TS2 DS3 Novembre 2003 Exercice 1 :
On définit pour tout entier naturel n >0,la suite(un)de nombres réels strictement positifs parun= n2 2n. 1. Pour tout entier natureln >0,on posevn= un+1
un 1.1. Montrer que lim
n→+∞vn =1 2.
1.2. Montrer que pour tout entier natureln >0, vn >1 2.
1.3. Trouver le plus petit entier naturelN tel que, sin≥N, vn< 3 4. 1.4. En déduire que sin≥N,alorsun+1<3
4un.
On pose, pour tout entier natureln≥5, Sn=u5+u6+· · ·+un. 2. On se propose de montrer que la suite(Sn)converge.
2.1. Montrer par récurrence que pour tout entier natureln≥5, un ≤ µ3
4
¶n−5
u5
2.2. Montrer que pour tout entier natureln≥5, Sn≤
"
1 +3 4+
µ3 4
¶2
+· · ·+ µ3
4
¶n−5# u5 2.3. En déduire que pour tout entier natureln≥5, Sn≤4u5
3. Montrer que la suite(Sn)est croissante et en déduire qu’elle converge.
Exercice 2 :
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire g
La fonctiongest définie surRparg(x) = 2ex+ 2x−7.
1. Etudier la limite deg en+∞et en−∞.
2. Etudier les variations de la fonctiong surRet dresser son tableau de variations.
3.1. Justifier que l’équationg(x) = 0admet dansRune solution unique αtelle que0.94< α <0.941 3.2. Montrer queeα=7−2α
2 . 4. Etudier le signegsurR.
Partie B : Etude d’une fonction f
La fonctionf est définie surRparf(x) = (2x−5) (1−e−x)
On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal ³
O;−→i;−→j´ 1. Etudier le signe def surR.
2. Etudier les limites def en+∞et en−∞.
3. Calculerf0(x),oùf0 désigne la fonction dérivée def, et vérifier quef0(x)etg(x)sont de même signe. Dresser le tableau de variations def.
4.1. Démontrer l’égalitéf(α) =(2α−5)2 2α−7 .
4.2. Etudier le sens de variations de la fonctionh:x7→ (2x−5)2
2x−7 sur l’intervalle
¸
−∞;5 2
∙ .
En déduire, à partir de l’encadrement deαobtenu dans la partie A un encadrement d’amplitude10−3def(α).
5. Démontrer que la droiteDd’équationy= 2x−5est asymptote àC en+∞.Préciser la position deC par rapport àD. 6. Tracer la droiteDet la courbeCdans le repère³
O;−→i;−→j´
(unité graphiques 2 cm).
Partie C : Etude d’une suite de rapports de distances
Pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 3, on considère les points An, Bn etCn, d’abscisse net appartenant respec- tivement à l’axe des abscisses, à la droiteDet à la courbeC . Soitun le réel défini parun= CnBn
AnBn. 1. Démontrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, on a : un= 2n−5−f(n)
2n−5 2. Quelle est la nature de la suite(un)?
3. Calculer la limite de(un).Pouvait-on prévoir ce résultat ?
