Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository

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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Bouzouina, D. (1970). Tenseurs de cohérence dans l'étude de la polarisation des ondes électromagnétiques. Conception et réalisation d'un récepteur polarimétrique mesurant les paramètres de G.G. Stokes (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences appliquées, Bruxelles.

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D A N S L ' E T U D E D E LA P O L A R I S A T I O N D E S O N D E S E L E C T R O M A G N E T I Q U E S

C O N C E P T I O N ET R E A L I S A T I O N D ' U N R E C E P T E U R P O L A R I M E T R I Q U E

M E S U R A N T L E S P A R A M E T R E S D E G . G . S T O K E S

par

D . B O U Z O U I N A

Université Libre de Bruxelles

tée en vue d'obtenir le titre f en sciences appliquées

— J a n v i e r 1970 —

U N I V E R S I T E L I B R E D E B R U X E L L E S F A C U L T E D E S S C I E N C E S A P P L I Q U E E S

T E N S E U R S DE C O H E R E N C E D A N S L ' E T U D E D E LA P O L A R I S A T I O N D E S O N D E S E L E C T R O M A G N E T I Q U E S

C O N C E P T I O N ET R E A L I S A T I O N D ' U N R E C E P T E U R P O L A R I M E T R I Q U E

M E S U R A N T L E S P A R A M E T R E S D E G . G . S T O K E S

par

D . B O U Z O U I N A

Thèse présentée en vue d'obtenir le titre de Docteur en sciences appliquées

— Janvier 1970 —

Ce travail a été e f f e c t u é sous la direction de M.M.les p r o f e s s e u r s R . C o u t r e z et P. H o n t o y . Qu'ils t r o u v e n t ici l ' e x p r e s s i o n de m a gratitude p o u r l ' a t t e n t i o n qu'ils o n t a c c o r d é à c e t t e élabora—

tion,les conseils j u d i c i e u x qu'ils m ' o n t prodigué et le s o u t i e n c o n s t a n t qu'ils n ' o n t cesse d e m ' a p — p o t e r t o u t au l o n g de c e t t e é t u d e .

Mes r e m e r c i e m e n t s v o n t également au p e r s o n n e l t e c h n i q u e d u l a b o r a t o i r e de r a d i o é l e c - tricité et plus p a r t i c u l i è r e m e n t à M. L. B o s m a n d o n t l ' e x p é r i e n c e alliée au d é v o u e m e n t a c o n s t i t u é u n des f a c t e u r s d é t e r m i n a n t s dans l ' a b o u t i s s e m e n t de c e t t e réalisation;à M.M.P. G l i b e r t et R. Del—

pierre p o u r la p a r f a i t e e x é c u t i o n et l'excellente précision des n o m b r e u s e s pièces q u i leur o n t é t é

confiées.

T H E S E A N N E X E

Il est i n t é r e s s a n t de r e m a r q u e r q u e lors de l ' é t u d e d e la p o l a r i s a t i o n d ' u n r a y o n n e m e n t élec- t r o m a g n é t i q u e dans le f o r m a l i s m e de la m a t r i c e de c o h é r e n c e , la m a t r i c e d é c r i v a n t les c h a m p s d ' o n d e s planes est h e r m i t i e n n e de rang d e u x . I l est aussi p e r m i s de r e p r é s e n t e r u n s y s t è m e p h y s i q u e q u e l c o n q u e par u n e m a t r i c e de m ê m e t y p e .

Sous des c o n d i t i o n s générales , il est possible dès lors d ' i n t e r c h a n g e r les i n t e r p r é t a t i o n s d e s matrices de c o h é r e n c e et celles des i n s t r u m e n t s et d ' é t a b l i r des résultats g é n é r a u x d ' a p p l i c a t i o n s p r a t i q u e s certaines.

N o u s n o u s p r o p o s o n s d ' é t u d i e r le p r o b l è m e de l ' i n t e r a c t i o n d ' u n r a y o n n e m e n t p o l a r i s é avec

les s y s t è m e s p h y s i q u e s c o m m e u n p r o b l è m e de valeur p r o p r e .

PREMIERE PARTIE :

L E C O N C E P T D E L A P O L A R I S A T I O N

L N O T I O N S D E P O L A R I S A T I O N E N M E C A N I Q U E Q U A N T I Q U E

1 I n t r o d u c t i o n

2. Particule de spin 1 / 2

2.1 R e p r é s e n t a t i o n s des états de spin 2.2 I n t e r p r é t a t i o n de a j , ji^

2.3 P r o p r i é t é s d ' o r i e n t a t i o n d u spin.

3. Matrice d e densité de V o n N e u m a n n 3.1 D é f i n i t i o n

3.2 P r o p r i é t é s

3.3 R e l a t i o n e n t r e les m a t r i c e s de V o n N e u m a n n e t d e P a u l i 4 . Matrice de densité et p o l a r i s a t i o n

4 . 1 Cas des é t a t s p u r s . 4 . 2 Cas général

5. Particule d e spin 1:1e p h o t o n 5.1 D é f i n i t i o n

5.2 C a r a c t é r i s a t i o n d e l ' é t a t de polarisation

II. C H A M P E L E C T R O M A G N E T I Q U E E T P O L A R I S A T I O N

1. Lois de p r o p a g a t i o n de E et H 1.1 Les é q u a t i o n s d e Maxwell 1.2 Les é q u a t i o n s de p r o p a g a t i o n 2. Expressions des c h a m p s r a y o n n é s

2.1 Les i d e n t i t é s de G r e e n et leurs analogues 2.2 F o r m u l e s de K i r c h o f f

2.3 C o n d i t i o n s de r a y o n n e m e n t à l'infini de S o m m e r f e l d 3. Polarisation d ' u n e o n d e é l e c t r o m a g n é t i q u e m o n o c h r o m a t i q u e

3.1 D é f i n i t i o n

3.2 L'ellipse d e p o l a r i s a t i o n

3 . 3 R e p r é s e n t a t i o n des é t a t s de polarisation.

