Ondes et Physique Moderne

Ondes et Physique Moderne

Pascal Ruello

Ins6tut des Molécules et Matériaux du Mans, UMR 6283 CNRS, Le Mans Université

Pascal.ruello@univ-lemans.fr

Plan

Ondes et physique moderne

•  1 Introduc6on

•  2 Oscillateurs libres : rappels

–  Oscillateur à 1 degré de liberté, 2D de liberté, no6on de modes propres (mécanique, électricité)

•  3 Chaines d’oscillateurs couplés infinies : équa6on d’onde 1D, 2D et 3D

–  onde

–  Chaîne de masses

–  Circuit LC (équa6on du télégraphe)

•  4 Vitesse de phase et de groupe, no6on de paquet d’ondes

•  5 Ondes à une fron6ère (condi6ons aux limites, réflexion, transmission, )

•  6 Ondes électromagné6ques

•  7 Plasma (ionosphère, métaux, soleil, …)

•  8 Ondes de spin… la nouvelle électronique ?

•  9 Onde gravita6onnelle.

Ondes - Volume 3, Berkeley : Cours De Physique

Frank-S Crawford

5 exemplaires à LA BU

Ondes : domaines d’applica6ons

•  Ondes mécaniques

–  Dans les solides, liquides ou gaz

(vibra6on sonore, hypersonore, ultrasonore, infrasons, séismes, vagues)

•  Ondes électriques/électromagné6ques

- influx électrique dans le corps humain (impulsion électrique) - ligne de télégraphe (circuit LC)

- ondes lumineuses (du rayon gamma aux ondes Hertziennes)

•  Fonc6ons d’ondes en mécanique quan6que (orbitale s, p, d, etc…)

•  Ondes de spin… vers la nouvelle électronique…

•  Ondes gravita6onnelles : contrac6on/dilata6on de l’espace-temps (modifica6on de la métrique)

à La quasi-totalité des sciences de la télécommunica6on repose sur les ondes (onde hertzienne, onde sonore, onde lumineuse – fibre-, courant électrique=onde électronique, etc…

•  Ondes mécaniques

–  Dans les solides, liquides ou gaz

(vibra6on sonore, hypersonore, ultrasonore,

infrasons, séismes, vagues)

•  Ondes électriques/électromagné6ques

- influx électrique dans le corps humain (impulsion électrique) - ligne de télégraphe (circuit LC), cable co-axial.

-  ondes lumineuses = propaga6on d’un champ électriquet et magné6que (du rayon gamma aux ondes Hertziennes)

Pascal Ruello, Université Le Mans 7

10

C’est la vitesse de propagation de l’enveloppe de l’onde. On montre qu’elle s’identifie généralement à la vitesse de propagation de l’énergie (ou de l’information). Le principe de relativité impose que la vitesse de groupe est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide.

Si vϕ dépend effectivement de ω, alors la phase de chaque onde plane progressive sinusoïdale se propage à sa propre vitesse. Une onde physique réelle, composée d’ondes planes progressives sinusoïdales, va se déformer au cours de sa propagation : c’est ce qu’on appelle la dispersion.

3 – Retour à la structure de l’onde plane progressive harmonique : Vitesse de groupe :

La vitesse de groupe vaut :

ω ω

d dk soit v

dk v d

g

g = 1 =

Or :

2 2

1 c p

d dk

ω ω

ω

ω ⁼ ₋

D’où :

c c

v_g ^{p p}

2 2 2

2

1 ω ω ω

ω

ω − = −

=

On constate que ^v_g < ^c et que ^v_ϕ^v_g =^c2.

Ondes Radio : GO, PO, FM…

Mécanique quan6que

Nature ondulatoire de la ma6ère : théorie révolu6onnaire du XX siècle !

