hS~n ^ (S~n+1 + S~n°1) (2) On rappelle pour cel`a l’´equation du moment cin´etique L~
dL~
dt = C~ o`u C~ est le couple appliqu´e. Ici C~ = M~ ^ B~.
3 - L’´equation du mouvement (2) est non lin´eaire. `A partir de maintenant, on se limite
`a l’´etude de petits mouvements autour de l’alignement ferromagn´etique, parall`ele `a l’axe ~uz. On note S~n = S~uz + ± ~Sn. Utiliser une notation complexe ±Sn = ±Snx + i±Sny pour ´ecrire les
´equations du mouvement lin´earis´ees.
4 - D´ecoupler les ´equations obtenues en modes propres, appel´es ondes de spin, solutions de la forme: o`u la pulsation des modes propres s’´ecrit:
4JS ka
Physique des Solides novembre 2005
Gilles Montambaux
Petite Classe 9
Ondes de Spin - Magnons
On consid`ere une chaˆıne de N atomes identiques, chacun portant un moment magn´etique M ~ = ∞ ¯ h S ~ o` u ¯ h S ~ est le moment cin´etique de spin de chaque atome et ∞ est le rapport gyro-magn´etique. L’interaction entre moments est d´ecrite par l’hamiltonien de Heisenberg:
H = ° J
Xn
S ~
nS ~
n+1(1)
Cette interaction, si J est positif, favorise un ´etat ferromagn´etique `a temp´erature nulle. A temp´erature T finie, cette configuration est perturb´ee car les spins s’´ecartent de leur position d’´equilibre `a cause de l’agitation thermique. On cherche `a d´ecrire, `a basse temp´erature, l’´ecart
`a cette position d’´equilibre. On en d´eduira la chaleur sp´ecifique et l’aimantation de la chaˆıne `a temp´erature finie. On traite les op´erateurs comme des vecteurs classiques de longueur S .
1 - Montrer que le couplage d’un spin `a ses voisins peut se d´ecrire comme l’action d’un champ magn´etique B ~
nagissant sur S ~
n.
2 - Montrer que l’´equation diÆ ´erentielle liant le mouvement du spin S
n`a celui de ses voisins s’´ecrit
d S ~
ndt = J
¯
h S ~
n^ ( S ~
n+1+ S ~
n°1) (2) On rappelle pour cel`a l’´equation du moment cin´etique L ~
d L ~
dt = C ~ o` u C ~ est le couple appliqu´e. Ici C ~ = M ~ ^ B ~ .
3 - L’´equation du mouvement (2) est non lin´eaire. ` A partir de maintenant, on se limite
`a l’´etude de petits mouvements autour de l’alignement ferromagn´etique, parall`ele `a l’axe ~ u
z. On note S ~
n= S ~ u
z+ ± ~ S
n. Utiliser une notation complexe ± S
n= ±S
nx+ i± S
nypour ´ecrire les
´equations du mouvement lin´earis´ees.
4 - D´ecoupler les ´equations obtenues en modes propres, appel´es ondes de spin, solutions de la forme:
o` u la pulsation des modes propres s’´ecrit:
!
k= 4JS
¯
h sin
2ka
2 (3)
Physique des Solides novembre 2005
Gilles Montambaux
Petite Classe 9
Ondes de Spin - Magnons
On consid`ere une chaˆıne de N atomes identiques, chacun portant un moment magn´etique M ~ = ∞¯ h S ~ o` u ¯ h S ~ est le moment cin´etique de spin de chaque atome et ∞ est le rapport gyro-magn´etique. L’interaction entre moments est d´ecrite par l’hamiltonien de Heisenberg:
H = ° J
Xn
S ~
nS ~
n+1(1)
Cette interaction, si J est positif, favorise un ´etat ferromagn´etique `a temp´erature nulle. A temp´erature T finie, cette configuration est perturb´ee car les spins s’´ecartent de leur position d’´equilibre `a cause de l’agitation thermique. On cherche `a d´ecrire, `a basse temp´erature, l’´ecart
`a cette position d’´equilibre. On en d´eduira la chaleur sp´ecifique et l’aimantation de la chaˆıne `a temp´erature finie. On traite les op´erateurs comme des vecteurs classiques de longueur S .