4 . L ' o n d e é l e c t r o m a g n é t i q u e n o n — h a r m o n i q u e .

4 . 1 S p e c t r e généralisé de F o u r i e r 4 . 2 A m p l i t u d e c o m p l e x e i n s t a n t a n é e

4 . 3 L ' o n d e q u a s i — m o n o c h r o m a t i q u e À6

'1

IlL R E P R E S E N T A T I O N P A R A M E T R I Q U E D U C H A M P E L E C T R O M A G N E T I Q U E

1. L ' o n d e plane q u a s i — m o n o c h r o m a t i q u e 1.1 D é f i n i t i o n s des p a r a m è t r e s de S t o k e s 1.2 Significations des p a r a m è t r e s Sj -^^

1.3 P r o p r i é t é s

2. L ' o n d e plane m o n o c h r o m a t i q u e J4 2.1 T h é o r è m e II

2.2 Plan de polarisation et ellipticité 3. L ' o n d e non—polarisée ^

3 . 1 D é f i n i t i o n 3 . 2 T h é o r è m e III 4 . Le degré de polarisation Jji

4 . 1 T h é o r è m e de S t o k e s 4 . 2 Degré de polarisation

5. L ' e s p a c e des é t a t s de p o l a r i s a t i o n : S p h è r e d e H.Poincaré J|

6. Loi de t r a n s f o r m a t i o n ^

7. C o n c e p t de S t o k e s et la m a t r i c e de V o n N e u m a n n it

8. P a r a m è t r e s P , Q , R , S ^5

DEUXIEME PARTIE

F O N C T I O N E T O N D E S D E C O H E R E N C E M U T U E L L E ^

I. G E N E R A L I T E S

1. A S p e c t s statistiques d u c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e •l'f 1.1 Trains d ' o n d e s

1.2 T e m p s et l o n g u e u r de c o h é r e n c e

2. H y p o t h è s e s

1. F o n c t i o n génératrice

1.1 F o n c t i o n s alliées d ' h i l b e r t 1.2 A n a l y t i c i t é de F ( z )

1.3 D é f i n i t i o n d u signal a n a l y t i q u e 2. P r o p r i é t é s m a t h é m a t i q u e s

3. P r o p r i é t é s p h y s i q u e s 4 . T h é o r è m e s

III. L A F O N C T I O N D E C O H E R E N C E M U T U E L L E

1. F o n c t i o n de c o r r é l a t i o n scalaire J$

1.1 Le signal analyti<^ue d ' u n e o n d e q u a s i — m o n o c h r o m a t i q u e 1.2 F o n c t i o n de c o h é r e n c e m u t u e l l l e

1.3.Loi de p r o p a g a t i o n de rj^(,t) ^

2. P r o p a g a t i o n des o n d e s d e c o h é r e n c e m u t u e l l e

2.1 Le p é r i o d o g r a m m e ii

2.2 E q u a t i o n s d ' o n d e s d e G(;') 2.3 R e s o l u t i o n de (15)

3 . S o l u t i o n intégrale d e I^^Ct) ^ 3.1 D é t e r m i n a t i o n de la solution

3 . 2 Cas p a r t i c u l i e r s : é t u d e de la d i f f r a c t i o n de E . W o l f ^ 3 . 3 P r o p a g a t e u r s d ' e s p a c e libre. ^

I V . D E T E R M I N A T I O N D E C . £ T E T U D E D E S E S C A S L I M I T E S

1 . D é t e r m i n a t i o n e x p é r i m e n t a l e de 7 ^ e t Ç^ÇT) Vf 1.1 Conditions d e niesure ^S*

1.2 R a y o n n e m e n t d e largeur spectrale arbitraire 1.3 R a y o n n e m e n t q u a s i — m o n o c h r o i j i a t i q u e

2 J S t u d e des cas limites d e Jg- 2.1 C o h é r e n c e et i n c o h é r e n c e

2 . 2 R a y o n n e m e n t q u a s i — m o n o c h F o m a t i q u e ^

TROISIEME PARTIE

LA THEORIE DE LA COHERENCE ET LA POLARISATION -Jj

I. L E S O N D E S D E F O R M E A R B I T R A I R E

^-h^ièk'^è}^ d'interférence

1.1 C h a m p d e l ' o n d e q u a s i — m o n o c h r o m a t i q u e

1.2 F o r m u l e s d e Wolf é t e n d u e s au c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e ^ 1.3 Degré de c o h é r e n c e ifo

2" T e n s e u r s de cohereriçes tj4

2.1 G é n é r a l i s a t i o n de la f o n c t i o n scalaire de c o h é r e n c e 2.2 T e n s e u r s de c o r r é l a t i o n des c h a m p s Ê e t Ï5

2.3 T e n s e u r s de c o r r é l a t i o n d'énergie et de flux jjj- 3. P a r a m è t r e s généralisés de S t o k e s | ^

3.1 F o r m e c o m p l e x e d u signal

3 . 2 D é v e l o p p e m e n t de la m a t r i c e de c o h é r e n c e 3.3 Les p a r a m è t r e s Sj^.