Effet photoélectrique : la lumière (onde) est

cons6tuée de grain d’énergie (photon) de masse

nulle… E=hv

•  Il faut donc savoir écrire une onde, la manipuler, la modéliser, etc …

1 2 3 n-1 n n+1

ι

u₁

θ₁ θ₂ θ₃

θ_n-1 θ_n θ_n+1

u_n-1 u_n u_n+1 d

C C C

F₀e^iwt

z x

Plan

Ondes et physique moderne

•  1 Introduc6on

•  2 Oscillateurs libres : rappels

–  Oscillateur à 1 degré de liberté, 2D de liberté, no6on de modes propres (mécanique, électricité)

•  3 Chaines d’oscillateurs couplés infinies : équa6on d’onde 1D, 2D et 3D

–  onde

–  Chaîne de masses

–  Circuit LC (équa6on du télégraphe)

•  4 Vitesse de phase et de groupe, no6on de paquet d’ondes

•  5 Ondes à une fron6ère (condi6ons aux limites, réflexion, transmission, )

•  6 Ondes électromagné6ques

•  7 Plasma (ionosphère, métaux, soleil, …)

•  8 Ondes de spin… la nouvelle électronique ?

•  9 Onde gravita6onelle.

Ondes

•   Qu’est-ce qu’une onde ?

Répé66on dans l’espace et le temps d’un

phénomène (mécanique, électrique, chimique, biologique, etc…)

à  Onde sta6onnaire (pas de propaga6on) = système fermé

à  Onde progressive (propaga6on) = système ouvert

Ondes sta6onnaires

•  Il y a confinement du phénomène vibratoire

(espace borné = mur, boite, point d’ancrage)

Ondes progressives (système ouvert)

•  Il y a propaga6on d’un phénomènes dans

l’espace et le temps = pas de confinement

Plan

Ondes et physique moderne

•  1 Introduc6on

•  2 Oscillateurs libres : rappels

–  Oscillateur à 1 degré de liberté, 2D de liberté, no6on de modes propres (mécanique, électricité)

•  3 Chaines d’oscillateurs couplés infinies : équa6on d’onde 1D, 2D et 3D

–  onde

–  Chaîne de masses

–  Circuit LC (équa6on du télégraphe)

•  4 Vitesse de phase et de groupe, no6on de paquet d’ondes

•  5 Ondes à une fron6ère (condi6ons aux limites, réflexion, transmission, )

•  6 Ondes électromagné6ques

•  7 Plasma (ionosphère, métaux, soleil, …)

•  8 Ondes de spin… la nouvelle électronique ?

•  9 Onde gravita6onelle.

Oscillateurs simples libres

m d²x

dt² + kx = 0 d²x

dt² +ω₀^2x = 0 u_r

u_θ

mlθ= −mgsin(θ^{) ≅ −mg}θ θ+ g

l θ =θ+ω₀²θ = 0

F = −kx u_x

(échange entre l’énergie

poten6elle et l’énergie ciné6que Oscillateurs mécaniques

Equa6on de l’oscillateur harmonqiue

Pascal Ruello, Université Le Mans 15

TD 0 : Oscillateurs simples libres

u_r u_θ

F = −kx u_x

Oscillateurs mécaniques

Etablir les équa6ons du mouvement données sur le transparents précédents.

Oscillateurs simples libres

u_MN +u_AB = 0 L di

dt + Q

C = 0 L d²i

dt² + 1 C

dQ

dt = 0 L d²i

dt² + 1

C i = 0 d²i

dt² + 1

LC i = 0 d²i

dt² +

ω

₀^{2i = 0}

Circuit LC

Equa6on de l’oscillateur harmonqiue

Oscillateurs à 2 degrés de liberté

18 CHAPITRE 3. PROPRI´ET´ES DYNAMIQUES DE R´ESEAU

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#" #" #"

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u !

₁

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u !

₂

F!_1!2 F!_2!1

F!_ressort1!1

+('',+-")" +('',+-"*" +('',+-"."

F!_ressort3!2

/,'01,2"345670809+("

Figure 3.1 – Syst¨Eme de deux atomes mod`Elis`E par l’approche masse-ressort.

