L’anneau Z /n Z Feuille 13

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L’anneau Z /n Z Feuille 13

Exercice13.1

Résoudre dansZ/13Z1’équation en l’inconnuexsuivante :x²+ 2x+ 10 = 0.

Exercice13.2

1. Soitpun nombre premier. Résoudre l’équationx²=xdansZ/pZ. 2. Résoudre l’équationx² =xdansZ/34Z.

3. Résoudre l’équationx² =xdansZ/30Z.

Exercice13.3

1. Soient(G,·)et(G⁰,·)deux groupes etf :G−→G⁰un morphisme de groupes. Soitx∈G. On suppose que xest d’ordre finin. Montrer quef(x)est aussi d’ordre fini et que cet ordre divisen.

2. Déterminer tous les morphismes de groupes deZ/7ZdansZ/13Z, et deZ/3ZdansZ/12Z.

Exercice13.4

Soitpun nombre premier etk∈N^∗tel quek∧(p−1) = 1.Montrer que l’applicationZ/pZ−→Z/pZ x7−→x^k

est une bijection.

Exercice13.5

Soitpun nombre premier. Montrer que pour toutk∈N, X

x∈Z/pZ

x^k∈ {0,−1}.

Exercice13.6

1. SoitAun anneau. On dira qu’un élément deAest nilpotent si et seulement s’il existek∈N^∗tel quea^k= 0_A. Soientxetydeux éléments nilpotents deAtels quexy=yx.

Montrer quexy etx+ysont nilpotents.

2. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2 que l’on décompose en produit de facteurs premiers :n=

k

Y

i=1

p^α_iⁱ, où, pour touti∈ {1, . . . , k}, p_i∈Petαi∈N^∗

(a) Quels sont les éléments nilpotents deZ/nZ?

(b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que tout diviseur de0deZ/nZsoit nilpotent.

Exercice13.7

Montrer que(p−1)!≡ −1 [p]si et seulement sipest premier (c’est le théorème de Wilson).

Indication : Lorsquepest premier, on pourra commencer par calculer dansZ/pZla quantité

p−2

Y

k=2

ken regroupantk etk⁻¹

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FEUILLE XIII - L’ANNEAUZ/NZ

Exercice13.8

SoientGun groupe fini etf un morphisme deGtel que

Card{x∈G/f(x) =x⁻¹}> Card(G) 2 Montrez quef est involutive (c’est-à-dire quef◦f =IdG).

Exercice13.9

petqsont deux entiers premiers et impairs. On suppose queqdivise2^p−1.Montrer queq ≡1 [2p].

Exercice13.10

On s’intéresse à l’équation5x³+ 11y³+ 13z³ = 0où les inconnues sont dansZ. 1. Si(x, y, z)∈Z³est solution, montrer que13divisex, y, z.

2. Quelles sont les solutions de l’équation ?

Exercice13.11

SoitGun groupe, noté multiplicativement.

On noteD(G) = Gr{xyx⁻¹y⁻¹/(x, y)∈G²}. D(G)est le groupe dérivé deG.

1. Montrer queD(G)est un sous-groupe distingué deG.

2. On suppose queHest un sous-groupe distingué deG. Montrer queG/Hest un groupe abélien si et seulement siD(G)⊆H.

Exercice13.12

SoitGun groupe fini non abélien.

On noteZ ={g∈G /∀h∈G, gh=hg}(Zest le centre deG). Montrer que|Z| ≤ |G|

4 .

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