- - -
- - -
Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Mathys, P. (1984). Méthodes numériques de modulation pour convertisseurs statiques associés à des machines asynchrones (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/213710/5/000bf0c2-a1a0-486b-b79a-fddbb4389af7.txt
(English version below)
Cette thèse de doctorat a été numérisée par l’Université libre de Bruxelles. L’auteur qui s’opposerait à sa mise en ligne dans DI-fusion est invité à prendre contact avec l’Université (di-fusion@ulb.be).
Dans le cas où une version électronique native de la thèse existe, l’Université ne peut garantir que la présente version numérisée soit identique à la version électronique native, ni qu’elle soit la version officielle définitive de la thèse.
DI-fusion, le Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles, recueille la production scientifique de l’Université, mise à disposition en libre accès autant que possible. Les œuvres accessibles dans DI-fusion sont protégées par la législation belge relative aux droits d'auteur et aux droits voisins. Toute personne peut, sans avoir à demander l’autorisation de l’auteur ou de l’ayant-droit, à des fins d’usage privé ou à des fins d’illustration de l’enseignement ou de recherche scientifique, dans la mesure justifiée par le but non lucratif poursuivi, lire, télécharger ou reproduire sur papier ou sur tout autre support, les articles ou des fragments d’autres œuvres, disponibles dans DI-fusion, pour autant que :
Le nom des auteurs, le titre et la référence bibliographique complète soient cités;
L’identifiant unique attribué aux métadonnées dans DI-fusion (permalink) soit indiqué;
Le contenu ne soit pas modifié.
L’œuvre ne peut être stockée dans une autre base de données dans le but d’y donner accès ; l’identifiant unique (permalink) indiqué ci-dessus doit toujours être utilisé pour donner accès à l’œuvre. Toute autre utilisation non mentionnée ci-dessus nécessite l’autorisation de l’auteur de l’œuvre ou de l’ayant droit.
--- English Version ---
This Ph.D. thesis has been digitized by Université libre de Bruxelles. The author who would disagree on its online availability in DI-fusion is invited to contact the University (di-fusion@ulb.be).
If a native electronic version of the thesis exists, the University can guarantee neither that the present digitized version is identical to the native electronic version, nor that it is the definitive official version of the thesis.
DI-fusion is the Institutional Repository of Université libre de Bruxelles; it collects the research output of the University, available on open access as much as possible. The works included in DI-fusion are protected by the Belgian legislation relating to authors’ rights and neighbouring rights.
Any user may, without prior permission from the authors or copyright owners, for private usage or for educational or scientific research purposes, to the extent justified by the non-profit activity, read, download or reproduce on paper or on any other media, the articles or fragments of other works, available in DI-fusion, provided:
The authors, title and full bibliographic details are credited in any copy;
The unique identifier (permalink) for the original metadata page in DI-fusion is indicated;
The content is not changed in any way.
It is not permitted to store the work in another database in order to provide access to it; the unique identifier (permalink) indicated above must always be used to provide access to the work. Any other use not mentioned above requires the authors’ or copyright owners’ permission.
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences Appliquées Service d'Electronique Industrielle
METHODES NUMERIQUES DE MODULATION POUR CONVERTISSEURS STATIQUES
ASSOCIES A DES MACHINES ASYNCHRONES
ANNEXES
Université Libre de Bruxelles
Th èse présentée en vue de l'obtention du
grade de Docteur en Sciences Appliquées
Pierre MATHYS
BIBLIOTHÈQUE DE AAATHÉy^MTIQUES ET DE PHYSIQUE
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences Appliquées Service d'Electronique Industrielle
METHODES NUMERIQUES DE MODULATION POUR CONVERTISSEURS STATIQUES
ASSOCIES A DES MACHINES ASYNCHRONES
ANNEXES
0 ^ ;
^( Thèse présentée en vue de l'obtention du
-'^^/ grade de Docteur en Sciences Appliquées
Janvier 1984 " ^ - ^ Pierre MflTHYS
LES ANGLES DE COMMUTATION SUR UN QUART DE PERIODE
1. HYPOTHESES DE BASE
- Uu la définition d'une onde synchrone, la suite des angles possède une périodicité connue égale à la fondamentale.
- Nous ne nous intéresserons qu'aux ondes présentant
- deux demi-périodes symétriques par rapport à leur axe en J/k,31/k
U(T/4 + x) = \y(T/4-x) \y(3T/4 + x) = \J(3T/k-x) (1) - une période anti-symétrique par rapport à T/2
U(T/2 + x) = -\y(T/2-x) (2)
- La tension de phase ne peut prendre que les niveaux +E et -E par rapport au point milieu (fictif ou réel) de la tension d'alimentation continue.
2_^ PRELIMINAIRES
(1) ==> pas d'harmoniques paires (2) ==> pas de composante continue
(1)8i(2) ==> pas de cosinus (onde alternative au sens strict);
tous les angles sont entièrement déterminés par la connaissance du premier quart de période;
le spectre peut être calculé à partir du premier quart de période;
(1)8i(2) ==> la tension de phase présente nécessairement un flanc en t = D
en effet, la condition (2) exprime, si l'on fait tendre x vers 0, l'existence d'un changement de signe en t=T/2 qui, par la symétrie (1), est également
présent en t=0 ou T.
On supposera sans nuire à la généralité que le flanc en t=D est un flanc montant
5 2 G 1 0 9
Al : p 1
3. CALCUL DU SPECTRE DE LA TEMSIDIM DE PHASE
Le premier quart de période comporte m angles x^...x^ ^ • avec
= • (cf fig.A13.1); dans ces conditions, l'harmonique de rang n s'exprime par
\J = 2/T n Jo I f \y(t) s i n ^ t dt = 2E/T "'^^ -.-i'- f (t) sin dt où f(t) = + 1 pour X E [x.,x._^^[ i pair
- 1 pour x E l^it>^i+'\C i impair
en effectuant le changement de variable y t = = ut = X
= .E [f (x ) sin nx dx = 4E
1T
f(x) sin nx dx
U = kE
n Tt sin nx dx - sin nx dx + sin nx dx...
± I sin nx dx - sin nx dx...± 1 sin nx dx V.
\y = (cos nxpi - ces nx^ - cas nx^ + ces nx„ + cos nx„
+ ...+ cas nx + cos nx - cos nTU/2) m m + U = — ( 1 + Z Z (-1)-^' cos nx . )
n TC 1 J
n = 1,3,5,7... (A13.1)
A1 : p 2
k. 1 Préliminaires
Soient deux tensions de phase v^(t) = E. sin nut
\/„(t) = H U„ sin n(ujt-i|i)
de mime forme et déphasées d'un angle ^ fixe ou réglable.
On a :
Un„(t) = L \1 (sin mut - sin n(ujt-(|i)) H • < n 09
En utilisant la relation
sin A - sin B = 2 sin ((A-B)/2) . cos ((A+B)/2) Il résulte :
u^g(t) = 2\l^ . sin niJj/2 . cos n (iijt-(ti/2 ) u^g(t) = cas n(ijjt-i|i/2)
Ce qui donne le coefficient de Fourier de la tension composée U = Z\J . sin n = 1,3,5,7... (Alif.1) n n
•n voit donc que toute harmonique éliminée de la tension de phase le sera aussi entre phases et que certaines harmoniques
supplémentaires peuvent s'annuler pour sin ni|j/2 = 0.