3.2.2 D´etermination des modes de vibration possibles

Des `Equations du mouvement `Etablies pr`Ec`Edemment, nous allons chercher les solutions harmo- niques de ce syst¨Eme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont impos`Ees ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes : u<sub>1</sub> = Ae<sup>i(kx t)</sup> et u<sub>1</sub> = Be<sup>i(kx t)</sup> . Notre syst¨Eme est un syst¨Eme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degr`Es de libert`E caract`Eris`Es par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le syst¨Eme d ?`Equations diffErentielles, nous obtenons un syst¨` Emes d ?`Equations lin`Eaires, tel que :

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) +B(2C m ²) = 0

Ce syst¨Eme d ?`Equations doit ´Itre vrai quelles que soient les valeurs de A et B, ce qui im- pose donc que ces deux `Equations doivent lin`Eairement li`Ees (d`Eterminant nul). Ceci conduit ? l ?`Equation suivante reliant ? ? k, selon :

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette `Equation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autoris`Es dans ce syst¨Eme (simple). Les deux pulsations respectives sont : ₁ = _m^C et ₂ = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le syst¨Emes d ?`Equations 3.3, nous obtenons alors les d`Eplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u₁ = ⇥u₂ , d`Eplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u₁ = ⇥u₂

Chapitre 4

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

4.1 Introduction

Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à deux degrés de liberté.

Exemples

– Figure 1 Si les masses m₁ et m₂ sont astreintes à se déplacer verticalement, 2 coordonnées x₁ et x₂ sont nécessaires pour spécifier la position de chaque masse à chaque instant.

– Figure 2 Si la masse M est astreinte à se déplacer dans un plan vertical, deux coordon- nées sont nécessaires pour spécifier la configuration du système. L’une de ces coordonnées peut être le déplacement x qui correspond à la translation verticale de la masse. L’autre coordonnée peut être le déplacement angulaire pour tenir compte de la rotation de la masse. Ces deux coordonnées sont indépendantes l’une de l’autre.

– Figure 3 Dans le cas du double pendule, deux coordonnées sont nécessaires pour spécifier la position des masses m₁ et m₂. Plusieurs choix sont pourtant possibles, en e⌦et on peut choisir (x₁, x₂) ou (y₁, y₂) ou ( ₁, ₂).

Il est possible de spécifier la configuration d’un système à l’aide de plusieurs ensembles de coordonnées indépendantes ; un ensemble quelconque de ces coordonnées est appelé coordonnées généralisées. Il y a autant d’équations de Lagrange que de degrés de liberté ou de coordonnées généralisées. Pour l’étude des systèmes à deux degrés de liberté, il est nécessaire d’écrire deux H. Djelouah

Pascal Ruello, Université Le Mans 18

Oscillateurs à 2 degrés de liberté

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

3.1 Introduction

Dans cette partie nous traitons les propri`Et`Es vibratoires d ?une cha ´One monoatomique et polyato- mique. L ?objectif est de d`Ecrire les param¨Etres physiques qui permettent ? des ondes (progressives, stationnaires) de s ?y propager. Avant d ?aborder la dynamique de r´eseau au sens classique (selon l ?approche Newtonienne), il est bon d ?introduire certains concepts de base, comme celui de mode propre, au travers d ?un syst¨Eme simple constitu`E de deux atomes. Nous verrons `Egalement le principe de superposition qui est tr¨Es important pour les mod¨Eles des solides que nous allons employer mais est aussi tr¨Es important pour la physique de sondes de mani¨Ere plus g`En`Erale.

3.2 Cas de la mol´ecule 1D (N=2).

3.2.1 Equation du mouvement

Soit le syst¨Eme de deux masses pr`Esent`E sur la figure XX. Ces deux masses sont reli`Ees entre elles par un ressort de constante de raideur k. Chacune de ces masses est par ailleurs reli`Ee ? un ´mur

a¯ fixe par des ressorts de m´Ime constante de raideur. Les positions d ?`Equilibre des masses 1 et 2 sont rep`Er`Ees par les droites verticales en pointill`Es. A l ?`Equilibre aucune force ne s ?exerce sur les masses.

Pour `Ecrire correctement l ?`Equation du mouvement de ce syst¨Eme, il faut bien d`Ecrire les forces qui s ?exercent sur les masses 1 et 2 en prenant par exemple une situation hors `Equilibre quelconque qui ici est caract`Eris`Ee par le d`Eplacement u1 et u2 des masses 1 et 2 respectives. Dans cette configuration, les forces correspondantes sont orient`Ees selon le dessin de la figure XX.

