Ondes Pascal Ruello Ins/tut des Molécules et Matériaux du Mans, UMR 6283 CNRS, Université du Maine [email protected]

(1)

Ondes

Pascal Ruello

Ins/tut des Molécules et Matériaux du Mans, UMR 6283 CNRS, Université du Maine

[email protected]

(2)

Pascal Ruello, Université Le Mans 2

hHp://perso.univ-lemans.fr/~pruello/cours_Ondes_L2_PR_2018-2019

(3)

Plan

Ondes et physique moderne

•  1 Introduc/on

•  2 Oscillateurs libres : rappels

–  Oscillateur à 1 degré de liberté, 2D de liberté, no/on de modes propres (mécanique, électricité)

•  3 Chaines d’oscillateurs couplés inﬁnies : équa/on d’onde 1D, 2D et 3D

–  onde

–  Chaîne de masses

–  Circuit LC (équa/on du télégraphe)

•  4 Vitesse de phase et de groupe, no/on de paquet d’ondes

•  5 Ondes à une fron/ère (condi/ons aux limites, réﬂexion, transmission, )

•  6 Ondes électromagné/ques

•  7 Plasma (ionosphère, métaux, soleil, …)

•  8 Ondes de spin… la nouvelle électronique ?

•  9 Onde gravita/onelle.

(4)

Ondes - Volume 3, Berkeley : Cours De Physique

Frank-S Crawford

5 exemplaires à LA BU

(5)

•   Ondes mécaniques

–  Dans les solides, liquides ou gaz

(vibra/on sonore, hypersonore, ultrasonore, infrasons, séismes, vagues)

•  Ondes électriques/électromagné/ques

- inﬂux électrique dans le corps humain (impulsion électrique)

- ligne de télégraphe (circuit LC)

- ondes lumineuses (du rayon gamma aux ondes Hertziennes)

•  Ondes gravita/onnelles : contrac/on/dilata/on de

l’espace-temps (modiﬁca/on de la métrique)

(6)

•  Ondes mécaniques

–  Dans les solides, liquides ou gaz

(vibra/on sonore, hypersonore, ultrasonore, infrasons, séismes, vagues)

(7)

•  Ondes électriques/électromagné/ques

- inﬂux électrique dans le corps humain (impulsion électrique) - ligne de télégraphe (circuit LC), cable co-axial.

-  ondes lumineuses = propaga/on d’un champ électriquet et magné/que (du rayon gamma aux ondes Hertziennes)

(8)

10

C’est la vitesse de propagation de l’enveloppe de l’onde. On montre qu’elle s’identifie généralement à la vitesse de propagation de l’énergie (ou de l’information). Le principe de relativité impose que la vitesse de groupe est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide.

Si vϕ dépend effectivement de ω, alors la phase de chaque onde plane progressive sinusoïdale se propage à sa propre vitesse. Une onde physique réelle, composée d’ondes planes progressives sinusoïdales, va se déformer au cours de sa propagation : c’est ce qu’on appelle la dispersion.

3 – Retour à la structure de l’onde plane progressive harmonique : Vitesse de groupe :

La vitesse de groupe vaut :

ω ω

d dk soit v

dk v d

g

g = 1 =

Or :

2 2

1 c p

d dk

ω ω

ω

ω ⁼ ₋

D’où :

c c

v_g ^p ^p

2 2 2

2

1 ω ω ω

ω

ω − = −

=

On constate que ^v_g < ^c et que ^v_ϕ^v_g = ^c².

(9)

PLan

–  Propaga/on d’une onde quelconque : équa/on d’onde –  Chaine de masses

•  5 Ondes à une fron/ère (Condi/ons aux limites, réﬂexion, transmission, )

(10)

Ondes

•  Qu’est-ce qu’une onde ?