3.4 Polarisations particulières

I I . L E S O N D E S E L E C T R O M A G N E T I Q U E S P L A N E S Si

1.1 H y p o t h è s e s

1.2 Matrice de c o h é r e n c e 'Sti 1.3 P r o p r i é t é s

1.4 D é t e r m i n a t i o n e x p é r i m e n t a l e de J 5 i 1.5 Equivalence de 2 r a y o n n e m e n t s 2• E t u d e de r a y o n n e m e n t s particuliers f(f

2.1 R a y o n n e m e n t aléatoire

2.2 R a y o n n e m e n t m o n o c h r o m a t i q u e 2.3 R a y o n n e m e n t q u a s i — m o n o c h r o m a t i q u e 3. Matrice de c o h é r e n c e et degré d e polarisation ST

3.1 T h é o r è m e 3.2 Corollaire ^

3 . 3 Degré de polarisation

4. _ T r a n s f o r m a t i o n d e la m a t r i c e de c o h é r e n c e $^

3.1 T r a n s f o r m a t i o n d a n s u n e r o t a t i o n d'axes 3 . 2 T h é o r è m e fX

QUA TRIEME PARTIE

V E R I F I C A T I O N S E X P E R I M E N T A L E S D U R E C E P T E U R P O L A R I M E T R I Q U E ^

P O L A R I S E S D A N S D E U X D I R E C T I O N S O R T H O G O N A L E S O P P O S E E S

1 .Distribution de la t e n s i o n >9 1.1 H y p o t h è s e s 1.2 T e n s i o n s i n d u i t e s

1.3 C h o i x d ' u n e origine et c o n d i t i o n s a u x limites

2. R e l a t i o n s e n t r e la t e n s i o n q u a d r a t i q u e et les p a r a m è t r e s d e S t o k e s 3. Principe de d é t e r m i n a t i o n des p a r a m è t r e s P,Q,R,S 6l

n . _ E T A m M M - l S J T ^ A E G L A G E 6\

A. -L'EMETTEUR

1 . S i m u l a t i o n des sources d ' o n d e s polarisées 6\ (^éj 1.1 D e s c r i p t i o n

1.2 O b t e n t i o n d.'une polarisation particulière 2. E t a l o n n a g e d u d é p h a s e u r U L B <»i

3. E t a l o n n a g e d e l ' a t t é n u a t e u r P R D 19 5B 4. Egalisatior. des l o n g u e u r s électU(i|U'«* &

B. - LE RECEPTEUR POLARIMETRIQUE

2. Egalisation des l o n g u e u r s électriques &

3. A d a p t a t i o n d u câble coaxial

4. C o n t r ô l e de la sensibilité des cristaux mélangeurs 5. Réglage des niveaux a u x s o n d e s

6 . I s o l e m e n t des voies 6 6

III. M E S U R E S D E S P O L A R I S A T I O N S â&

1 -Valeurs particulières des p a r a m è t r e s de S t o k e s 2.Mesures des polarisations à d r o i t e <^

^ Ci)

2 . 1 Polarisations circulaires 2.2 Polarisations elliptiques 66 2 . 3 Polarisations elliptiques droites 2.4 Polarisations h o r i z o n t a l e et verticale 3. Mesures des polarisations â gauche | o

C o n c l u s i o n générale

CINQUIEME PARTIE

P R O J E T D E L ' I N S T A L L A T I O N

L L E S R A Y O N N E M E N T S A G R A N D E S DISTANCES

1. C h a m p r a y o n n é à grande distance ^ 1.1 C o n d i t i o n s degrandes distances 1.2 F o r m e limite d u c h a m p r a y o n n é ^ 2. A p p l i c a t i o n s à u n e liaison h e r t z i e n n e

2.1 R a p p e l sur les a n t e n n e s 2.2 L ' é q u a t i o n d ' u n e liaison ^ 3. C o n d i t i o n s de réalisation

3 . 1 C o n d i t i o n s t h é o r i q u e s

3 . 2 C o n d i t i o n s spatiales et matérielles ^

I I . P R O T E T D U M O N T A G E H Y P E R F R E Q U E N C E E T D E S C H A I N E S A 3 0 M h z p

A.-LES CIRCUITS IIYPERFREQUENCES

1. Les a n t e n n e s ^

1.1 E f f e t s d u s a u x aériens 1.2 T y p e d ' a é r i e n ^ 2. Liaison h e r t z i e n n e

2 . 1 E f f e t de L'inégalité des l o n g u e u r s électriques 2.2 L.'affaiblissement des liaisons 'fi

2 . 3 H a u t e u r des c o r n e t s

2.4 V é r i f i c a t i o n des c o n d i t i o n s (1)

1. Les m é l a n g e u r s

1.1 E f f e t d ' u n e dissymétrie des mélangeurs 1.2 C h o i x de la f r é q u e n c e intermédiaire 1.3 M o n t a g e d ' u n mélangeur

2. C h a î n e s d ' a m p l i f i c a t i o n

2.1 R é p a r t i t i o n des gains dans le r é c e p t e u r 2.2 Calcul de l ' a m p l i f i c a t e u r de voie de gain 6 0 d B 2 . 3 L ' a m p l i f i c a t e u r de sonde

3. La_ligne_de m é l a n g e 3 . 1 Le cable coaxial 3 . 2 Les s o n d e s 4. C h a î n e d'asservissement

4 . 1 E f f e t d u d é p h a s a g e relatif des a m p l i f i c a t e u r s d e ligne 4 . 2 Instabilité en f r é q u e n c e d u k l y s t r o n réflex 2 K 2 5 4 . 3 L ' a m p l i f i c a t e u r de la boucle d'asservissement 4 . 4 Le d i s c r i m i n a t e u r

