Devoir de math´ ematiques n
o1 - 1` ereS
22 septembre 2009 - 2H
Exercice 1 :(4,5 pts)
Soit un triangleABC. On consid`ere les pointsI etGd´efinis par :
−→AI = 3−−→AC et−−→BG = −1 5
−→BI.
1. EcrireI comme barycentre de AetC puisG comme barycentre deB etI 2. Montrer queGest le barycentre de (A,2),(B,6),(C,−3).
3. On consid`ere le pointJ tel que :−−→BJ =−−−→BC. (a) EcrireJ comme barycentre deB etC.
(b) D´emontrer queA,GetJ sont align´es.
Exercice 2 :(2 pts)
On donne un quadrilat`ere ABCD.
Les points sur les segments des cˆot´es sont r´eguliers.
A l’aide de la r`egle, construire le point G barycentre de (A,1), (B,1), (C,4) et (D,2).
Les traits de construction serviront de justification.
A B
C D
Exercice 3 :(5 pts)
SoientA,BetCtrois points non align´es ; soientDle barycentre de (B,2),(C,4),Ele barycentre de (A,1),(C,4) etF le barycentre de (A,1),(B,2).
1. D´eterminer la position des pointsD,E etF.
2. Montrer que les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes en un point P que l’on d´eterminera.
3. D´eterminer l’ensemble des pointsM du plan tels :
||−−→M A+ 2−−→M B||=||−−→M B+ 2−−→M C ||
4. Construire Γ.
Exercice 4 :(4 pts)
Soit (O;−→i ,−→j ) un rep`ere du plan. On consid`ere les points A(4;−5),B(−3;−2), C(3; 0) etD(5; 4).
1. D´eterminer les coordonn´ees du point E tel queBCDE soit un parall´elogramme, puis les coordonn´ees du centreL du parall´elogramme.
2. Soit Gle barycentre des points (A,2),(B,1),(C,1),(D,1),(E,1) ; d´eterminer les coordonn´ees du pointG.
3. D´emontrer que les pointsA,GetL sont align´es.
4. D´emontrer queG est le centre de gravit´e du triangleABD.
Exercice 5 :(4,5 points)
Soit ABC un triangle ´equilat´eral de cˆot´ea. Soit Γ l’ensemble des pointsM du plan tels que :
||−−→M A−2−−→M B+−−→M C ||=||−−→M A−4−−→M B+−−→M C ||
1. Prouver que le pointB est un point de Γ.
2. D´emontrer que−−→M A−2−−→M B+−−→M C est ind´ependant du choix deM.
3. Soit Gle barycentre des points (A,1),(B,−4),(C,1) ; prouver queGM = a√ 3 2 . 4. D´eterminer Γ.
