’il existe une subdivisionσ = (a=x0, . . . , xn=b) de[a;b]telle que sur chaque morceau]xk;xk+1[la fonctionf est continue et prolongeable par continuité sur[xk;xk+1].
L’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a;b]est noté CM0 ([a;b],R).
I théorème12.10
Si f est continue par morceaux sur [a;b], alors il existe une suite (fn) de fonctions en escalier sur [a;b]qui converge uniformément versf.
142 Chapitre 12 : Continuité
V) Extension aux fonctions à valeurs complexes
1) Continuité
Soit f :I →C une fonction à valeurs complexes, on pose u=Re(f) etv=Im(f).
NDéfinition 12.5
On dira que f est continue sur I lorsque les fonctions u et v sont elles - mêmes continues sur I.
L’ensemble des fonctions continues sur I est notéC0(I,C).
f est continue en t0 ∈I ssilim
t0
u=u(t0)etlim
t0
v=v(t0), ce qui équivaut àlim
t0
f =f(t0). On retrouve ainsi une définition équivalente qui est analogue à celle donnée pour les fonctions à valeurs réelles.
2) Propriétés
Compte tenu de la définition, on retrouve des propriétés analogues au cas réel, à une exception près.
– On retrouve les mêmes théorèmes généraux, en particulier C0(I,C) est une C-algèbre.
– Si f est continue sur I, alors les fonctions f et|f|aussi.
– Le théorème des valeurs intermédiaires n’est plus vrai.
– Si f : [a;b]→Cest continue sur le segment [a;b], alorsf est bornée et atteint ses bornes, c’est à dire, il existet0, t1 ∈[a;b]tels que :
|f(t0)|= sup
t∈[a;b]
|f(t)| et |f(t1)|= inf
t∈[a;b]|f(t)|.
– Si f : [a;b]→C, est continue sur le segment [a;b], alorsf est uniformément continue (théorème de Heine).
VI) Exercices
FExercice 12.1
Un moine quitte son monastère à 7h du matin pour se rendre sur la montagne à son lieu de prière habituel où il arrive à7h du soir. Le lendemain matin il quitte la montagne à7h et par le même chemin que la veille il rentre au monastère où il arrive à 7h du soir. Démontrer qu’il y a un endroit sur ce chemin où le moine se trouvait à la même heure les deux jours.
FExercice 12.2
Soit f : [a;b] → [a;b] une fonction continue, montrer que f admet un point fixe. Donner un exemple d’une fonction continue sur un intervalleI, à valeurs dansI et sans point fixe.
F Exercice 12.3
Soit f : [0; 1]→ R une fonction continue telle que f(0) = f(1). Montrer que pour tout entier n>1, il existe un réelα∈[0; 1]tel quef(α+ 1
n) =f(α).
FExercice 12.4
Soit f :R+ → R+ une fonction continue telle que lim
x→+∞
f(x)
x =` avec ` < 1. Montrer quef admet un point fixe.
FExercice 12.5
Soit f une fonction continue surR, on suppose quelim
±∞f =`∈R.
a) Montrer que si `∈R, alorsf possède un maximum ou un minimum.
b) Montrer que si`= +∞, alorsf possède un minimum et que si`=−∞, alorsf possède un maximum.
FExercice 12.6
Étudier la continuité (et les prolongements éventuels) des fonctions suivantes :
f(x) =
xsin(1 x)− 1
xcos(1
x) si x6= 0
0 si x= 0
g(x) = 2
1−x2 − 3 1−x3
h(x) =x+√
x−E(x) k(x) = E(x) +√
x−E(x)
u(x) =x−E(x)−(x−E(x))2 v(x) =
1 six∈Q 0 sinon
FExercice 12.7
Soit f une fonction continue sur[0; +∞[: a) On suppose quelim
+∞f =`∈R. Montrer quef est uniformément continue sur[0; +∞[.
b) On suppose que f admet une asymptote d’équation y =ax+b en +∞. Montrer quef est uniformément continue sur[0; +∞[.
c) On suppose quef est uniformément continue sur[0; +∞[, montrer qu’il existe deux réels aetb tels que∀ x∈[0; +∞[,|f(x)|6ax+b.
F Exercice 12.8
a) Montrer qu’il est impossible de trouver une bijection continue de[0; 1[ surR. b) Montrer qu’il existe des surjections continues sur [0; 1[surR.
FExercice 12.9
Questions diverses : on demande soit de montrer la propriété si elle semble vraie, soit de donner un exemple et un contre - exemple dans le cas contraire.I désigne un intervalle deR etf une fonction deI vers R.
a) Si |f|est continue, alors f aussi.
b) Si f est continue et siIm(f) est un segment, alorsI est un segment. Et si on suppose en plus f strictement monotone ?
c) Si f est continue sur I, alors f est bornée. Si f est continue et bornée, alorsf atteint ses bornes.
d) Si x0 ∈I et sif est continue enx0, alors f est nécessairement monotone au voisinage de x0.
e) Si f est strictement monotone sur I alors f induit une bijection de I sur Im(f), et la bijection réciproque est continue.