4 . 5 L ' o r g a n e de c o m m a n d e 5. La d é t e c t i o n

5.1 Principe d ' o b t e n t i o n d ' u n grand intervalle d y n a m i q u e 5.2 Le d é t e c t e u r linéaire

5.3 Réalisation d e la f o n c t i o n q u a d r a t i q u e

I I I . P E R F O R M A N C E S D E S C H A I N E S R E A L I S E E S

A. -LES ELEMENTS H Y PE R F R EQU EN CES

1. Les c o r n e t s

1.1 Mesures de leurs gains 1.2 C o n t r ô l e de l ' a d a p t a t i o n 2- Le T magiq,ue U L B

B. -LES CHAINES MOYENNE FREQUENCE (30 Mhz)

1. Les a m p l i f i c a t e u r s d e ligne (60 dB) 1.1 D e s c r i p t i o n

1.2 C o u r b e d e linéarité à 3 0 Mhz 1.3 C o u r b e de r é p o n s e

1.4 F a c t e u r de b r u i t

1.5 D é p h a s a g e relatif des a m p l i f i c a t e u r s 2. C h a î n e de stabilisation de la f r é q u e n c e

2.1 L i m i t e u r s - d i s c r i m i n a t e u r

2.2 P e r f o r m a n c e de la b o u c l e

Les a m p l i f i c a t e u r s - d é tec teurs quadratiques^

3 . 1 Linéarité et c o u r b e de r é p o n s e 3 . 2 Caractéristiques q u a d r a t i q u e s P o s i t i o n s des s o n d e s

4 . 1 Couplage s o n d e s - a m p l i f i c a t e u r s - d é t e c t e u r s 4 . 2 Couplage des s o n d e s

4 . 3 Positions des sondes

4 . 4 Valeur d u couplage des s o n d e s

Les p h é n o m è n e s d o n n a n t lieu à l'émission dans les m i l i e u x c o s m i q u e s d e r a d i a t i o n s n o n t h e r - m i q u e s o u p s e u d o - t h e r m i q u e s de grandes intensités ( c o u r o n n e solaire , vestiges de s u p e r n o v a e c o m m e la Crab N é b u l a , les pulsars , les quasars , etc ...) s o n t le plus s o u v e n t régis par des c h a m p s m a g n é t i q u e s . D a n s de telles situations , le m é c a n i s m e m ê m e d ' é m i s s i o n ou les c o n d i t i o n s d e p r o - pagation des o n d e s é l e c t r o m a g n é t i q u e s dans les plasmas m a g n é t i s é s d o n n e n t lieu à u n r a y o n n e m e n t polarisé d o n t la d é t e r m i n a t i o n p e r m e t d ' i d e n t i f i e r les m i l i e u x p h y s i q u e s r e n c o n t r é s .

C e p e n d a n t si malgré l ' i n t é r ê t évident a u j o u r d ' h u i e n c o r e t r o p p e u de m e s u r e s d e p o l a r i s a t i o n sont e f f e c t u é e s d a n s le d o m a i n e de la r a d i o a s t r o n o m i e p o u r q u ' o n puisse en tirer des c o n c l u s i o n s valables, c'est p r é c i s é m e n t à cause des d i f f i c u l t é s que ces m e s u r e s p r é s e n t e n t . D a n s la p l u p a r t d u t e m p s en e f f e t seul le t a u x de polarisation circulaire (à d r o i t e ou à g a u c h e ) de la r a d i a t i o n est m e - suré ; il en résulte alors u n e p e r t e considérable d ' i n f o r m a t i o n s sur la n a t u r e d e la s o u r c e d ' o n d e s é l e c t r o m a g n é t i q u e s o u d u processus de t r a n s f e r t dans les m i l i e u x c o s m i q u e s .

E n réalité , u n c h a m p de r a y o n n e m e n t est t o t a l e m e n t d é t e r m i n é p a r la c o n n a i s s a n c e d e q u a t r e grandeurs appelées g é n é r a l e m e n t les p a r a m è t r e s de S t o k e s . A c t u e l l e m e n t , il n ' e x i s t e pas d ' i n s t r u - m e n t m e s u r a n t d i r e c t e m e n t ces p a r a m è t r e s ; la caractérisation d ' u n é t a t de p o l a r i s a t i o n se fait alors grâce à la m e s u r e d ' i n t e n s i t é s partielles c o r r e s p o n d a n t a u c h a m p é l e c t r i q u e d a n s d i f f é r e n t e s direc- tions.C'est ainsi q u e le p o l a r i m è t r e de l'observatoire d e T o k y o c o n s t r u i t en 1 9 5 8 p a r S . S u z u k i et A . T s u c h i y a m e s u r e 6 i n t e n s i t é s : selon O x , O y , ±7r/4,et les c o m p o s a n t e s circulaires d r o i t e et gau- che.Le p o l a r i m è t r e de l'université de Cornell (1957) m e s u r e les 2 i n t e n s i t é s partielles e n O x , O y de m ê m e q u e la p h a s e et l ' a m p l i t u d e de la f o n c t i o n d e c o r r é l a t i o n ; l ' i m p r é c i s i o n sur l ' e x c e n t r i c i t é de l'ellipse de p o l a r i s a t i o n est de 6% et est d u e à l ' i n s u f f i s a n c e d ' i s o l e m e n t des aériens.

C'est également le m ê m e p r i n c i p e q u i est à la base d u f o n c t i o n n e m e n t d u p o l a r i m è t r e d e la s t a t i o n de N E R A ( P a y s - B a s ) .

P u i s q u e dans les investigations sur le c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e les 4 p a r a m è t r e s d e S t o k e s c o n s t i t u e n t u n e r e p r é s e n t a t i o n q u a n t i t a t i v e c o m p l è t e de ce c h a m p , la q u e s t i o n q u i se p r é s e n t e t o u t n a t u r e l l e m e n t est celle-ci ; dans quelle mesure p e u t - o n évaluer les p a r a m è t r e s d e S t o k e s ? Quelle est la précision d e c e t t e d é t e r m i n a t i o n ?

La r é p o n s e à c e t t e q u e s t i o n a m o t i v é d ' a b o r d u n e é t u d e t h é o r i q u e c o m p l è t e d e la p o l a r i s a t i o n d ' u n c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e aléatoire; la théorie d e la c o h é r e n c e p e r m e t alors de t r a i t e r le s u j e t par la m é t h o d e matricielle. Le chapitre II est l ' é t u d e d ' u n é l é m e n t des tenseurs du c h a p i t r e III,ce q u i justifie le titre de c e t t e p a r t i e t h é o r i q u e .