md²⇥u₁

dt² = ⇥

F _{2 1} + ⇥

F _{ressort1 1} (3.1)

md²⇥u₂

dt² = ⇥

F _{1 2} + ⇥

F _{ressort3 2}

En projetant sur l ?axe x, nous obtenons les `Equations alg`Ebriques suivantes :

md²u₁

dt² = C(u₂ u₁) ku₁ (3.2)

md²u₂

dt² = C(u₂ u₁) ku₂ 17

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

3.1 Introduction

Dans cette partie nous traitons les propri`Et`Es vibratoires d ?une cha ´One monoatomique et polyato- mique. L ?objectif est de d`Ecrire les param¨Etres physiques qui permettent ? des ondes (progressives, stationnaires) de s ?y propager. Avant d ?aborder la dynamique de r´eseau au sens classique (selon l ?approche Newtonienne), il est bon d ?introduire certains concepts de base, comme celui de mode propre, au travers d ?un syst¨Eme simple constitu`E de deux atomes. Nous verrons `Egalement le principe de superposition qui est tr¨Es important pour les mod¨Eles des solides que nous allons employer mais est aussi tr¨Es important pour la physique de sondes de mani¨Ere plus g`En`Erale.

3.2 Cas de la mol´ ecule 1D (N=2).

3.2.1 Equation du mouvement

Soit le syst¨Eme de deux masses pr`Esent`E sur la figure XX. Ces deux masses sont reli`Ees entre elles par un ressort de constante de raideur k. Chacune de ces masses est par ailleurs reli`Ee ? un ´mur

a¯ fixe par des ressorts de m´Ime constante de raideur. Les positions d ?`Equilibre des masses 1 et 2 sont rep`Er`Ees par les droites verticales en pointill`Es. A l ?`Equilibre aucune force ne s ?exerce sur les masses.

Pour `Ecrire correctement l ?`Equation du mouvement de ce syst¨Eme, il faut bien d`Ecrire les forces qui s ?exercent sur les masses 1 et 2 en prenant par exemple une situation hors `Equilibre quelconque qui ici est caract`Eris`Ee par le d`Eplacement u1 et u2 des masses 1 et 2 respectives. Dans cette configuration, les forces correspondantes sont orient`Ees selon le dessin de la figure XX.

md²⇥u₁

dt² = ⇥

F _{2 1} + ⇥

F _{ressort1 1} (3.1)

md²⇥u₂

dt² = ⇥

F _{1 2} + ⇥

F _{ressort3 2}

En projetant sur l ?axe x, nous obtenons les `Equations alg`Ebriques suivantes :

md²u₁

dt² = C(u₂ u₁) Cu₁ (3.2)

md²u₂

dt² = C(u₂ u₁) Cu₂ 17

18 CHAPITRE 3. PROPRI´ET´ES DYNAMIQUES DE R´ESEAU

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Figure 3.1 – Syst¨Eme de deux atomes mod`Elis`E par l’approche masse-ressort.

3.2.2 D´etermination des modes de vibration possibles

Des `Equations du mouvement `Etablies pr`Ec`Edemment, nous allons chercher les solutions harmo- niques de ce syst¨Eme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont impos`Ees ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes : u<sub>1</sub> = Ae<sup>i(kx t)</sup> et u<sub>1</sub> = Be<sup>i(kx t)</sup> . Notre syst¨Eme est un syst¨Eme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degr`Es de libert`E caract`Eris`Es par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le syst¨Eme d ?`Equations diffErentielles, nous obtenons un syst¨` Emes d ?`Equations lin`Eaires, tel que :

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) +B(2C m ²) = 0

Ce syst¨Eme d ?`Equations doit ´Itre vrai quelles que soient les valeurs de A et B, ce qui im- pose donc que ces deux `Equations doivent lin`Eairement li`Ees (d`Eterminant nul). Ceci conduit ? l ?`Equation suivante reliant ? ? k, selon :

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette `Equation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autoris`Es dans ce syst¨Eme (simple). Les deux pulsations respectives sont : ₁ = _m^C et ₂ = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le syst¨Emes d ?`Equations 3.3, nous obtenons alors les d`Eplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u₁ = ⇥u₂ , d`Eplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u<sub>1</sub> = ⇥u<sub>2</sub> , d`Eplacement en anti-phase). Une repr`Esentation des d`Eplacements longitudinaux associ`Es ? ces

Pour établir les éq. du

mouvement, prendre deux déplacement quelconques (u₁, u₂) et bien faire amen6on au sens des forces lors de la projec6on de celles-ci le long de l’axe Ox!!