4.2 Onduleur monophasé _à deux branches (fig. A14.1) 4.2.1 Onduleur _à déphasage fixe j_ i}i = 7r
Ce type d'onduleur peut être défini comme à commande "diagonale"
(allumage de TA+ et TB- ou de TA- et TB+). Dans ce cas, n n
Le spectre conserve sa forme avec une amplitude double.
Al : p 3
k .2.2 Onduleur déphasage variable
Ce type de convertisseur permet le réglage de la tension de sortie par variation du déphasage entre les deux branches.
En effet, la fondamentale entre phases vaut :
= 2U^ . sin (j)/2 = U^^g^ . sin ^/2
et peut donc se commander entre (0 et LJ-j^g^^) pour ^ G (0,^).
La forme du spectre évoluera suivant l'équation (Al^f.D
h . 3 Onduleur triphasé (fig.A14.3)
En appliquant un déphasage ^^ = Z'^/3 et iji-j-=-2't/3 aux branches S et T par rapport à la branche R, on obtient :
U„ = 2U sin mr/3 n=1,5,7,11... (A14.2) n n
En remarquant que Isin nir/3l = \f?/2 ni^3q sin nTc/3 = 0 n = 3q
= \f3 M ^ fondamentale
U^^ = D élimination de toutes les harmoniques multiples de 3
U = v/T M r\^3n et impair n n 4.3.1 Pleine onde
En pleine onde, la tension de phase est une onde carrée et il n'existe donc qu'un seul angle x =0
L'équation (A13.1) donne :
U p.o. = M : . JL = u _1
n^ TT n 1 n
L)„p.a. = — . — = . —
n^ Tt n I n
Et l'on retrouve le spectre bien connu des ondes carrées avec décroissance en 1/n.
En valeur réduite, en prenant comme base la tension continue d'alimentation (2E)
= 2/TZ = 0,637 p.u. (A14.3)
= 2\/3/-n: = 1,103 p.u. (AU.ft)
Nous verrons par la suite que l'on utilise également comme base la demi-tension d'alimentation (E).
Al : p if
eut
1 1 1
fig.A13.1 : angles de commutation définis par le premier quart de période
2£ ^ A B O -
\TA- TB"
fig.Alif.1 : onduleur monophasé à deux branches
2E
fig.A1i+.2 : onduleur triphasé
Al : p 5
ANNEXE 2.
ELIMINATION SELECTIVE D'HARMONIQUES
HYPOTHESES DE BASE SUR LES FORMES D'ONDES
Uair annexe 1, §1.
2. SYSTEME D'EQUATIONS D 'ANNULATION DES HARMONIQUES
Soient à éliminer p harmoniques de rang n^, n^, ••• n., ... n . On se donne p degrés de liberté, c'est-à-dire, p angles non nuls sur le quart de période en plus de l'angle fixe x^ = 0.
L'harmonique de rang s'annulera, d'après l'équation (A13.1) pour
P i
1 + 2 I ( - I ) ' ^ c o s n . x . = 0
1 1
J
I (-1)"^ cos n.x. = -1/2 (A22.1)
1 1
J
(A22.1) constitue pour i = 1 ... p un système de p équations à p inconnues.
Ce système d'équations sera résolu par une méthode itérative de Neuton en posant :
x^"''' = x^ + A x^ (A22.2) J J J
où r est l'indice d'itération.
On peut donc, en remplaçant les fonctions cos nx par leur tangente, écrire :
cos nx . = cos nx . + d/dx.(cas nx.) A x . J 4 J J J
ou encore
cos nx. = cos nx . - n sin nx . A x . J J J J
Le système d'équation (A22.1) devient alors : f • p •
L C-l)-^ cos n.x^ - ^ (-D-^n. sin n.x^ Ax^ = -1/2 j-' 1 J i=. 1 1 J J (A22.3)
P • P •
L (-1)-^ n. sin n.x^. à x^. = L (-1)*^ cos n.x^ + 1/2
A2 : p 1
1 1
X . = B. ou J
1 ,r
W 1a. .
1
J
= (-1) n. sin n.x. i r (A22.it)
1 = 1 / 2 + I ( - D- ^ C D S n . x .
La résolution de ce système est réalisée par le programme P2 en annexe.
En résumé : Pour éliminer p harmoniques de la tension de phase, on peut définir une séquence de commutations composée d'un flanc en t = • et de p angles de commutation à l'intérieur du quart de période.
A2 : p 2
3. EqUATIDIMS DE CONTROLE DE LA FONDAMENTALE
(A1.1) nous donne, pour p angles ^ 0
\y, = i+E/TC.d - 2 1 (-D-^cos X . )
Par analogie avec le taux de modulation des modulations sinusoïdales, nous emploierons l'amplitude réduite
k = y^/E On en déduit donc :
k = (1 - 2 l (-1)"^ cos X .)
j»i J
L (-I)J cos X . = kTT/a - 1/2 . (A23.1) J.^ J
Par analogie avec les calculs menés au point 2, la seule différence réside dans le premier terme du second membre; le système s'écrit :
Af ..X^ = avec i J J
1(A23.2)
< j = (-D-^n. sin n^x^
= 1 / 2 + 1 (-l)j cos x^ - kit /a T >• J
bj" = 1 / 2 + 1 (-l)"^ cos n x^ (i ;éo)
^ >« J J
En résumé : pour annuler (p-1) harmoniques, et imposer la valeur de la fondamentale de la tension de phase, on peut définir une séquence de commutation composée d'un flanc en t=0 et de p angles de commutation sur le quart de période.
A2 : p 3
k.1 Contraintes impératives .
En raison même des hypothèses de base exposées à l'annexe A1, les angles x. doivent, tout au long des itérations, respecter les conditions suivantes, faute de quoi les équations composant le système (A23.2) ne sont plus valides :
• < x^ < Wi (A2£f.1)
x._^ < X. < x.^^ Ui (A2if.2)
La condition (A24.2) exprime le classement des angles par valeur croissante en fonction de l'indice, classement ayant servi de base à l'établissement de l'équation (A13.1).
La condition (A24.2) exprime en outre que deux angles ne peuvent être confondus.
La condition (A24.1) impose en fait x^ X |-j = 0 et x ^ir/2. En effet, vu les symétries, les angles x^ et x^ disparaîtraient.
Ces deux conditions réunies garantissent le maintient du nombre d'angles nécessaires pour conserver l'ordre du système (p).
Les solutions recherchées seront donc à nombre d'angles constant.
4.2 Contraintes facultatives 4.2.1 Temps de conduction
On sait que pour la plupart des convertisseurs, il existe un temps de conduction minimal (et parfois également maximal) pour chacun des commutateurs d'une branche, aussi DE CARLI <207>
propose-t-il d'introduire ces contraintes directement au niveau du système d'équations. Dans l'exemple proposé, seul le temps de conduction minimum est imposé. Les équations de contrainte
sont donc :
x . > t .
^ '"'^ (A24.3)
^i+1 - ^i > *min i = 1 ... P
Ces contraintes ne sont pas indispensables, mais constituent une approche très générale.