Répé//on dans l’espace et le temps d’un

phénomène (mécanique, électrique, chimique, biologique, etc…)

à  Onde sta/onnaire (pas de propaga/on) = système fermé

à  Onde progressive (propaga/on) = système ouvert

(11)

Ondes sta/onnaires

•  Il y a conﬁnement du phénomène vibratoire

(espace borné = mur, boite, point d’ancrage)

(12)

Ondes progressives (système ouvert)

•  Il y a propaga/on d’un phénomènes dans l’espace et le temps = pas de conﬁnement

(13)

PLan

–  Propaga/on d’une onde quelconque : équa/on d’onde –  Chaine de masses

•  5 Ondes à une fron/ère (condi/ons aux limites, réﬂexion, transmission, )

(14)

Oscillateurs simples libres

m d²x

dt² +kx = 0 d²x

dt² +ω₀²^x = 0 u_r

u_θ

mlθ= −mgsin(θ⁾≅ −mgθ θ+ g

l θ =θ+ω₀²θ = 0

F = −kx u_x

(échange entre l’énergie

poten/elle et l’énergie ciné/que Oscillateurs mécaniques

Equa/on de l’oscillateur harmonqiue

(15)

TD0

•  Etablir les équa/ons du mouvement données

sur le transparents précédents.

(16)

Oscillateurs simples libres

u_MN +u_AB = 0 L di

dt + Q

C = 0 L d²i

dt² + 1 C

dQ

dt = 0 L d²i

dt² + 1

C i = 0 d²i

dt² + 1

LC i = 0 d²i

dt² +ω₀²ⁱ = 0

Circuit LC

Equa/on de l’oscillateur harmonqiue

(17)

Oscillateurs à 2 degrés de liberté

18 CHAPITRE 3. PROPRIÉTÉS DYNAMIQUES DE RÉSEAU

!" !"

#" #" #"

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u !

₁

%&''(")" %&''("*"

u !

₂

F!_1!2 F!_2!1

F!_ressort1!1

+('',+-")" +('',+-"*" +('',+-"."

F!_ressort_3!2

/,'01,2"345670809+("

Figure 3.1 – SystËme de deux atomes modÈlisÈ par l’approche masse-ressort.

3.2.2 D´etermination des modes de vibration possibles

Des Èquations du mouvement Ètablies prÈcÈdemment, nous allons chercher les solutions harmoniques de ce systËme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont imposÈes ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes : u1 = Aeî(kx ^t) et u1 = Beî(kx ^t) . Notre systËme est un systËme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degrÈs de libertÈ caractÈrisÈs par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le systËme d ?Èquations diffErentielles, nous obtenons un syst¨` Emes d ?Èquations linÈaires, tel que :

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) +B(2C m ²) = 0

Ce systËme d ?Èquations doit Ítre vrai quelles que soient les valeurs de A et B, ce qui impose donc que ces deux Èquations doivent linÈairement liÈes (dÈterminant nul). Ceci conduit ? l ?Èquation suivante reliant ? ? k, selon :

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette Èquation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autorisÈs dans ce systËme (simple). Les deux pulsations respectives sont : ₁ = _m^C et ₂ = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le systËmes d ?Èquations 3.3, nous obtenons alors les dÈplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u₁ = ⇥u₂ , dÈplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u₁ = ⇥u₂ , dÈplacement en anti-phase). Une reprÈsentation des dÈplacements longitudinaux associÈs ? ces

Chapitre 4

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

4.1 Introduction

Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à deux degrés de liberté.

Exemples

– Figure 1 Si les masses m₁ et m₂ sont astreintes à se déplacer verticalement, 2 coordonnées x₁ et x₂ sont nécessaires pour spécifier la position de chaque masse à chaque instant.

– Figure 2 Si la masse M est astreinte à se déplacer dans un plan vertical, deux coordon- nées sont nécessaires pour spécifier la configuration du système. L’une de ces coordonnées peut être le déplacement x qui correspond à la translation verticale de la masse. L’autre coordonnée peut être le déplacement angulaire pour tenir compte de la rotation de la masse. Ces deux coordonnées sont indépendantes l’une de l’autre.

– Figure 3 Dans le cas du double pendule, deux coordonnées sont nécessaires pour spécifier la position des masses m₁ et m₂. Plusieurs choix sont pourtant possibles, en e⌦et on peut choisir (x₁, x₂) ou (y₁, y₂) ou ( ₁, ₂).