Pascal Ruello, Université Le Mans 19

Solu6on : modes propres

Dans un système à 2 masses couplées, pour un mode de vibra6on harmonique les masses oscillent avec la même phase (elles sont couplées ! Il s’agit d’un mode collec6f). Le mouvement u(x,t) s’annule au même moment pour les deux masses.

Ceci est nécessaire car la solu6on générale doit aussi reproduire la solu6on

par6culière triviale (masses au repos). Les formes générales des amplitudes sont donc :

u₁ = Acos(ω^t +ϕ⁾ u₂ = Bcos(ω^t +ϕ⁾

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

3.1 Introduction

Dans cette partie nous traitons les propri`Et`Es vibratoires d ?une cha ´One monoatomique et polyato- mique. L ?objectif est de d`Ecrire les param¨Etres physiques qui permettent ? des ondes (progressives, stationnaires) de s ?y propager. Avant d ?aborder la dynamique de r´eseau au sens classique (selon l ?approche Newtonienne), il est bon d ?introduire certains concepts de base, comme celui de mode propre, au travers d ?un syst¨Eme simple constitu`E de deux atomes. Nous verrons `Egalement le principe de superposition qui est tr¨Es important pour les mod¨Eles des solides que nous allons employer mais est aussi tr¨Es important pour la physique de sondes de mani¨Ere plus g`En`Erale.

3.2 Cas de la mol´ ecule 1D (N=2).

3.2.1 Equation du mouvement

Soit le syst¨Eme de deux masses pr`Esent`E sur la figure XX. Ces deux masses sont reli`Ees entre elles par un ressort de constante de raideur k. Chacune de ces masses est par ailleurs reli`Ee ? un ´mur

a¯ fixe par des ressorts de m´Ime constante de raideur. Les positions d ?`Equilibre des masses 1 et 2 sont rep`Er`Ees par les droites verticales en pointill`Es. A l ?`Equilibre aucune force ne s ?exerce sur les masses.

Pour `Ecrire correctement l ?`Equation du mouvement de ce syst¨Eme, il faut bien d`Ecrire les forces qui s ?exercent sur les masses 1 et 2 en prenant par exemple une situation hors `Equilibre quelconque qui ici est caract`Eris`Ee par le d`Eplacement u1 et u2 des masses 1 et 2 respectives. Dans cette configuration, les forces correspondantes sont orient`Ees selon le dessin de la figure XX.

md²⇥u₁

dt² = ⇥

F _{2 1} + ⇥

F _{ressort1 1} (3.1)

md²⇥u₂

dt² = ⇥

F _{1 2} + ⇥

F _{ressort3 2}

En projetant sur l ?axe x, nous obtenons les `Equations alg`Ebriques suivantes :

md²u₁

dt² = C(u₂ u₁) Cu₁ (3.2)

md²u₂

dt² = C(u₂ u₁) Cu₂ 17

18 CHAPITRE 3. PROPRI´ET´ES DYNAMIQUES DE R´ESEAU

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Figure 3.1 – Syst¨Eme de deux atomes mod`Elis`E par l’approche masse-ressort.

3.2.2 D´etermination des modes de vibration possibles

Des `Equations du mouvement `Etablies pr`Ec`Edemment, nous allons chercher les solutions harmo- niques de ce syst¨Eme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont impos`Ees ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes : u1 = Ae<sup>i(kx t)</sup> et u1 = Be<sup>i(kx t)</sup> . Notre syst¨Eme est un syst¨Eme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degr`Es de libert`E caract`Eris`Es par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le syst¨Eme d ?`Equations diffErentielles, nous obtenons un syst¨` Emes d ?`Equations lin`Eaires, tel que :

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) + B(2C m ²) = 0

Ce syst¨Eme d ?`Equations doit ´Itre vrai quelles que soient les valeurs de A et B, ce qui im- pose donc que ces deux `Equations doivent lin`Eairement li`Ees (d`Eterminant nul). Ceci conduit ? l ?`Equation suivante reliant ? ? k, selon :

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette `Equation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autoris`Es dans ce syst¨Eme (simple). Les deux pulsations respectives sont : ₁ = _m^C et ₂ = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le syst¨Emes d ?`Equations 3.3, nous obtenons alors les d`Eplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u ₁ = ⇥u ₂ , d`Eplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u <sub>1</sub> = ⇥u <sub>2</sub> , d`Eplacement en anti-phase). Une repr`Esentation des d`Eplacements longitudinaux associ`Es ? ces

18 CHAPITRE 3. PROPRI´ET´ES DYNAMIQUES DE R´ESEAU

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Figure 3.1 – Syst¨Eme de deux atomes mod`Elis`E par l’approche masse-ressort.