A2 : p 4
La solution adoptée dans le cadre de ce travail est le respect du temps de conduction minimal par le choix du nombre d'angles. (cf chap.U)
k ,Z.2 Considérations quant _à _la polarité des impulsions
Rappelons qu'il est souhaitable que toutes les impulsions au sein d'une mime demi-période de la tension entre phases soient de mime polarité. Cela conduit normalement à moins de commutations et à un spectre H.F. moins riche <159, 207>.
Nous nous attacherons ici à énoncer les conditions à respecter sur la tension de phase. Nous nous limiterons également au cas de la tension de phase symétrique par rapport à T/k (bien que des solutions existent où les impulsions ne sont générées que pendant le premier et le troisième quart de période <231>) de manière à rester compatible avec notre modulateur. Nous n'envisagerons que le cas triphasé.
Soit une tension entre phases Uj^gJ cette tension prendra l'une des trois valeurs +1, 0, -1 suivant l'état 0 ou 1 des phases, R et S.
^RS S R
(1) 0 1 1
(2) 1 0 1
(3)
• • •-1 1 Q
L'examen du tableau montre que, si l'on n'admet qu'une polarité pour f-lRg» l'état (,k) est interdit pendant la demi-période
positive de Upg et l'état (1) est interdit pendant la demi- période négative.
Condition nécessaire et suffisante (figure A2it.1)
Partons de la pleine onde, et mettons l'origine des temps au début de la période de Urjg, nous voyons que les deux intervalles dangereux se placent en ^u,T/12) et son symétrique (5T/12,T/6).
Examinons l'intervalle (0, T/12) dont l'état en pleine onde est (3). Supposons qu'une impulsion positive (I) se produise sur S, l'état interdit (4) serait alors atteint. La seule manière de l'éviter est de provoquer une impulsion positive de mime durée (II) sur la phase R; par le jeu des symétries, toute une série d'impulsions apparaissent alors sur les deux phases, notamment les impulsions (III) et (IW). Ces deux impulsions entraînent automatiquement l'interdiction de toute impulsion simultanée (W) sur la phase R.
A2 : p 5
créneau perturbateur créneau de ccmpeneaticn
créneau interdit créneau déduit par symétrie
fig.A24.1 perturbations introduites par un créneau dans l'intervalle (0,1/12)
A2 : p S
Ramenons ces conditions au 1er quadrant de la phase R I < = = > I • par symétrie
I II pour éviter 1 état II < = = > 11 ' oar sumétrie
I < = = > III par symétrie I < = = > I' par symétrie
III "û pour éviter 1 état
==> II
==> u
La condition s'énonce alors comme suit :
"Pour que la tension entre phases ne change pas de
polarité au sein de sa demi-période, il faut et il suffit que la tension de phase soit telle que tout intervalle où \J s'annule pendant la tranche (T/6,T/3) s'accompagne de son symétrique par rapport à un axe en T/12 et de son--
antisymétrique par rapport à T/3".
Cette manière de procéder possède trois inconvénients majeurs : - elle est difficile _à introduire en pratique parce que la pénétration d'angles de commutation dans l'intervalle
(T/12,T/6) exige l'apparition de nouveaux angles modifiant ainsi l'ordre du système;
- elle est loin d'être optimale au niveau du nombre de
commutations puisque, dans l'exemple de la figure A421, quatre commutations sont introduites sur R et quatre commutations sur S pendant l'intervalle (-T/12,+T/12) de U^^, et ce, en pure perte puisque U^g n'est pas modifié par rapport à la pleine onde. Au total, cela représente 2k commutations inutiles par période sur l'ensemble du convertisseur;
- elle impose des commutations simultanées sur deux phases, ce qui augmente la perturbation de la tension d'alimentation et risque d'amener de brèves impulsions parasites sur la tension entre phases suite à de légères dissymétries dans les commandes ou dans les temps de réponse des branches de l'onduleur.
Cette condition est donc surtout applicable pour prédire, à partir d'une tension de phase engendrée sans imposer de
conditions préalables, si les tensions entre phases présenteront des impulsions de signe homogène ou non.
Condition suffisante
Pour limiter les commutations inutiles, imposons une condition
supplémentaire, à savoir, 1 ' interdiction de moduler simultanément plusieurs phases.
A2 : p 7
M i
m
1
1
0 X
m
I commutation interdite
commutation interdite par raison de symétrie
fig.A2^.2 : zones de commutation interdites si l'on veut éviter les commutations simultanées sur deux phases
A2 : p a
En reprenant le raisonnement du paragraphe ci-dessus sur
l'intervalle
( 0 , 1 / 1 2 )de U^^g, les quatre transitions possibles au départ de l'état ( 3 ) sont :
( 3 ) - ( 1 ) interdit car modulation simultanée de R & S (fig .A2 't .2)
( 3 ) - ( 2 ) autorise, modulation sur R, impulsion positive sur U^g
( 3 ) - ( 3 ) autorisé, aucune modulation
( 3 ) - ( 4 ) interdit car impulsion négative sur Upg
Supposons que l'on autorise les transitions de type ( 3 ) - ( 2 )
pendant ce même intervalle, toujours par le jeu des symétries, la commutation sera autorisée dans toutes les zones hachurées de la figure
A 2 4 . 3). On constate alors que les trois phases se
partagent équitablement la modulation sur la totalité de la
période et que, puisque l'on exclut de moduler simultanément deux phases il n'y a pas d'autre zone où la modulation puisse être
étendue.
Si l'on ne module pas la phase R sur l'intervalle
( 0, T / 1 2 ) ,on aboutit à la figure
A 2 ^ + . 4avec la même conclusion sur le partage des temps de modulation entre les trois phases.
Ramenons ces conditions au premier quadrant de la phase R; les figures
A 2 4 . 3et
A 2 4 . 4indiquent clairement quels intervalles déterminent par symétrie la totalité de la modulation.
La condition s'énonce alors comme suit :
"Pour que la tension entre phases ne change pas de polarité au sein de sa demi-période, il suffit de moduler le premier quadrant de la tension de phase soit dans l'intervalle
( 0 , T 1 2 ) ,
soit dans l'intervalle
( T / 6, T / 4 )et dans cet
intervalle seulement."
Les inéquations de contraintes à rajouter au système s'écrivent simplement :
x^ e
] 0 , T / 1 2 ] D Ux^ E
[ T / 6 ,T/itC i ^ Q
( A 2 4 . 4 )Quel intervalle choisir _?
On préférera en général moduler la tension de phase sur l'intervalle
( 0, T/ 1 2 )pour deux raisons :
- on introduit ainsi des commutations proches du pic le plus élevé du courant, ce qui permet d'en abaisser la valeur;
-dans le cas où l'on perd des impulsions (par changement de mode ou par intervention de filtres destinés à garantir un
temps de conduction minimum en supprimant les impulsions trop courtes), le "poids" de ces impulsions sera plus faible - à largeur égale - que si elles sont situées au voisinage de T / 4
< i a 9 > .
A 2
: p g
V
i 1
5 1 I 11 w
i i l
3
p i 1 p
I I i es
i
12
commutatian autorisée
I intervalle définissant totalement la modulation type (3) (2)
fig.A2'4-.3 : modulation définie par 1/12^ de période
A2 : p 10
o X 1E
cammutation autorisée
I intervalle définissant totalement la modulation
A2^.4 : modulation définie par 1/12° de période
A2 : p
domaine de modulation en imposant la forme de la tension entre phases U, en accord avec la condition de polarité des impulsions;
on écrirait alors les équations d'élimination des harmoniques pour cette forme d'onde, puis on la décomposerait en deux tensions de phase identiques.