Au C h a p i t r e I (1ère partie)

n o u s a b o r d o n s le c o n c e p t de la polarisation t a n t en t h é o r i e classique q u e q u a n t i q u e . La polarisation d ' u n e p a r t i c u l e é l é m e n t a i r e de spin 1 / 2 est é t u d i é e d a n s le cadre s u f f i s a n t d e la m é c a n i q u e q u a n t i q u e n o n relativiste;en n o u s intéressant a u c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e d a n s le v i d e , n o u s d é d u i s o n s la p o l a r i s a t i o n d u p h o t o n par analogie à celle d ' u n é l e c t r o n .

La partie suivante é t a b l i t les lois de p r o p a g a t i o n et de r a y o n n e m e n t des c h a m p s é l e c t r i q u e et m a g n e t i q u e . N o u s y m o n t r o n s é g a l e m e n t q u ' u n e o n d e m o n o c h r o m a t i q u e générale est polarisée e l l i p t i q u e m e n t , l a d é g é n é r e s c e n c e de c e t t e ellipse c o n d u i s a n t alors a u x d i f f é r e n t e s f o r m e s de p o l a r i s a t i o n s particulières r e p r é s e n t a b l e s sur les d i a g r a m m e s du Cercle et d e S m i t h .

La 3 è m e partie d u c h a p i t r e I est consacrée à l ' é t u d e g é n é r a l e d e la p o l a r i s a t i o n d a n s la r e p r é s e n t a -

tion p a r a m é t r i q u e de G . G . S t o k e s . N o u s y p r o u v o n s c o m m e n t 4 g r a n d e u r s s u f f i s e n t à c a r a c t é r i s e r

c o m p l è t e m e n t u n c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e q u e l c o n q u e . D e s t h é o r è m e s f o n d a m e n t a u x s o n t d o n n é s

et l'espace de p o l a r i s a t i o n est mis en évidence.

D a n s ces p a r a g r a p h e s , n o t r e c o n t r i b u t i o n réside dans la d é m o n s t r a t i o n originale d u p r o l o n g e m e n t en m é c a n i q u e q u a n t i q u e , de la r e p r é s e n t a t i o n de Stokes.

Le c h a p i t r e II

traite de la t h é o r i e scalaire de la c o h é r e n c e basée sur la f o n c t i o n de c o h é r e n c e m u t u e l l e d ' E . W o l f .

A p r è s avoir souligné la n a t u r e statistique des notions d e c o h é r e n c e et d ' i n c o h é r e n c e , n o u s p r é c i s o n s les h y p o t h è s e s et le cadre m a t h é m a t i q u e a d é q u a t s au d é v e l o p p e m e n t d e c e t t e é t u d e . C ' e s t l ' i n t é r ê t grandissant de la r e p r é s e n t a t i o n c o m p l e x e "signal a n a l y t i q u e " q u i n o u s a a m e n é s à lui c o n s a c r e r u n e p a r t i e dans laquelle n o u s avons t e n t é d ' u n e m a n i è r e p e r s o n n e l l e d e m e t t r e e n é v i d e n c e les p r i n cipales p r o p r i é t é s j u s t i f i a n t son utilisation.

N o u s n o u s s o m m e s a t t a c h é s e n s u i t e à d é m o n t r e r l ' e x i s t e n c e et la p r o p a g a t i o n en e s p a c e libre des o n d e s de c o h é r e n c e m u t u e l l e ;une s o l u t i o n intégrale des é q u a t i o n s d ' o n d e s est établie d a n s le cas oti la source d ' o n d e s est p l a n e et p o l y c h r o m a t i q u e . N o u s c o n t r i b u o n s à en d é d u i r e l ' é t u d e d e la dif- f r a c t i o n faite par E.Wolf.

P o u r j u g e r l'utilité de ces résultats t h é o r i q u e s , nous s o m m e s c o n d u i t s à la discussion de la d é t e r m i n a t i o n e x p é r i m e n t a l e d u degré c o m p l e x e de c o h é r e n c e et de la f o n c t i o n d e c o h é r e n c e m u t u e l l e d o n t les f o r m e s limites s o n t ensuite considérées.

Le c h a p i t r e III

C o n c e r n e l ' é t u d e vectorielle de la c o h é r e n c e d a n s le cas d ' o n d e s é l e c t r o m a g n é t i q u e s d e f o r m e arbitraire.

A la l u m i è r e de la t h é o r i e scalaire c o n f i r m é e e x p é r i m e n t a l e m e n t , u n e loi générale d ' i n t e r f é r e n c e est établie o ù a p p a r a î t u n e q u a n t i t é 7' q u i s'avère être u n degré c o m p l e x e d e c o h é r e n c e m o y e n n a n t certaines restrictions.

N o u s passons alors à l ' é t u d e de la c o r r é l a t i o n des c h a m p s E e t H c o n s i d é r é s a u x 2 p o i n t s d e l ' e s p a c e et P^ et à des i n s t a n t s séparés de r ; n o u s i n t r o d u i s o n s divers t e n s e u r s de c o h é r e n c e r é s u l t a n t des c o m b i n a i s o n s possibles des c h a m p s E et H.Des é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s et des lois de p r o p a g a t i o n p o u r ces tenseurs s o n t établies de m a n i è r e rigoureuse.Les t e n s e u r s d e c o h é r e n c e d ' é n e r g i e et d e flux d o n n e n t lieu a u x lois de c o n s e r v a t i o n , e n valeurs m o y e n n e s , d e l'énergie et de l ' i m p u l s i o n . L ' a d a p t a t i o n de la r e p r é s e n t a t i o n de S t o k e s a u x c h a m p s d e f o r m e a r b i t r a i r e c o n d u i t t o u t n a t u r e l - l e m e n t a u x p a r a m è t r e s de S t o k e s généralisés.Différents r a y o n n e m e n t s s o n t alors d i s c u t é s et u n e f o r m u l e générale très s i m p l e , d o n t les valeurs particulières c a r a c t é r i s e n t les é t a t s de p o l a r i s a t i o n ,est ainsi d é d u i t e .