3.2.2 D´ etermination des modes de vibration possibles

Des `Equations du mouvement `Etablies pr`Ec`Edemment, nous allons chercher les solutions harmo- niques de ce syst¨Eme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont impos`Ees ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes : u<sub>1</sub> = Ae<sup>i(kx t)</sup> et u<sub>1</sub> = Be<sup>i(kx t)</sup> . Notre syst¨Eme est un syst¨Eme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degr`Es de libert`E caract`Eris`Es par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le syst¨Eme d ?`Equations diffErentielles, nous obtenons un syst¨` Emes d ?`Equations lin`Eaires, tel que :

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) + B(2C m ²) = 0

Ce syst¨Eme d ?`Equations doit ´Itre vrai quelles que soient les valeurs de A et B, ce qui im- pose donc que ces deux `Equations doivent lin`Eairement li`Ees (d`Eterminant nul). Ceci conduit ? l ?`Equation suivante reliant ? ? k, selon :

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette `Equation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autoris`Es dans ce syst¨Eme (simple). Les deux pulsations respectives sont : ₁ = _m^C et ₂ = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le syst¨Emes d ?`Equations 3.3, nous obtenons alors les d`Eplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u ₁ = ⇥u ₂ , d`Eplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u <sub>1</sub> = ⇥u <sub>2</sub> , d`Eplacement en anti-phase). Une repr`Esentation des d`Eplacements longitudinaux associ`Es ? ces deux modes propres est donn`Ee sur la figure suivante.

On injecte dans le système

d’équa6ons Ce système d’équa6on est non trivial si le déterminant est nul

Deux solu6ons possibles

18 CHAPITRE 3. PROPRI´ET´ES DYNAMIQUES DE R´ESEAU

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Figure

3.1 – Syst¨ Eme de deux atomes mod` Elis` E par l’approche masse-ressort.

3.2.2 D´ etermination des modes de vibration possibles

Des ` Equations du mouvement ` Etablies pr` Ec` Edemment, nous allons chercher les solutions harmo- niques de ce syst¨ Eme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont impos` Ees ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes :

u₁

=

Ae^{i(kx t)}

et

u₁

=

Be^{i(kx t)}

. Notre syst¨ Eme est un syst¨ Eme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degr` Es de libert` E caract` Eris` Es par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le syst¨ Eme d ?` Equations diff Erentielles, nous obtenons un syst¨ ` Emes d ?` Equations lin` Eaires, tel que :

A(2C m ²

)

B(C

) = 0 (3.3)

A( C

) +

B(2C m ²

) = 0

Ce syst¨ Eme d ?` Equations doit ´Itre vrai quelles que soient les valeurs de A et B, ce qui im- pose donc que ces deux ` Equations doivent lin` Eairement li` Ees (d` Eterminant nul). Ceci conduit ? l ?` Equation suivante reliant ? ? k, selon :

(3C

m ²

)(C

m ²

) = 0 (3.4)

Cette ` Equation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autoris` Es dans ce syst¨ Eme (simple). Les deux pulsations respectives sont :

₁

=

_m^C

et

₂

=

^3C_m

. En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le syst¨ Emes d ?` Equations 3.3, nous obtenons alors les d` Eplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit

⇥u ₁

=

⇥u ₂

, d` Eplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit

⇥u ₁

=

⇥u ₂

, d` Eplacement en anti-phase). Une repr` Esentation des d` Eplacements longitudinaux associ` Es ? ces deux modes propres est donn` Ee sur la figure suivante.

18 CHAPITRE 3. PROPRI´ET´ES DYNAMIQUES DE R´ESEAU

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Figure 3.1 – Syst¨Eme de deux atomes mod`Elis`E par l’approche masse-ressort.