Cette méthode possède deux inconvénients :
- l'accroissement du nombre d'équations à résoudre (puisqu'il faudra annuler en plus les harmoniques d'ordre 3m dont on ne- se préoccupe pas dans la tension de phase - cf Al %k.3).
- la difficulté - voire l'impossibilité - de décomposer la tension composée en tensions de phase.
Pour s'en convaincre, il suffit d'examiner la figure l\Zk.5. Dès que les créneaux introduits sur le premier quadrant de Upg ne_ . sont plus antisymétriques par rapport à T/12, les tensions de phases obtenues ne sont plus symétriques par rapport à leur quart de période. Ce n'est pas redhibitoire, mais cela impose une
définition des angles de commutation sur l'entièreté de la demi- période d'une phase, ce qui présente des difficultés impartantes de réalisation en circuits analogiques et augmente la quantité de mémoire nécessaire pour les modulateurs numériques.
On peut en conclure que cette méthode ne présente pas d'intérêt, puisqu'elle réintroduit des conditions sur les angles de la'" ~ "
tension entre phases, si l'on veut pouvoir décomposer celle-ci en deux tensions de phases possédant les symétries souhaitées.
Conclusion
Imposer une polarité uniforme des impulsions sur la tension composée, tout en conservant des contraintes sur les angles mathématiquement utilisables, restreint fortement le domaine modulable de la tension entre phases.
Wu le caractère non-impératif de cette condition, elle est peu appliquée en pratique.
* A2 : p 12
LU 1 r
0 X
LU
fig.AZ^f.S : décampositian de U RS
A2 : p 13
5.1 Existence et unicité des solutions
Vu la nature transcendante des équations, ni l'existence, ni l'unicité des solutions ne sont garanties.
PATEL <ZZB> annonce comme un "théorème" la possibilité d'annuler n'importe quel ensemble de p harmoniques au moyen des p équations (A22.1).
Il s'agit en fait d'un postulat que l'expérience vérifie. La multiplicité des solutions apparaît clairement sur la figure A25.1 où POLLMANN <ig0,211> indique qu'elle s'accroît avec
l'ordre du système. Lors des calculs d'élimination avec contrôle de la fondamentale k, on rencontre des domaines de k où il ne semble pas exister de solution (figure A25.1). Il convient
toutefois de ne pas conclure trop rapidement à l'inexistence de solutions, vu les problèmes de convergence qui sont exposés ci- dessous.
5.2 Problèmes de convergence
Plusieurs auteurs dont PATEL <22a> et POLLMANN <ig0,211>
confirment les problèmes de convergence que nous avons rencontrés.
Ces problèmes se rencontrent à trois niveaux : - non convergence pure et simple,
- disparition de la convergence suite à l'évolution du fondamental ,
- convergence vers des solutions dégénérées.
5.2.1 Non convergence totale
Ce phénomène est lié au choix de conditions initiales x? hors de la boule de convergence.
Seul POLLMANN cite une méthode efficace pour déterminer des valeurs initiales suffisamment proches des solutions pour
garantir la convergence; il l'a expérimentée avec succès jusqu'à des systèmes de 23 équations.
Cette méthode est qualifiée de "méthode hybride" sans autre précision.
A2 : p 14
A2 : p 15
arrêter le calcul dès que les angles ne sont plus ordonnés. On reprend alors le calcul avec d'autre valeurs initiales suivant "a trial an error process".
Dans le cadre de ce travail, nous avons étendu la méthode de PATEL.
Lorsque l'on démarre avec de mauvaises valeurs initiales, on obtient des "corrections" x extrêmement importantes (plusieurs radians !); plutôt que d'arrêter le calcul, nous avons préféré le laisser continuer en ramenant après chaque itération les angles au premier quadrant et en les reclassant par valeurs croissantes.
Le programme passe ainsi par une phase de "tâtonnement" en
générant des conditions initiales pseudo-aléatoires. IMous avons constaté des cas où cette phase pouvait prendre plus de trente itérations avant de converger très rapidement en quatre ou cinq itérations.
Des cas de cyclage sur les mimes conditions initiales ont été rencontrés ainsi, bien entendu, que l'absence totale de
convergence dans certains cas.
Les conditions initiales par défaut étaient une équi-répartition des m angles sur le quart de période. Cette méthode s'est avérée plus rapide au point de vue de la convergence.
Nous nous sommes principalement intéressés à l'élimination des harmoniques avec contrôle de la fondamentale. On dispose alors d'un paramètre supplémentaire dans la recherche de conditions initiales correctes. En effet, si l'on ne converge pas pour une valeur du fondamental, on peut explorer la gamme du fondamental à la recherche de la convergence puis revenir vers la valeur
désirée par étapes en prenant pour valeurs initiales des angles les solutions correspondant au fondamental précèdent.
Les programmes implantant cette méthode sont donnés en annexe (P3).
5.2.2 Disparition de la convergence (fig.A25.1)
En utilisant la méthode précédante, il peut arriver que, en passant d'une valeur à l'autre du fondamental, on perde la convergence.
C'est le plus souvent dû à une dégénérescence du système qui change d'ordre parce que x^ atteint 0, x atteint '^/Z
(courbe 1)ou deux angles se confondent (courbe i). On arrête alors le calcul pour le reprendre avec un nombre d'angle plus faible.
Il peut arriver également que, vu la multiplicité des solutions, si l'on prend un pas trop grand entre deux valeurs du
fondamental, on converge vers une autre solution, perdant ainsi la continuité dans l'évolution des angles en fonction du
fondamental.
A2 : p 16
5.2.3 Convergence vers des solutions dégénérées
Dans le cas de l'élimination d'harmonique simple, nous avons testé plusieurs ensembles d'harmoniques à éliminer; le cas le plus intéressant pour un convertisseur triphasé est bien entendu 1'élimination des harmonique impaires non multiples de _3. En effet, en respectant les conditions de symétrie habituelles, les harmoniques paires sont inexistantes, quant aux harmoniques multiples de 3, elles disparaissent entre phases (cf annexe 1,
§^.3).
Dans ce cas, la convergence est perturbée par l'existence de deux solutions triviales à rejeter parce qu'elles fournissent un fondamental nul (il ne reste que l'harmonique 3).
On trouvera ci-dessous les différents cas de dégénérescence rencontrés :
* 1 angle : élimination de l'harmonique 5.
L'équation A22.1 donne : cas 5x^ = +1/2
dont les solutions du 1er quadrant sont x^ = 12°,60°,ai+°
La solution x^ = 60° est dégénérée, puisqu'elle conduit à une onde carrée dont le fondamental est à l'harmonique 3
(figure A25.2)
* 2 angles : élimination des harmoniques 5 et 7.
pas de solution dégénérée.
* n angles (n impair):
solution dégénérée : tous les angles s'annulent par paires et il en reste un qui prend la valeur 6D°; on retombe sur le cas précédent.