C o m p t e t e n u de l ' i m p o r t a n c e des investigations e x p é r i m e n t a l e s , n o u s é t u d i o n s en détail les t e n s e u r s de c o r r é l a t i o n de rang 2 U n e telle s i t u a t i o n cadre n o t a m m e n t avec les e x p é r i e n c e s en h y p e r f r é q u e n c e s p u i s q u e dans la p l u p a r t des cas les c o n d i t i o n s d ' o n d e s p l a n e s s o n t f a c i l e m e n t r e m p l i e s .

Les d i f f é r e n t s t y p e s de r a y o n n e m e n t s polarisés sont c a r a c t é r i s é s p a r d e s m a t r i c e s b i e n d é f i n i e s ; d e s t h é o r è m e s sont é g a l e m e n t d o n n é s .

D a n s c e t t e partie , n o t r e c o n t r i b u t i o n établit le lien e n t r e la m a t r i c e d e c o h é r e n c e et la m a t r i c e d e V o n N e u m a n n

La partie e x p é r i m e n t a l e se base sur les résultats o b t e n u s d a n s la p a r t i e t h é o r i q u e .

D a n s ce q u e n o u s a p p e l o n s q u a t r i è m e partie , nous é t a b l i s s o n s u n r é s e a u d e calcul p e r m e t t a n t d e

d é t e r m i n e r les p a r a m è t r e s d e S t o k e s P , Q , R , S . L a séparation des p a r a m è t r e s d e c o r r é l a t i o n R e t S

fait intervenir u n e ligné d é m e s u r e . L a liaison h e r t z i e n n e c o n ç u e p o u r la v é r i f i c a t i o n e x p é r i m e n t a l e

PREMIERE PARTIE:

L E C O N C E P T D E L A P O L A R I S A T I O N

1

L N O T I O N S D E P O L A R I S A T I O N EN M E C A N I Q U E Q U A N T I Q U E

1. I N T R O D U C T I O N

Le c o n c e p t d e polarisation d ' u n e p a r t i c u l e é l é m e n t a i r e o u c o m p l e x e r e p o s e sur u n p o s t u lat d e In m é c a n i q u e q u a n t i q u e q u i consiste à a t t r i b u e r à t o u t e p a r t i c u l e é l é m e n t a i r e , i n d é p e n d a m m e n t d e son m o u v e m e n t dans l'espace, u n m o m e n t c i n é t i q u e p r o p r e et s p é c i f i q u e a p p e l é spin.

D e c e t t e p r o p r i é t é , l a d é t e r m i n a t i o n des états de p o l a r i s a t i o n d ' u n e telle p a r t i c u l e revient à é t u d i e r les o r i e n t a t i o n s possibles de son spin; c'est ce q u e n o u s n o u s p r o p o s o n s d'établir,1a discussion é t a n t t o u t e f o i s limitée ( p o u r simplifier ) au cas d ' u n e p a r t i c u l e é l é m e n t a i r e d o n t n o u s n o u s a f f r a n c h i r o n s d u m o u v e m e n t spatial en la c o n s i d é r a n t s i t u é e à l'origine d u s y s t è m e d e c o o r d o n n é e s c a r t é s i e n n n e s x, y, z.

2. P A R T I C U L E D E SPIN 1 / 2

E n v e r t u d e s relations de c o m m u t a t i o n s des o p é r a t e u r s d e spin [ 45], l ' u n i q u e o b s e r v a b l e d u spin d a n s la d i r e c t i o n z est u n e variable d i c h o t o m i q u e d e valeurs p r o p r e s ± 1 / 2 (si le spin est m e s u r é en u n i t é s i î •

2.1 R e p r é s e n t a t i o n s des é t a t s d u spin

E n choisissant c o m m e d i r e c t i o n d ' o b s e r v a t i o n celle d ' a n g l e s polaires le spin p e u t - ê t r e r e p r é s e n t é , selon qu'il est parallèle o u antiparallèle i d ,tp par les v e c t e u r s u n i t a i r e s c o m p l e x e s

(1) ^-1/2): a

I -l/2> =

o ù le c r o c h e t I ) est la r e p r é s e n t a t i o n d e Dirac [16 ] d u v e c t e u r d ' é t a t et a j , jS^ d é p e n d e n t de 0 , ifi d ' u n e m a n i è r e q u i sera explicitée.

Les v e c t e u r s d ' é t a t (1 ) sont o r t h o n o r m é s :

< m I n ) = &i m , n = ± 1/2

( m l désigne l ' a d j o i n t e des vecteurs (1) et S le s y m b o l e d e K r o n e c k e r .

L ' é v i d e n c e d e (2) résulte d u m o d u l e u n i t é des vecteurs (1) et d e 1'!;, j o m p a t i b i l i t é des é t a t s . 2.2 I n t e r p r é t a t i o n de

S u p p o s o n s q u e dans la d i r e c t i o n 0 , ifi le spin est d a n s l ' é t a t |+]/2> . P o u r u n e o b s e r v a t i o n m e n é e d a n s la d i r e c t i o n z , le spin p e u t - ê t r e parallèle o u antiparallèle à c e t t e d i r e c t i o n et le ré sultat d e l ' o b s e r v a t i o n ne p e u t - ê t r e p r é d i t q u e s t a t i s t i q u e m e n t .