1 - Montrer que le couplage d’un spin `a ses voisins peut se d´ecrire comme l’action d’un champ magn´etique B ~
nagissant sur S ~
n.
2 - Montrer que l’´equation diÆ´erentielle liant le mouvement du spin S
n`a celui de ses voisins s’´ecrit
d S ~
ndt = J
¯
h S ~
n^ ( S ~
n+1+ S ~
n°1) (2) On rappelle pour cel`a l’´equation du moment cin´etique L ~
d L ~
dt = C ~ o` u C ~ est le couple appliqu´e. Ici C ~ = M ~ ^ B ~ .
3 - L’´equation du mouvement (2) est non lin´eaire. ` A partir de maintenant, on se limite
`a l’´etude de petits mouvements autour de l’alignement ferromagn´etique, parall`ele `a l’axe ~ u
z. On note S ~
n= S ~ u
z+ ± ~ S
n. Utiliser une notation complexe ±S
n= ±S
nx+ i±S
nypour ´ecrire les
´equations du mouvement lin´earis´ees.
4 - D´ecoupler les ´equations obtenues en modes propres, appel´es ondes de spin, solutions de la forme:
o` u la pulsation des modes propres s’´ecrit:
!
k= 4JS
¯
h sin
2ka
2 (3)
Rappel de mécanique
Ici M sera le moment de spin et B sera le champ magné6que créé par les voisins du spin n
Énergie du
spin n
!
!= −2!!
!. (!
!!!+ !
!!!)
On peut montrer que le moment magné6que sur le site n vaut
L’équa6on du mouvement devient
ℏ !!
!!" = !
!∧ !
!Bn
μn Développons sur Ox l’équa6on du mouvement
Si
!
!!≪ !
!!≅ !
Spin s’écartant peu de la ver6calité Alors nous arrivons à :!!
!!!" = 2!
ℏ !
!!!
!!!!+ !
!!!!− !
!!!
!!!!+ !
!!!!!!
!!!" = 2!!
ℏ 2!
!!− !
!!!!− !
!!!!!!
!!!" = − 2!!
ℏ 2!
!!− !
!!!!− !
!!!!m d2un
dt2 =C u
(
n+1+un−1−2un)
Très proche de l’équa6on des masses couplés par des ressorts
x y z
Ondes de spin
S
px= S
0xe
i(qpa−wt), S
py= S
0ye
i(qpa−wt)− iwS
0x= α (2S
0y− S
0ye
−iqa− S
0ye
iqa) = α (2S
0y(1 − cos qa))
− iwS
0y= − α (2 S
0x− S
0xe
−iqa− S
0xe
iqa) = − α (2 S
0x(1 − cos qa))
Ce système d’équa6on doit être vrai quelle que soit les amplitudes des ondes. Résoudre ce système conduit à :
En recherchant des formes d’ondes planes, nous arrvons au système d’équa6ons suivant
! w = 4 JS (1 − cos qa )
Rela6on dedispersion
Pascal Ruello, Université Le Mans 117
L’excita6on collec6ve d’un assemblée de spin en interac6on est
nommée magnon. Comme l’osccilateur harmonique quan6que, on peut d’écrire son énergie sous forme de quanta.
La discussion de la rela6on de dispersion, de la vitesse de groupe et des autres propriétés sont au programme du Master….
Figure 1. (a) Phonon dispersion and density of state (DOS) and (b) magnon dispersion relations and DOS of BCC iron. Black solid lines are dispersions calculated from dynamical equations, and blue stars and red circles are phonon and magnon frequencies fitted from spectral energy density and spectral density methods, respectively. Blue triangles in panel (b) are neutron scattering data from Ref. [55]. The inset in panel (a) is a schematic of the BCC iron structure with atomic spins superimposed on the lattice sites. The DOS are divided by the number of grid sampling points in the Brillouin zone, which are chosen to be the same for both magnon and phonon calculations.
Wu et al, Arxiv 2018