* k angles :
la solution dégénérée est du type A, 6a °-A, 60°, 60°+A En effet, (A13.1) nous montre que l'harmonique n est proportionnelle à
\J = 1 + 2 Z ( J
= 1 - 2cos
= 1 - 2cos 2cos
= 1 - 2cos
= 1 - 2cos
= (1- 2cos
A2 : p 17
(b)
fig.A25.2 : élimination de l'harmonique 5 (a) solution dégénérée
(b) solution valable
or, 1 - 2caa nSO = 0 pour nSO = 60 + r36D
n = 6 r ± 1 r = 0 , 1 , 2 , 3 . . n = 1 , 5 , 7 , 1 1
Tous les termes du développement de Fourier qui nous intéressent sont donc effectivement nuls, y compris le fondamental, et cela, quel que soit A.
* n angles (n pair > k)
les angles s'éliminent par paire, jusqu'à ce qu'on retombe sur une solution à quatre angles.
Un extrait du listing des résultats est présenté à la figure (25.3).
5.3 Convergence pour les deux polarités du fondamental
Dans les équations (A23.2) de l'élimination d'harmoniques avec contrôle de la fondamentale, rien n'impose le signe du
fondamental réduit k.
On peut donc parfaitement trouver deux solutions (pouvant elles- mime être multiples) conduisant à la même valeur absolue du fondamental. On choisira alors celle qui convient le mieux au point de vue des transitoires ou de l'optimum choisi.
On peut également être réduit à choisir des solutions d'une
polarité si l'on ne trouve pas de solution pour l'autre polarité.
On en trouve un exemple à la figure (A25.A-) où le domaine d'existence de la solution positive est quasi nulle.
Une hypothèse de calcul conduisant aux équations (A23.2) est que la tension de phase présente un flanc montant en t=0. C'est donc ce repère qui définit l'origine de la période.
On dira qu'une forme d'onde est positive (négative) si la demi- période qui suit le flanc montant portant l'axe d ' antisymétrie est à moyenne positive (négative). La figure (A25.5) montre
clairement cette distinction.
D'un point de vue statique, deux formes d'ondes de mime amplitude et de polarité opposée sont parfaitement équivalentes. D'un point de vue dynamique, le passage d'une forme d'onde à l'autre ne peut se faire sans précaution.
Si ces deux formes d'ondes sont enregistrées de la même manière et reproduites telles quelles, une transition de l'une à l'autre équivaut à changer brutalement la phase de 180°, ce qui
entraînera une très forte saturation et donc un appel de courant intolérable.
A2 : p 19
ANGLES DE C O M M U T A T I O N (RAD) .2094395Et00
F O N D A M E N T A L (PU) t 1.217592864949 H A R M O N I Q U E S E L I M I N E E S S 7
A N G L E S DE C O M M U T A T I O N (RAD) .2e3S472E+00
.30Sl&89E'f00
F O N D A M E N T A L (PU) I 1,18836910624 H A R M O N I Q U E S ELIMINEES S 7 11
A N G L E S DE C O M M U T A T I O N (RAD) .5836443E+00
.S836443E')'00 .104719BE+01
F O N D A M E N T A L (PU) I 1.547021797064E-12 H A R M O N I Q U E S E L I M I N E E S S 7 11 13
A N G L E S DE C O M M U T A T I O N (RAD) .3491021E+00
.4980955E+00 .1047197E+01 .1394300E+01
FONDAMENTAL (PU) I 8 . 7 8 1 7 2 9 4 1 S 6 0 9 E - 7 H A R M O N I Q U E S E L I M I N E E S 5 7 11 13 17
ANGLES DE C O M M U T A T I O N (RAD) .1186415E'f00
.3019830E+00 .3670917E+00 . 4 0 5 1 1 H E + O O .42828eSE'fOO
F O N D A M E N T A L (PU) ! 1.144777789866 H A R M O N I O U E S ELIMINEES 5
ANGLES DE C O M M U T A T I O N (RAD) .383S737E+00
.4434238E'f00 .1047198E+01 .1139812E+01 .1139812E+01 .1430771E+01
FONDAMENTAL (PU) I 1.020039225842E-12 11 13 17 19
ANGLES DE C O M M U T A T I O N (RAD) .2948441E+00
.2968441E+00 ,3987341E+0O .39875'IIE+OO .74340S0E+0O .7434050E+0O .104719eE+01
FONDAMENTAL (PU) I 1.402271219S41E-13 H A R M O N I O U E S ELIMINEES 5
ANGLES DE C O M M U T A T I O N (RAD) .3044687E+00
.3044487E+00 .4494047E+00 .3775928E+00 .1047198E+01 .11793B1E+01 .1179381Et01 .1514B02E+01
FONDAMENTAL (PU) I 2 . 3 7 4 9 7 7 0 7 0 1 1 3 E - 1 2
11 13 17 19 23 2S
H A R M O N I Q U E S ELIMINEES 5 ANGLES DE COMMUTATION (RAD)
.144484SE'I'00 .7921520E+00 .7921320E+00 .B827131E+00 . 100S43SE'f01 .1008633E+01 .1047190E+01 ' .1211482E+01 ,lS70794Et01
FONDAMENTAL (PU) : 7.545494994993E-11 14.591 CP SECONDS EXECUTION TIME.
11 13 17 19 23 29
fig.A25.3
A2 : p 20
Il y a donc lieu, soit de n'utiliser que des formes d'ondes de même polarité, soit de mémoriser le troisième quadrant des formes d'ondes de modulation négative.
La définition des MLI positives ou négatives peut alors se faire en examinant le signe de la phase en début de période ; le début de période étant défini comme le début de la demi-alternance positive du fondamental.
A 2
: p 21
/
s
V
\
\ \
\
\ \
k>0
k<0
k<0
fig.A25.5 : modulations positives et négatives
A 2 P 2 3
On trouvera ci-après les graphiques d'évolution des angles en fonction de la fondamentale pour une
- fondamentale positive
- élimination des harmoniques impaires non multiples de 3.
Le calcul des angles se fait par la procédure interactive ANGCAL (voir annexe P3 et chapitre 4 § 2.3) et leur expression par la procédure PLDTANG.
On remarquera :
- l'absence de graphique pour trois angles, suite au domaine trop restreint des solutions (cf § 5.3)
- la faible pente des courbes dans un domaine étendu suivie d'une plongée des courbes lorsqu'on s'approche de la valeur maximale possible
- la tendance logique des angles à se regrouper par paires et à tendre l'un vers l'autre pour les valeurs élevées de k
- la valeur maximale d'une solution est atteinte lorsque deux angles se confondent ou qu'un angle atteint 0 ou Tr/2
- nous avons présenté volontairement deux solutions différentes pour cinq angles.
A2 : p 24
-I 1 I 1
HODULATION SYNCHRONE CALCULEE ELIMINATION DES lERES HARMONIQUES
I I — I — I — I — I — I —
T
T1
I I1.50
CJ7
LU _JC_9
t...
t...
„t '•
. ;- - '•y -i
f •-
'0 ' r
\:\ y ' j. ».
