Devoir de math´ ematiques n

Premi`ere S1 Jeudi 1^erf´evrier

Devoir de math´ ematiques n

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La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´esentation des raisonnements entreront pour une part importante dans la notation.

L’usage de la calculatrice est autoris´e en « mode examen ».

Exercice 1 : (4 points)

On donnecosπ 12

=

√6 +√ 2

4 .

1. a) D´evelopper √ 6−√

2²

. b) D´emontrer que sinπ

12

=

√6−√ 2

4 .

2. Donner, en justifiant, les valeurs exactes suivantes : a) sin

−π 12

; b) cos

11π

12

.

Exercice 2 : (6 points)

Calculer la fonction d´eriv´ee de chacune des fonctions suivantes, d´efinies et d´erivables sur I.

a) f(x) = 8√x I =R^∗+; b) g(x) =x⁷+ 1

x + 1

x⁵ I =]0 ; +∞[; c) h(x) = 4x³−5x²+ 7x−8 I =R;

d) k(x) = (x²+ 1) (3x−5) I =R; e) ϕ(x) = 3x²−5x+ 2

x+ 1 I =]− ∞ ; −1[.

1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2 3

−1

−2

−3

×

×

#”i

#”j O

C

T

A

Exercice 3 : (4 points) B

Soitf une fonction d´efinie surR\{4} parf(x) =ax+ b

x−4, o`u a et b sont des r´eels `a d´eterminer. Sa repr´esentation graphique

C

est r´epr´esent´ee dans le rep`ere (O ;#”ı ,#”) ci-contre. A(0 ; −1) ∈ C et la droite T est tangente `a la courbe

C

_{au point B(2 ; 2).}

1. Donner la valeur def(0). En d´eduire b.

2. a) D´eterminer par lecture graphique, la valeur de f^′(2).

b) Calculer f^′(x) pour toutx∈R\{4}. c) En d´eduire a.

Exercice 4 : (3 points)

Soit f la fonction d´efinie pour tout r´eel x par

f(x) = x² +bx+ 5, o`u b est une constante r´eelle. Dans cet exercice, on veut d´eterminer la valeur de b.

Sachant que la tangente `a la courbe repr´esentative def au point d’abscisse 1est parall`ele `a la droite ∆ d’´equation y= 3x+√

2 , calculer la valeur deb.

Exercice 5 : (5 points)

1

−1

−2

−3

−4

1 2

−1

−2

−3 #”i

#”j

O

C On consid`ere la fonction polynˆome d´efinie sur R par : f(x) =−2x²+x+ 1.

La courbe repr´esentative C de f est repr´esent´ee dans le rep`ere ci-contre.

1. Calculerf^′(x) pour toutx∈R.

2. D´eterminer une ´equation de la tangenteT au point d’abscisse1`a la courbe repr´esentative def. Tracer la droiteT dans le rep`ere ci-contre.(on laissera les traits de construction)

3. ´Etudier la position relative de C et T.

4. Calculer l’abscisse du point de la courbe repr´esentative def, o`u la tangente est parall`ele `a l’axe des abscisses.

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