Si :

0 I a. >

a. ) =

1

s o n t les r e p r é s e n t a t i o n s d u spin parallèle et antiparallèle à z,alors

|< a , U i / 2 > | i \ a ^ f [< a _ U i / 2 > [ =

s o n t les p r o b a b i l i t é s d e t r o u v e r le spin r e s p e c t i v e m e n t parallèle et a n t i p a r a l l è l e à z l o r s q u ' i l est, avec c e r t i t u d e , parallèle i 0 , ip

2 . 3 P r o p r i é t é s d ' o r i e n t a t i o n d u spin

Le v e c t e u r spin est réel et d é t e r m i n e c o m p l è t e m e n t les p r o p r i é t é s d e p o l a r i s a t i o n d ' u - n e p a r t i c u l e ; en e f f e t ,

- la p o l a r i s a t i o n t o t a l e se p r é s e n t e si,par u n c h o i x c o n v e n a b l e d e s a x e s , l ' u n e d e s c o m p o s a n t e s d e f est égale à l / 2 , l e s a u t r e s é t a n t null es ; l' é tat d e spin est d é c r i t p a r l ' u n d e s é t a t s ( 1 ) .

-la n o n - p o l a r i s a t i o n a lieu l o r s q u e les 3 c o m p o s a n t e s d e s" s o n t n u l l e s ; d a n s p a r e i l cas a u c u n e d i r e c t i o n n ' e s t privilégiée.

- l a p o l a r i s a t i o n partielle est le cas le plus g é n é r a l c o r r e s p o n d a n t à u n é t a t d e s p i n m i x - te, c'est-à-dire q u e c h a c u n des é t a t s (1) est p r o b a b l e ; e n d ' a u t r e s t e r m e s , le s p i n n ' a p a s d ' é t a t p u r . 3. M A T R I C E D E D E N S I T E D E V O N N E U M A N N

C ' e s t le p r o c é d é le p l u s général d e d e s c r i p t i o n d e s é t a t s d ' u n s y s t è m e d o n t l ' é v o l u t i o n est p r é d i c t i b l e s t a t i s t i q u e m e n t .

3 . 1 E x p r e s s i o n .

C o n s i d é r a n t q u e la p a r t i c u l e d e spin 1 / 2 p e u t - ê t i e d a n s les 2 é t a t s i n c o m p a t i b l e s (1) avec les p r o b a b i l i t é s p^ ,p^ la m a t r i c e d e d e n s i t é p d é c r i v a n t l ' é t a t d e c e s y s t è m e é l é m e n t a i r e est d é - finie p a r : "

(3) p = 2 p.l a. > ( a. i = 2 p. p. o u p. = I a. X a

la r e l a t i o n e n t r e les p r o b a b i l i t é s é t a n t

2 p . = 1 i ^1 3 . 2 P r o p r i é t é s

-La m a t r i c e p est h e r m i t i e n n e : p..— p*

E n e f f e t , •"

= 2 p i r r a i ) j a i ) . * ] * -Ses é l é m e n t s d i a g o n a u x s o n t p o s i t i f s o u nuls : p^ > 0 C e c i r é s u l t e d e c e q u e

( j = l , 2 )

{ p j = (ai)j(ai):* 1 jj j j soit I (a;).| > 0

-Sa t r a c e est u n i t a i r e :

3

(4) t r p = 1

E n fait

2 p..=: 2 S p , | { a ) ] or = 1 et S p ; = 1

-Si u n e observable est r e p r é s e n t é e par l ' o p é r a t e u r h e r m i t i e n  ,sa valeur m o y e n n e s'ex- p r i m e s i m p l e m e n t par la relation :

(5a) A = tr p. A

et la valeur m o y e n n e d ' e n s e m b l e par

(5b) A = t r p A A = t r p A o u A = S

i

o ù A est la m a t r i c e r e p r é s e n t a n t l ' o p é r a t e u r .

E n e f f e t , d a n s l ' é t a t a ) la valeur m o y e n n e est d o n n é e par 2 2 ( a ) . * A . ( a ) . = 2 [ p A ] . . soit À

-p. A = 2 p . t r p A o u  = t r p A 1 1 1

3 . 3 R e l a t i o n s e n t r e les matrices de V o n N e u m a n n et de Pauli 3 . 3 1 Matrices de Pauli : ce sont les matrices

0 - j (6)

1 0

10 - i J 0

0L =

Elles s o n t liées a u x c o m p o s a n t e s cartésiennes d u v e c t e u r s p i n ? par

S i = 1 / 2 a- avec ( i = X, y, z

3 . 3 2 R e l a t i o n e n t r e p et a

Le d é v e l o p p e m e n t de la m a t r i c e d e densité dans l'algèbre m i n i m a l e d e Pauli s ' o b t i e n t e n c a l c u l a n t les valeurs moyennes- :

p o u r i = X , y , z

E n e f f e t de (5) et (6),les valeurs :

d é t e r m i n e n t c o m p l è t e m e n t la m a t r i c e h e r m i t i e n n e p . I n t r o d u i s o n s les q u a n t i t é s réelles :

P. = 0; 1 = X , y , z

et a p p e l o n s la m a t r i c e unitaire, il vient

(7) p = l / 2 ( a + a . P ) avec a . P = S 0 . P

L ' é q u a t i o n (7) c o n t i e n t t o u t e l ' i n f o r m a t i o n sur l ' é t a t d e p o l a r i s a t i o n d ' u n e p a r t i c u l e d e spin 1 / 2 ainsi q u e n o u s allons le voir.

4. M A T R I C E D E D E N S I T E E T P O L A R I S A T I O N 4 . 1 Cas des é t a t s p u r s :

F o r m e s explicites des é t a t s (1) :

S u p p o s o n s q u e le spin est dans l ' é t a t | + 1/^ d a n s la d i r e c t i o n B , et soit cos 6 la valeur m o y e n n e de d a n s la d i r e c t i o n d ' o b s e r v a t i o n z .De (1) et (2) o ù

d ' o ù

(8)

| 2 - ^ i | ^ = COS 6

f>

COSj- «a s i n - j e

sin-|- eJ"^ e

cos "2

V e c t e u r d e p o l a r i s a t i o n D e (8) et (3) en a p p l i q u a n t (5)

P — sin 9 cos ip P = sin 0 sin tp P ^ = cosd

et d o n c (P^^, P^ ,P^ )est u n vecteur unitaire d é t e r m i n a n t p :c'est le v e c t e u r d e p o l a r i s a t i o n de l'état p r o p r e c o n s i d é r é .