• *: -
• ( •••
4
* • •
, i ••• ¥'•••
V-
>•#-* ^ {
L 1.00
.500
' ' I L. -1 1 I I I I • I
.300 .900 1.00 1 .10
FONDAMENTAL (PU)
1 .20 1.30
fig.A26.1
«2 : p 25
1 I 1 I 1 r
-I 1 I ~ I 1
.800 .SOO 1.00 1 .10
FONDAMENTAL (PU)
1 .20 l .30
fig.A26.2
fl2 : p 26
MODULATION SYNCHRONE CALCULEE ELIMINATION DES lERES HARMONIQUES
.300 .800 1 .00 1.10 1 .20 1.30
FONDAKBJTAL (PU)
fig.A26.3
A2 : p 27
ELIMINATION DES lERES HARMONIQUES
I I I I I — I — 1 — I — I — I I — I — I — I — I I — I I — I I I I I I
_ 1.50
_ l .00
.500
I I I I I ' I i I
I
I I ' • I ' I • ' I • I • ' I0
I.800 .900 1 .00 1 .10 1 .20 l .30
FONDAMENTAL (PU)
fig.A26.4
A2 : p 28
MODULATION SYNCHRONE CALCULEE ELIMINATION DES lERES HARMONIQUES
-I 1 r
1
1 ' f1.50
1 .00
.500
- I— I I ' ' ' -I I I L.
.800 .900 1.00 1.10
FONDAMENTAL (PU)
1 .20 l .30
fig.A26.5
/
A2 : p 29
CTJ;
CD
ELIMINATION DES lERES HARMONIQUES
T 1
1
1 1 1 11
1 ' 1 T" -t 1 1 rJ
I
I L. -I I I -J I u.800 .800 I.OO Î.IO
FONOAHENTAL (PU)
.20
1.50
1.00
.500
0 . 1.30
fig.A26.6
fl2 : p 30
AIMIMEXE 3.
BREUE REV/UE DE LA LITTERATURE SUR LES MODULATIONS CALCULEES OPTIMALES
1. BELLINI <14> propose plusieurs fonctions de coût : a/ Le courant efficace
= M I (W^/n)^
(où M est un facteur dépendant de l'inductance de la machine) Cet indice se base sur le caractère Inductif de la machine et suppose donc la croissance de la réactance proportionnelle à la fréquence (la diminution de l'inductance de dispersion avec la fréquence <166> est négligée).
b/ Le taux d'harmonique pondéré
basé sur les mêmes conditions, c/ Le taux d'ondulation du couple
r, r, 0 0 n
= 1/C„„„ 2: (C^/n)"^
2 n om £ n (où C est le couple nominal)
Cet înSice se base sur les effets des harmoniques de couples sur les harmoniques de vitesse. Les contraintes mécaniques (résonnance à la torsion, couples puisants) sont négligées.
d/ Le taux d'harmonique du courant dans la ligne continue
e/ M'importe quelle combinaison pondérée des index précédents.
On peut remarquer que est un indice indépendant de la machine alors que les autres indices sont dépendants des paramètres de la machine, de sa charge et du filtre de tête.
La conclusion tirée par l'auteur des essais sur plusieurs formes d'ondes est que 1 ' optimum sur fournit en général un quasi-
optimum pour les autres indices.
A3 : p 1
Plutôt que de définir le courant efficace au départ des harmoniques de tension, ce qui donnerait
I = f(u^) = fCcos x^)
BUJA part de l'expression du courant harmonique en fonction du temps ou (ce qui revient au mime pour une modulation synchrone), en fonction de l'angle de phase.
Il en déduit une fonction de coût plus simple à optimiser sous une forme
en monophasé :
tr = f (P(x. ,U.))
^ ' (A321)
= u^CcDs x^) où P est un polynôme en x^^^
\J ^ est le fondamental imposé
en triphasé :
0- = f (Uj^Cx) ,\y^)
\l ^ = W^CCQS x^)
où ^ R(^) sst la forme de la tension de phase en fonction de 1'angle
\J ^ est le fondamental imposé.
La recherche de l'optimum de cr est effectuée pour plusieurs nombres d'angles et les deux polarités de U^.
Après avoir choisi la courbe avec laquelle on désire travailler, on en déduit les courbes :
x^ = x^CU^) optimum.
Les conclusions tirées de ces courbes sont :
a/ l'augmentation du nombre d'angles est favorable (o" plus faible);
b/ les modulations positives ou négatives ne sont pas
systématiquement meilleures l'une que l'autre, cela varie avec
\l ^ et avec le nombre d'angles;
c/ toutes les courbes convergent pour \J ^ = k/'^ (pleine onde);
2
d/ la valeur de «y obtenue par la méthode proposée est plus faible, à nombre d'angle égal, que celle obtenue par une modulation sinusoïdale ou une élimination d'harmonique
A3 : p 2
e/ la méthode permet d'atteindre la pleine onde.
Remarques :
les contraintes relatives à la polarité des impulsions entre phases et au temps de conduction minimal ne sont pas
introduites ;
l'annulation des premières harmoniques n'est pas imposée et l'article ne fournit pas les spectres correspondant à
1 ' optimum ;
l'incidence de cet optimum sur d'autres critères (couples, pertes, courant de pointe) n'est pas examinée.
3. BUJA <33> développe une méthode du gradient. Cette méthode permet la recherche du minimum d'une fonction de coût quelconque, quel qu'en soit le type.
k. DE BUCK <kO, Zk5> propose l'optimisation d'un facteur de pertes dues aux harmoniques.
4.1 définition du facteur de pertes harmoniques QF = 1 + Z (f^)(\y^)^
iéi V n nou QF = 1 + Z F. (f )i^
Le modèle harmonique de la machine est pris en compte par les fonctions
F (f ) et F.(f )
Vn
1n
où est la suite des fréquences harmoniques.
Ces fonctions F^, F^ englobent les pertes supplémentaires dues aux harmoniques en tenant compte de l'influence de la fréquence sur les résistances et les réactances de la machine :
- les pertes rotoriques, - les pertes statoriques, - les pertes fer.
Ces fonctions sont semi-empiriques et résultent de calculs basés sur des caractéristiques électriques, magnétiques et géométriques
A3 : p 3
Leur forme est :
F.(f„) = 1 + ( f „ / K f = 1 + f„/K,.
1n n n il F^(f^) = (1/nx^)^ (1 + (f^/K') •'°'^)
où K, oc ,K,. et M' sont fonctions de la puissance du moteur
<Zk5,p, 35>-^^
k. 2 Optimisation _à um degré de liberté.
- on se donne p angles A 0
- on impose la fondamentale M^ et l'annulation de (p-2) harmonique s
- il reste un degré de liberté pour optimiser QF.
Pour ce faire, on résout le système (A22.it) en prenant pour inconnues les (p-1) angles x„ x pour toute une série de
valeurs du paramètre x^ que l'^^on impBse à priori; on choisit ensuite l'ensemble des x^ donnant le minimum de QF.
On trouve des minima dépendant peu de la puissance du moteur.
U .3 Optimisation à_ (p-1 ) degrés de liberté.
- on SB donne p angles A 0
- on impose la valeur de la fondamentale sans conditions sur les harmoniques
- il reste (p-1) degrés de liberté pour optimiser QF.
L'optimisation se fait en deux temps :
- partage de l'espace à (p-1) dimensions par un maillage grossier et recherche de la zone où QF est le plus bas pour
toute une série de valeurs de l'amplitude \1 ^ et de la fréquence fondamentale f^, de la puissance de la machine P et du nombre d'angles p.
- raffinage de ce minimum par une méthode du gradient; on obtient les angles optimums pour une valeur de (\l^,f^).
Prenant alors ces valeurs comme conditions initiales, on explore pas à pas toute la gamme du fondamental en reportant les solutions d'un pas comme conditions initiales du suivant.