Il est possible de spécifier la configuration d’un système à l’aide de plusieurs ensembles de coordonnées indépendantes ; un ensemble quelconque de ces coordonnées est appelé coordonnées généralisées. Il y a autant d’équations de Lagrange que de degrés de liberté ou de coordonnées généralisées. Pour l’étude des systèmes à deux degrés de liberté, il est nécessaire d’écrire deux H. Djelouah

(18)

Oscillateurs à 2 degrés de liberté

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

3.1 Introduction

Dans cette partie nous traitons les propriÈtÈs vibratoires d ?une cha Óne monoatomique et polyato- mique. L ?objectif est de dÈcrire les paramËtres physiques qui permettent ? des ondes (progressives, stationnaires) de s ?y propager. Avant d ?aborder la dynamique de réseau au sens classique (selon l ?approche Newtonienne), il est bon d ?introduire certains concepts de base, comme celui de mode propre, au travers d ?un systËme simple constituÈ de deux atomes. Nous verrons Ègalement le principe de superposition qui est trËs important pour les modËles des solides que nous allons employer mais est aussi trËs important pour la physique de sondes de maniËre plus gÈnÈrale.

3.2 Cas de la mol´ecule 1D (N=2).

3.2.1 Equation du mouvement

Soit le systËme de deux masses prÈsentÈ sur la figure XX. Ces deux masses sont reliÈes entre elles par un ressort de constante de raideur k. Chacune de ces masses est par ailleurs reliÈe ? un ´mur

a¯ fixe par des ressorts de mÍme constante de raideur. Les positions d ?Èquilibre des masses 1 et 2 sont repÈrÈes par les droites verticales en pointillÈs. A l ?Èquilibre aucune force ne s ?exerce sur les masses.

Pour Ècrire correctement l ?Èquation du mouvement de ce systËme, il faut bien dÈcrire les forces qui s ?exercent sur les masses 1 et 2 en prenant par exemple une situation hors Èquilibre quelconque qui ici est caractÈrisÈe par le dÈplacement u1 et u2 des masses 1 et 2 respectives. Dans cette configuration, les forces correspondantes sont orientÈes selon le dessin de la figure XX.

md²⇥u₁

dt² = ⇥

F _{2 1} + ⇥

F _{ressort1 1} (3.1)

md²⇥u₂

dt² = ⇥

F _{1 2} + ⇥

F _{ressort3 2}

En projetant sur l ?axe x, nous obtenons les `Equations alg`Ebriques suivantes :

md²u₁

dt² = C(u₂ u₁) ku₁ (3.2)

md²u₂

dt² = C(u₂ u₁) ku₂ 17

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

3.1 Introduction

md²⇥u₁

dt² = ⇥

F _{2 1} + ⇥

F _{ressort1 1} (3.1)

md²⇥u₂

dt² = ⇥

F _{1 2} + ⇥

F _{ressort3 2}

md²u₁

dt² = C(u₂ u₁) Cu₁ (3.2)

md²u₂

dt² = C(u₂ u₁) Cu₂ 17

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F!_ressort_3!2

/,'01,2"345670809+("

Des Èquations du mouvement Ètablies prÈcÈdemment, nous allons chercher les solutions harmoniques de ce systËme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont imposÈes ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes : u1 = Aeî(kx ^t) et u1 = Beî(kx ^t) . Notre systËme est un systËme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degrÈs de libertÈ caractÈrisÈs par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le systËme d ?Èquations diffErentielles, nous obtenons un syst¨` Emes d ?Èquations linÈaires, tel que :

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) +B(2C m ²) = 0

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette Èquation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autorisÈs dans ce systËme (simple). Les deux pulsations respectives sont : ₁ = _m^C et ₂ = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le systËmes d ?Èquations 3.3, nous obtenons alors les dÈplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u₁ = ⇥u₂ , dÈplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u₁ = ⇥u₂ , dÈplacement en anti-phase). Une reprÈsentation des dÈplacements longitudinaux associÈs ? ces deux modes propres est donnÈe sur la figure suivante.

Pour établir les éq. du

mouvement, prendre deux déplacement quelconques (u₁, _u2) et bien faire aHen/on au sens des forces lors de la projec/on de celles-ci le long de l’axe Ox!!