3.2.2 D´etermination des modes de vibration possibles

Des `Equations du mouvement `Etablies pr`Ec`Edemment, nous allons chercher les solutions harmo- niques de ce syst¨Eme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont impos`Ees ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes : u<sub>1</sub> = Ae<sup>i(kx t)</sup> et u<sub>1</sub> = Be<sup>i(kx t)</sup> . Notre syst¨Eme est un syst¨Eme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degr`Es de libert`E caract`Eris`Es par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le syst¨Eme d ?`Equations diffErentielles, nous obtenons un syst¨` Emes d ?`Equations lin`Eaires, tel que :

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) + B(2C m ²) = 0

Ce syst¨Eme d ?`Equations doit ´Itre vrai quelles que soient les valeurs de A et B, ce qui im- pose donc que ces deux `Equations doivent lin`Eairement li`Ees (d`Eterminant nul). Ceci conduit ? l ?`Equation suivante reliant ? ? k, selon :

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette `Equation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autoris`Es dans ce syst¨Eme (simple). Les deux pulsations respectives sont : ₁ = _m^C et ₂ = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le syst¨Emes d ?`Equations 3.3, nous obtenons alors les d`Eplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u ₁ = ⇥u ₂ , d`Eplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u <sub>1</sub> = ⇥u <sub>2</sub> , d`Eplacement en anti-phase). Une repr`Esentation des d`Eplacements longitudinaux associ`Es ? ces deux modes propres est donn`Ee sur la figure suivante.

Pascal Ruello, Université Le Mans 20

Pascal Ruello, Université Le Mans 21

06/01/2020 13(19 Deux oscillateurs harmoniques couplés

Catégories Mécanique Electricité

Optique géométrique Optique ondulatoire Electronique Cristallographie Thermodynamique Divers

Récréation Accueil

Il vaut valider chaque saisie dans les zones de texte.

Configuration Aspiration A propos

Deux oscillateurs harmoniques couplés

Animation Courbes M1/M2 1.0 X2 2 K2 1.0 K3 1.0

On considère deux oscillateurs harmoniques (masse M1 , ressort de raideur K1 et masse M2, ressort de raideur K3) couplés par un ressort de raideur K2. On néglige les frottements.

Les pulsations des deux oscillateurs indépendants sont ω₁² = K1 / M1 et ω₂² = K3 / M2.

La mise en équation du système et sa résolution se trouvent dans la page Systèmes couplés Pour certains cas particuliers, une solution analytique du problème est facile à obtenir.

Afin de pouvoir traiter tous les cas, dans le programme, le système d'équations différentielles couplées est résolu numériquement en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.

Par hypothèse, la vitesse initiale des deux masses est toujours nulle.

On peut constater que pour des conditions initiales quelconques la solution est en général d'aspect complexe. C'est une combinaison linéaire des deux modes propres.

Elle est de la forme : Xi = Ai.cos(ω_j.t) + Bi.cos(ω_k.t) (i = 1 , 2) La valeur des constantes Ai et Bi est fonction des conditions initiales.

On pourra constater que l'on a toujours |ω_j - ω_k| > |ω₁ - ω₂|.

On dit que le couplage écarte les fréquences propres.

Le programme permet également, en faisant K3 = 0, l'étude d'un autre système de couplage de deux masses par un ressort.

Utilisation :

La valeur X1 de l'amplitude initiale du premier pendule est toujours égal à +2.

La valeur de K1 est égale à 1 N / m et M = 1kg.

Avec des valeurs identiques des masses (M1 / M2 = 1) et avec K2 non nul, testez les cas : a) X2 = −2

b) X2 = +2

Ces conditions initiales correspondent aux modes propres symétrique et antisymétrique.

En particulier pour K2 = K1 = 1 vérifier que le carré du rapport des fréquences des 2 modes propres est égal à 3.

Avec K2 = 0, on obtient deux oscillateurs harmoniques indépendants.

Avec le rapport M1/M2 voisin de 1 (1,1 par exemple) et un couplage faible (K2 = 0,1), on obtient des battements car les périodes propres de chaque oscillateur sont voisines.

Avec K2 = K3 = 0 , on retrouve un oscillateur unique.

Avec K2 = 0 , on obtient deux oscillateurs non couplés.

Il vaut valider chaque saisie dans les zones de texte.