A3 : p
Ici encore, 1'optimum dépend peu de la puissance de la machine (l'optimum calcule pour 15 kliJ est bien représentatif)
•n obtient des pertes réduites de 10 à 50% par rapport à une modulation sinusoïdale avec Te me"me nombre d'angles; le gain est d'autant plus important que \l ^ est élevé (surtout au-delà de 70%) et que le nombre d'angles est faible.
Remarques :
- cette méthode est vorace en temps de calcul (de l'ordre de l'heure sur PDP 11/34);
- il n'y a pas de conditions introduites pour tenir compte d'un temps de commutation minimal ni de la polarité des impulsions de la tension entre phases.
5. DE CARLI <2D7> Optimisation du courant efficace.
- Décrit une méthode de gradient applicable à des ordinateurs de faible taille,
- De nombreuses contraintes sont introduites : temps de conduction minimal, polarité des impulsions entre phases (voir annexe 2, § ^t)
- Le modèle choisi (de type R - L) convient plutôt pour des alimentations de secours que pour des machines.
6. GREEIM <188> Optimisation de la valeur de crête du courant Cette optimisation n'est pas à proprement parler basée sur une modulation calculée, mais plutôt sur un ensemble de méthodes propres à abaisser le facteur de crête du courant comme :
- le choix de la fréquence de commutation;
- une déformation de la porteuse dans les modulations
synchrones avec peu d'angles (2 angles par quart de période) destinée à rétrécir l'impulsion centrale de la tension de phase.
A3 : p 5
La trajectoire polygonale du vecteur de flux Y est comparée à la trajectoire circulaire de son fondamental i*^.
2 2
On minimise T ~ "^-i par une méthode de Lagrange.
a. MEIMZIE5 <gi> Cite, entre autres, l'optimisation des harmoniques renvoyés à la source.
g. MURPHY <gg,10Q,171> rejoint Bellini en proposant divers facteurs de pertes.
a/ le taux d'harmonique pondéré
1
n n
1directement proportionnel aux pertes Joules si l'on suppose la résistance statorique constante.
b/ le facteur de pertes Joules a„ = r \y^/(nf .)^/^
c
n n
Imodifié pour prendre en compte l'effet pelliculaire.
c/ le facteur de pertes fer 3 n n 1
d/ un facteur de pertes additionnelles en charge
e/ le courant de crête I
f/ l'amplitude des couples harmoniques en basse fréquence.
Comme BELLIIMI, il montre qu'une forme d'onde obtenue en
minimisant la distorsion harmonique cr^ donne de bons résultats pour d'autres critères si on la compare à d'autres méthodes comme
l'élimination d'harmonique et la MLI sinusoïdale synchrone.
Remarquons que les résultats calculés ne sont pas mis en corrélation avec des mesures sur machines et qu'aucune comparaison n'est faite avec d'autres modulations qui optimiseraient directement les autres facteurs.
A3 : p 6
10. TDROK <177> Optimise la trajectoire du vecteur de flux T La trajectoire idéale du vecteur de flux est la trajectoire circulaire de son fondamental.
En pleine onde, cette trajectoire prend la forme d'un hexagone dont les 6 sommets correspondent aux 6 valeurs possibles de la tension.
L'optimisation consiste à "arrondir les angles de l'hexagone" en provoquant des commutations supplémentaires. L'auteur montre que
les pertes harmoniques sont essentiellement dues à la forme de la trajectoire qui fait l'objet des calculs préliminaires.
Les pulsations de couple sont optimisées par un régulateur de couple qui détermine la durée des pauses aux différents sommets du polygone.
11. ZACH <17a> aptimise les pertes dans la machine.
La recherche de l'optimum s'effectue sur deux angles (le troisième servant à imposer la fondamentale) par une méthode d'exploration systématique du domaine des angles combinée à une méthode du gradient maximum. Deux modèles de la machine sont envisagés à savoir un modèle linéaire classique et un modèle où résistances et inductances dépendent de la fréquence.
Les solutions présentent plusieurs minimums locaux. D'après l'auteur, les valeurs optimales des angles sont peu sensibles au modèle de la machine choisi alors que la valeur réelle des pertes en dépend beaucoup.
A3 : p 7
1. INTRODUCTION
Le fait que le rapport de fréquence M entre porteuse et modulante soit un nombre réel implique que la tension de phase ne soit pas périodique. Pour s'en convaincre, il suffit de supposer le passage simultané par zéro à l'instant t=0 d'une porteuse de période T et d'une modulante de période T^. Une éventuelle
coïncidencë périodique ultérieure se produirait après une période T = L T^ = N T„
P P
où L et N sont entiers vu le caractère périodique des deux ondes.
On en déduit :
N/L = T /T = f /f = M p m m p
Ce qui indique que la périodicité n'existe que si l'ordre de la modulation M est un nombre rationnel, ce qui n'est généralement pas le cas.
Il est donc nécessaire de disposer d'outils spéciaux permettant le calcul de spectres pour des rapports M réels, les méthodes de décomposition en simple série de Fourier étant inapplicables.
Pour les cas particuliers que sont les rapports M rationnels et surtout entiers (modulations synchrones), on pourra soit recourir à des méthodes de simple série de Fourier, soit particulariser les résultats obtenus pour M réel.
On trouvera dans cette annexe la description de ces outils et les informations qualitatives et quantitatives sur les différentes spectres de MLI.
Pour alléger l'écriture, nous travaillerons systématiquement en tensions réduites avec comme base la demi-tension continue E.
Ait : p 1
METHODE DE LA "MODULANTE GELEE"
<a, 286, 21 1>, fig (Ait2.1) et (Aif2.2)
Sait une modulante sinusoïdale d'amplitude k et de pulsation
échantillonnée par une porteuse triangulaire d'amplitude unitaire et de pulsation u . La comparaison des deux ondes fournit une
onde carrée oscilSant entre +1 et -1, dont le rapport cyclique varie en fonction de k.
La méthode consiste à "geler" l'amplitude de la modulante. La tension de phase devient alors une onde carrée périodique à la fréquence f^ dont on peut calculer le spectre.
On réintroduit alors dans ce spectre la variation sinusoïdale d'amplitude de la modulante pour obtenir le spectre de la MLI.
Remarquons que cette manière de procéder n'est pas rigoureuse et constitue plutôt un artifice permettant de faire le calcul en simple série de Fourier dans un cas où elle ne s'applique pas.
Les résultats obtenus sont cependant corrects.