(19)

Solu/on : modes propres

Dans un système à 2 masses couplées, pour un mode de vibra/on harmonique les masses oscillent avec la même phase (elles sont couplées ! Il s’agit d’un mode collec/f). Le mouvement u(x,t) s’annule au même moment pour les deux masses.

Ceci est nécessaire car la solu/on générale doit aussi reproduire la solu/on

par/culière triviale (masses au repos). Les formes générales des amplitudes sont donc :

u₁ = Acos(ω^t +ϕ⁾ u₂ = Bcos(ω^t +ϕ⁾

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

3.1 Introduction

md²⇥u₁

dt² = ⇥

F _{2 1} + ⇥

F _{ressort1 1} (3.1)

md²⇥u₂

dt² = ⇥

F _{1 2} + ⇥

F _{ressort3 2}

md²u₁

dt² = C(u₂ u₁) Cu₁ (3.2)

md²u₂

dt² = C(u₂ u₁) Cu₂ 17

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+('',+-")" +('',+-"*" +('',+-"."

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_ressort₃_!2

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Des Èquations du mouvement Ètablies prÈcÈdemment, nous allons chercher les solutions harmoniques de ce systËme, ? savoir que nous allons imposer une forme de solution et analyserons les contraintes physiques qui sont imposÈes ? ces solutions. Nous choisissons les formes harmoniques suivantes : u₁ = Aeî(kx ^t) et u₁ = Beî(kx ^t) . Notre systËme est un systËme ? 1 dimension contenant 2 atomes on a donc 2 degrÈs de libertÈ caractÈrisÈs par les deux variables A et B. En injectant ces solutions dans le systËme d ?Èquations diffErentielles, nous obtenons un syst¨` Emes d ?Èquations linÈaires, tel que :

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) + B(2C m ²) = 0

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette Èquation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autorisÈs dans ce systËme (simple). Les deux pulsations respectives sont : 1 = _m^C et 2 = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le systËmes d ?Èquations 3.3, nous obtenons alors les dÈplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u ₁ = ⇥u ₂ , dÈplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u ₁ = ⇥u ₂ , dÈplacement en anti-phase). Une reprÈsentation des dÈplacements longitudinaux associÈs ? ces deux modes propres est donnÈe sur la figure suivante.

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#" #" #"

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u ! ₁

%&''(")" %&''("*"

u ! ₂

F !

₁_!2

F !

_2!₁

F !

_ressort1_!₁

+('',+-")" +('',+-"*" +('',+-"."

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_ressort₃_!₂

/,'01,2"345670809+("

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) + B(2C m ²) = 0

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

Cette Èquation admet deux solutions qui correspondent aux deux modes propres autorisÈs dans ce systËme (simple). Les deux pulsations respectives sont : ₁ = _m^C et ₂ = ^3C_m . En introduisant l ?expression de ces pulsations dans le systËmes d ?Èquations 3.3, nous obtenons alors les dÈplacement relatif des atomes 1 et 2 pour ces deux modes propres. Pour le mode propre 1, A=B (soit ⇥u ₁ = ⇥u ₂ , dÈplacement en phase) et pour le mode propre 2 A=-B (soit ⇥u ₁ = ⇥u ₂ , dÈplacement en anti-phase). Une reprÈsentation des dÈplacements longitudinaux associÈs ? ces deux modes propres est donnÈe sur la figure suivante.

On injecte dans le système

d’équa/ons Ce système d’équa/on est non trivial si le déterminant est nul

Deux solu/ons possibles

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F !

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_ressort₃_!2

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3.2.2 D´ etermination des modes de vibration possibles

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) + B(2C m ²) = 0

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

!" !"

#" #" #"

$"

u !

₁

%&''(")" %&''("*"

u !

₂

F !

₁_!2

F !

_2!₁

F !

_ressort1_!₁

+('',+-")" +('',+-"*" +('',+-"."

F !

_ressort₃_!2

/,'01,2"345670809+("

A(2C m ²) B(C) = 0 (3.3)

A( C) + B(2C m ²) = 0

(3C m ²)(C m ²) = 0 (3.4)

(20)

3.2. Cas de la mol´ecule 1D (N=2). 19

u!₁

!" !"

