Montrer que 13 divise .

(1)

PanaMaths Septembre 2011 Montrer que 13 divise 2

⁷⁰

 3

⁷⁰

.

Analyse

On peut procéder de diverses façons. Nous proposons ci-dessous deux méthodes : la première consiste à factoriser la somme 2⁷⁰3⁷⁰ ; la seconde à utiliser le petit théorème de Fermat, 13 étant premier.

Résolution

1

^ère

méthode : factorisation

On a :

 

70 70 2 35 2 35

35 35

2 3 2 3

4 9

 

  

 

  

Or, on a classiquement : ^aⁿ^^bⁿ ^



^{a b}^

 

^aⁿ^¹^^baⁿ^²^^{b a}² ⁿ^³^{ }^... ^abⁿ^²^^bⁿ^¹



^.

Ainsi, a b divise aⁿbⁿ.

Ici, avec a4 et b 9, on a : ^{a b}^{    }⁴

 

⁹ ¹³^divise⁴³⁵ 

 

⁹ ³⁵ ²⁷⁰³⁷⁰. Le résultat est établi.

2ème méthode : utilisation du petit théorème de Fermat

13 étant un nombre premier, on a, d’après le petit théorème de Fermat : 2132 mod 13 et 3¹³3 mod 13

2132 mod 13 entraîne

 

²¹³ ⁵ ^^{2 mod 13}⁵ ^{, soit :}²⁶⁵^^{2 mod 13}⁵ ^.

D’où : 2⁶⁵2⁵  2⁵ 2 mod 13⁵ , soit : 2⁷⁰2 mod 13¹⁰ . De façon similaire, on a : 3⁷⁰3 mod 13¹⁰ .

Donc : 2⁷⁰3⁷⁰2¹⁰3 mod 13¹⁰ .

(2)

PanaMaths Septembre 2011

Comme 2¹⁰ 2⁶ 2⁴ et comme 2⁶ 64 1 mod 13 et 2⁴ 163 mod 13, on a finalement : 210  3 mod 13.

Par ailleurs : 3³271 mod 13, d’où :

 

³³ ³ ^³⁹ ^^{1 mod 13} et enfin : 3¹⁰ 3 mod 13. Comme 2¹⁰ 3 mod 13 et 3¹⁰ 3 mod 13, on a immédiatement : 2¹⁰3¹⁰0 mod 13.

Finalement, 2¹⁰3¹⁰ est divisible par 13. Comme 2⁷⁰3⁷⁰ 2¹⁰3 mod 13¹⁰ , il en va de même pour 2⁷⁰3⁷⁰.

Résultat final

70 70

2 3 est divisible par 13.