2.1 Porteuse isocèle (fig. A42.1)
Développons l'onde rectangulaire en série de Fourier en plaçant l'origine des périodes aux sommets négatifs de la porteuse, y/u la symétrie par rapport à TT : , le développement ne contient qu'une composante continue et des cosinus. :
v(t) = \1 + Z. B„. cos 0
1n p n iij „t (A^2.1) avec
o 1 A [(1+k)"n:/2 - (1-k)Tî/2] = k (.l\kZ.Z)
v^gj cas nB dB = 2 A [j
TT C O SnB dB
B^ = 1/-TC I \Jrn\ cas nB dB = 2/Tt | [cos nB dB + B^ = if/n¥.sin na = ^/nTtÇsin mr/2 (1+k)) B^ = 4/nTr j^sin nir/2.cos nk7r/2
+ cas rnz/Z sin nkir/2 ] (A42.3)
Nous voyons apparaître une séparation entre valeurs paires et impaires de n. Soient n^ les valeurs impaires et n„ les valeurs paires de n, nous décomposerons B^ comme suit :
B^ = ^/n^Tc sin n^H/2.coa n^k7U/2 + if/n^Tï^cos sin n2k7r/2
A4 : p 2
= k/n^lt sin n^7r/2 . B^(k,n^)
+ k/n^il cas n^TT/Z . B^Ck.ng) (Ai+Z.if) avec
B^(k,n^) = cas n^ k7r/2
B2(k,n2) = sin n^ kir/2 , (Aif2.5) et v(t) s'écrit
\/(t) = k + Z 4/n.7r sin n^Tr/2.B^ cas n^ui t n, 1 1 1 1 p
+ 1 k/n„v: cas n„TT/2.B„ cas n_uj t (Ait2.6) d <L P
Dégelans maintenant la madulante en remplaçant k par k.sin(u^t+"F) L'équation (A42.2) donne
v„ = k sinCui t+f) 0 m
L'équation (A42.5) donne
B, = cas n.(k"n:/2 sinCuj t+?))
1 1 m
a„ = sin n„(kTr/2 sinCuj t + ?)) 2 c m
Posons X = kTr/2 et A = uj t+'f (Ai+2.7) m
B^ = cosCn^x sin A) B 2 = s i n ( n 2 X S i n A )
Introduisons les fonctions de Bessel de lère espèce par les formules
cos(x sinA) = J (x) + 2 E J (x) cos mA m pair a a m ^
3in(x sinA) = 2 E J (x) sin ma m impair
1
m Nous obtenons
B. = J (n.x) + 2 1 J^Cn^x) cos mA m pair 1 o 1
2m 1 09
a»
B^ = 2 Z '^rTi^"2^^ ^ impair
A4 : p
Bij = c a s n ^ U p t
= J^(n.x) cas n.uj^t
+ 2 1 J (n.x) cas mA cas n^u t
1 m 1 ' P
Bi = Br, cas n„ijj t 2 2 2 p
= 2 1 J (n„x) sin mA cas n„uj t ) m 2 2 p En tenant campte de
2 cas A.cas B = cas (A+B) + cas (B-A) 2 sin A.cas B = sin (A+B) - sin (B-A)
•n obtient
B' = Jn««« + 21 J (n^x)(cas(n^u t+mA) + cas (n^uj t-mA) 1 0 z m 1 1 p 1 P(;^f,2 .a)
oe
Bi = E J (n„x)(sin(n„u t+mA) - sin(n„uj t-mA) 2
1m 2 2 p 2 p et la tension s'écrit
v(t) = k sin (uj t + it) m
+ ^ 1/n. sin(n^'T/2)J„(n^x) ces n^ijj„t V i " 0»
" a l 1 p
+ k/Tt L 1/n. sin(n^Ti/2) Z. J ( n ^x ) ( cas ( n ^ui ttmA)) m pair n,,i H " m.i m l 1 p + 21 1/n„ cas(n_'Tr/2) Z J (n_x)(sin(n„u t+mA)) m impair
- . 2 2 ,„.^ m 2 2 p
- U/ir £ 1/n„ CDs(n„Tr/2) 21 J ( n„x ) ( s in (n„uj t-mA)) m impair /)..« 2 2
«.1m 2 2 p
en remplaçant x par et A par u^t+f et en appelant p l'indice ou n^, on obtient
A4 : p 5
v(t) = k sin(iij„t+?)
+ — î sin(p^) — J„(pk^)cos puj„t p impair
"TC p .i p a <^ p
+ — £ !• sinCp-^) - J „(pk5)(cQs(piij„tîmuj ^tîmr) ) p impair
m pair (.f\UZ.9) + — L L cDsCp^) — 3 (pk^) (sin(puj„t+mui„t+mr) ) p pair
^ ^2 /. m 2 p m ^ impair
- — L L cDs(p^) — J„(pk5) (sinCpu^t-mw^t-my) ) p pair
^ ^2 ^ m 2 p m ^ impair
•n peut condenser l'écriture sn tenant compte de 3 „ = -n n
d'où
v(t) = k sin (u) t + f) m
*.
+ — 1 ain(p^) — 3 (pk5)cas pu„t p impair p., d p a d p
+ — 1 1 * 3in(p^) — 3 (pk|)(cas(piij t+mu^t+m-P ) ) p impair (Ai+2..1D)
^ «.-^ ^^2 p m »^ 2 , p m ^
+ l £ CDs(p^) — J„(pk^) Csin(piij„t+muj^t+mf ) ) p pair f" Z P m ^ Z ^ p m ^ impair
Outre un fondamental d'amplitude k, le spectre contient des harmoniques aux fréquences p.f ± m.f
. . . . P "1 avec p pair et m impair DU p impair et m pair d'amplitude ^^"^^FT^
2.2 Porteuse en dent de scie (fig. A42.2)
Aucune symétrie n'étant applicable, le développement de l'onde rectangulaire périodique s'inscrit :
v(t) = U + I (A sin nu t + B„ cos nuj„t) (.l\kZ.^3)
° 0..
n P n p avec
o = 1/2Tr[TC+ k7C/2 - (TC-kTr/2)] = k
A^t : p 6
A4 : p 7
A = l/ir n sin nB dS - sin nB dB 0.
v ( a ) sin nB dB = l/it
= 1/nfi (cas nSîT- cas na + cas • - cas na )
= 2/nTt ( 1 - cas na)
= I/TC | V ( B ) cas nB dB = 1 A [ | cas nB dB - J c o s nB dsj
= 1/mt (sin na - sin 0 + sin na - sin n27C)
= 2/n7r sin na
en remplaçant a par fr + kir, an obtient A = 2/nTr - n
2/ n T Ccas (1+l<)nTr
= 2/nTr - A' ( A 4 2 . U ) n B = 2/n-n: sin (1+k)nTt n A' = 2/nTC cos (nTU + nkîT) n
= 2/mi (cas nTt cas nkft - sin nTt sin nkTr)
= 2/mT (cos nit cos nkir) B = 2/nU sin (nTt + nkn) n
= 2/n'T (sin nTr cos nkTi + cas mt sin nkfi)
= 2/mt (cos mt sin nkic) (Aif2.15)
On prévoit déjà à ce stade du calcul qu'il n'y aura pas de
différence de structure dans le spectre entre les valeurs paires et impaires de n; seul le signe des coefficients varie.
L'équation (A/+2.13) s'écrit
v(t) = k + r 2/mt sin nu t 1=/ p •
- Z 2/mt cos nft cas nkTT sin nui t nu p
+ Z 2/nTr cos ntr sin nkir cos nui t
A4 : p a
+ Z Z/nic (-1) (-C sin nu t + D cas nu t) n p n p
avec
C = n
C C Snk D = sin nk n
Dégelons la modulante en remplaçant k par k sin (u^t+f) et
supposons f=0 pour alléger l'écriture, puisque, par analogie avec la porteuse isocèle, l'amplitude et la position des raies ne
dépendent pas de <;p .
C = cas(nktr sin u t) n m
C = J
( n k T u ) +2 Z J
( n k i r )cos mu t m pair
n n m m ^