#$%%&"'" #$%%&"("

u!₂ = ! u₁

#)*&"+,)+,&""

!"

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!₁ = C m

Figure 3.2 – Principe de la mesure optique en configuration pompe-sonde. Un faisceau pompe d clenche une dynamique. Le faisceau sonde, arrivant avec un d lai contr ?l , permet alors d’ tudier ? diffrents instants apr `As l’excitation les propri t s optiques du mat riau. Les dynamiques lectronique et acoustique sont deux informations que l’on peut extraire.

u!₁

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#$%%&"'" #$%%&"("

u!₂ =!! u₁

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!₁ = 3C m

3.2. Cas de la mol´ecule 1D (N=2). 19

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u!₂ = ! u₁

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!₁= C m

u!₁

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u!₂ =!! u₁

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!₁ = 3C m

Modes longitudinaux

Modes transversaux

Modes propres

On injecte ω₁ dans : Avec ω₂, on trouve A=-B

et on trouve A=B.

A(2C −mω²⁾− BC = 0

(21)

2 modes propres

3 modes propres

N modes propres

1 mode propre Mode 1

Mode 1 Mode 2

Mode 1 Mode 2 Mode 3

Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode N

Ondes Pascal Ruello Ins/tut des Molécules et Matériaux du Mans, UMR 6283 CNRS, Université du Maine [email protected]

Ondes

Pascal Ruello

Ins/tut des Molécules et Matériaux du Mans, UMR 6283 CNRS, Université du Maine

[email protected]

Plan

Ondes et physique moderne

• Ondes mécaniques

• Ondes électriques/électromagné/ques

- inﬂux électrique dans le corps humain (impulsion électrique)

- ligne de télégraphe (circuit LC)

- ondes lumineuses (du rayon gamma aux ondes Hertziennes)

• Ondes gravita/onnelles : contrac/on/dilata/on de

l’espace-temps (modiﬁca/on de la métrique)

• Ondes mécaniques

– Dans les solides, liquides ou gaz

(vibra/on sonore, hypersonore, ultrasonore, infrasons, séismes, vagues)

PLan

Ondes

• Qu’est-ce qu’une onde ?

Répé//on dans l’espace et le temps d’un

phénomène (mécanique, électrique, chimique, biologique, etc…)

à Onde sta/onnaire (pas de propaga/on) = système fermé

à Onde progressive (propaga/on) = système ouvert

Ondes sta/onnaires

• Il y a conﬁnement du phénomène vibratoire

(espace borné = mur, boite, point d’ancrage)

Ondes progressives (système ouvert)

• Il y a propaga/on d’un phénomènes dans l’espace et le temps = pas de conﬁnement

PLan

Oscillateurs simples libres

TD0

• Etablir les équa/ons du mouvement données

sur le transparents précédents.

Oscillateurs simples libres

Oscillateurs à 2 degrés de liberté

u !

u !

Chapitre 4

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillateurs à 2 degrés de liberté

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

u !

u !

Solu/on : modes propres

Chapitre 3

Propri´ et´ es dynamiques de r´ eseau

u ! 1

u ! 2

F !

F !

F !

F !

u ! 1

u ! 2

F !

F !

F !

F !

!" !"

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F !

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F !

3.2.2 D´ etermination des modes de vibration possibles

u !

u !

F !

F !

F !

F !

Modes propres

•   Ondes mécaniques

•  Ondes électriques/électromagné/ques

•  Ondes gravita/onnelles : contrac/on/dilata/on de

•  Ondes mécaniques

–  Dans les solides, liquides ou gaz

•  Qu’est-ce qu’une onde ?

à  Onde sta/onnaire (pas de propaga/on) = système fermé

à  Onde progressive (propaga/on) = système ouvert

•  Il y a conﬁnement du phénomène vibratoire

•  Il y a propaga/on d’un phénomènes dans l’espace et le temps = pas de conﬁnement

•  Etablir les équa/ons du mouvement données

u ! ₁

u ! ₂

u ! ₁

u ! ₂

u ! ₁

u ! ₂