Ressources Configuration Aspiration A propos

3.2. Cas de la mol´ecule 1D (N=2). 19

u!₁

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u!₂ = ! u₁

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!₁ = C m

Figure3.2 – Principe de la mesure optique en configuration pompe-sonde. Un faisceau pompe d clenche une dynamique. Le faisceau sonde, arrivant avec un d lai contr ?l , permet alors d’ tudier ? diffrents instants apr `As l’excitation les propri t s optiques du mat riau. Les dynamiques lectronique et acoustique sont deux informations que l’on peut extraire.

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Figure3.3 – Principe de la mesure optique en configuration pompe-sonde. Un faisceau pompe d clenche une dynamique. Le faisceau sonde, arrivant avec un d lai contr ?l , permet alors d’ tudier ? diffrents instants apr `As l’excitation les propri t s optiques du mat riau. Les dynamiques lectronique et acoustique sont deux informations que l’on peut extraire.

Pascal Ruello, Université Le Mans 22

3.2. Cas de la mol´ecule 1D (N=2). 19

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Figure 3.2 – Principe de la mesure optique en configuration pompe-sonde. Un faisceau pompe d clenche une dynamique. Le faisceau sonde, arrivant avec un d lai contr ?l , permet alors d’ tudier ? diffrents instants apr `As l’excitation les propri t s optiques du mat riau. Les dynamiques lectronique et acoustique sont deux informations que l’on peut extraire.

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Figure 3.3 – Principe de la mesure optique en configuration pompe-sonde. Un faisceau pompe d clenche une dynamique. Le faisceau sonde, arrivant avec un d lai contr ?l , permet alors d’ tudier ? diffrents instants apr `As l’excitation les propri t s optiques du mat riau. Les dynamiques lectronique et acoustique sont deux informations que l’on peut extraire.

06/01/2020 13(21 Deux oscillateurs harmoniques couplés

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Optique géométrique Optique ondulatoire Electronique Cristallographie Thermodynamique Divers

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Deux oscillateurs harmoniques couplés

Animation Courbes M1/M2 1.0 X2 -2 K2 1.0 K3 1.0

On considère deux oscillateurs harmoniques (masse M1 , ressort de raideur K1 et masse M2, ressort de raideur K3) couplés par un ressort de raideur K2. On néglige les frottements.

Les pulsations des deux oscillateurs indépendants sont ω₁² = K1 / M1 et ω₂² = K3 / M2.

La mise en équation du système et sa résolution se trouvent dans la page Systèmes couplés Pour certains cas particuliers, une solution analytique du problème est facile à obtenir.

Afin de pouvoir traiter tous les cas, dans le programme, le système d'équations différentielles couplées est résolu numériquement en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.

Par hypothèse, la vitesse initiale des deux masses est toujours nulle.

On peut constater que pour des conditions initiales quelconques la solution est en général d'aspect complexe. C'est une combinaison linéaire des deux modes propres.

Elle est de la forme : Xi = Ai.cos(ω_j.t) + Bi.cos(ω_k.t) (i = 1 , 2) La valeur des constantes Ai et Bi est fonction des conditions initiales.

On pourra constater que l'on a toujours |ω_j - ω_k| > |ω₁ - ω₂|.

On dit que le couplage écarte les fréquences propres.

Le programme permet également, en faisant K3 = 0, l'étude d'un autre système de couplage de deux masses par un ressort.

Utilisation :

La valeur X1 de l'amplitude initiale du premier pendule est toujours égal à +2.

La valeur de K1 est égale à 1 N / m et M = 1kg.

Avec des valeurs identiques des masses (M1 / M2 = 1) et avec K2 non nul, testez les cas : a) X2 = −2

b) X2 = +2

Ces conditions initiales correspondent aux modes propres symétrique et antisymétrique.

En particulier pour K2 = K1 = 1 vérifier que le carré du rapport des fréquences des 2 modes propres est égal à 3.

Avec K2 = 0, on obtient deux oscillateurs harmoniques indépendants.

Avec le rapport M1/M2 voisin de 1 (1,1 par exemple) et un couplage faible (K2 = 0,1), on obtient des battements car les périodes propres de chaque oscillateur sont voisines.

Avec K2 = K3 = 0 , on retrouve un oscillateur unique.

Avec K2 = 0 , on obtient deux oscillateurs non couplés.

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