4 . 2 Cas général

Degré de p o l a r i s a t i o n

P p e r d le c a r a c t è r e vectoriel lorsque la particule est d a n s u n é t a t m i x t e ; n é a n m o i n s û i n f o r m e e n c o r e sur l ' é t a t d e p o l a r i s a t i o n de la particule.

D e (8),(5) et ( 3 ) , n o u s avons en e f f e t

( 9 ) p ' = { p , - p , y avec P , + P 2 = 1

soit

5

(9) 0 < | P l < 1

et I P | est le d e g r é d e p o l a r i s a t i o n p u i s q u e :

- | P| = 1 : la p a r t i c u l e est d a n s u n é t a t p u r |+1/2) ( I -i/2> ) car p j ( p j ) est n u l et la p o - l a r i s a t i o n est t o t a l e .

- | P | = 0 : a lieu p o u r p^= 1 / 2 , c'est-à-dire q u e les é t a t s (1) se p r é s e n t e n t a v e c la m ê m e p r o b a b i l i t é :il y a n o n - p o l a r i s a t i o n

< 1 caractérise u n é t a t d e p o l a r i s a t i o n p a r t i e l l e C o n d i t i o n s d e d é t e r m i n a a t sur p

D e (8) et ( 3 ) :

d t m p = P1P2

e t ce d é t e r m i n a n t est positif o u n u l ; c o m p t e t e n u d e (9),il r é s u l t e q u e :

(10) d t m p = 1 / 4 ( 1 - p ' )

N o u s r e v i e n d r o n s sur c e t t e f o r m e lors d e l ' é t u d e d e la m a t r i c e d e c o h é r e n c e .

D e ce q u i p r é c è d e , n o t o n s q u e les c o n d i t i o n s p o u r q u e la p o l a r i s a t i o n d ' u n e p a r t i c u l e (de s p i n 1 / 2 ) soit t o t a l e , a l é a t o i r e o u partielle s o n t r e s p e c t i v e m e n t :

d t m p = 0 d t m p = 1 / 4 0 < d t m p < 1

R e m a r q u e

La m a t r i c e d e d e n s i t é e n g l o b e la d e s c r i p t i o n d ' u n s y s t è m e d a n s u n é t a t p u r ; dans ce cas la m a t r i c e p est i d e m p o t e n t e , c ' e s t - à - d i r e q u e

52 =

L ' é t u d e d e la p o l a r i s a t i o n d ' u n e p a r t i c u l e de spin 1 / 2 va n o u s p e r m e t t r e d e d é d u i r e l ' é t a t d e p o l a r i s a t i o n d u p h o t o n , c e q u i intéresse p l u s p a r t i c u l i è r e m e n t le c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e . 5. P A R T I C U L E D E S P I N 1 : L E P H O T Q N

5.1 D é f i n i t i o n

Le p h o t o n est u n b o s o n d o t é u n i q u e m e n t d ' u n m o m e n t e t d ' u n e v a r i a b l e d e p o l a r i s a t i o n Les valeurs p r o p r e s d e s o n t ± 1 s e l o n q u e d a n s la d i r e c t i o n d e s o n m o m e n t la p o l a

r i s a t i o n est circulaire à d r o i t e o u à g a u c h e .

Il a é t é é t a b l i [16 ] q u e les o p é r a t e u r s d e spin d u photon**aîj ( i = x , y , z ) s o n t liés e n t r e e u x

p a r les m ê m e s r e l a t i o n s d e c o m m u t a t i o n s q u e celles régissant les o p é r a t e u r s d u spin 1 / 2 . P a r c o n - s é q u e n t , ils s o n t r e p r é s e n t é s par les m a t r i c e s (6) q u e n o u s d é s i g n e r o n s p a r a>j

5 . 2 C a r a c t é r i s a t i o n de l ' é t a t d e p o l a r i s a t i o n

La p o l a r i s a t i o n d u p h o t o n , d e par le c a r a c t è r e d i c h o t o m i q u e d e la v a r i a b l e d e p o l a r i s a t i o n et l ' i s o m o r p h i s m e d e s o p é r a t e u r s cD; a u x m a t r i c e s d e Pauli, s ' é t u d i e p a r u n e a n a l o g i e f o r

* Nous nous intéressons au champ électromagnétique dans un vide non polarisable auquel cas le spin du photon a les

valeurs propres ±1

m e l l e c o m m e celle de la particule d e spin 1/2.

Ainsi,similairement à (7), la m a t r i c e d e deosit* s ' e x p r i m e par :

M = 1 / 2 K + w . P )

o ù est la m a t r i c e u n i t a i r e et P r e p r é s e n t e encore le degré d e p o l a r i s a t i o n .

E n p a r t i c u l i e r . t o u t e l ' i n f o r m a t i o n sur la polarisation d u p h o t o n d a n s u n é t a t d e spin d o n n é est d é d u c t i b l e de la m a t r i c e :

M =

o ù a ^ sont c o m m e p r é c é d e m m e n t 2 n o m b r e s c o m p l e x e s s o u m i s à la c o n d i t i o n d e n o r m a l i s a - t i o a - ;

\<xf + 1

Les valeurs m o y e n n e s des observables r e p r é s e n t é e s par les o p é r a t e u r s h e r m i t i e n s w- s o n t o b t e n u e s à p a r t i r de (5) m o y e n n a n t la s u b s t i t u t i o n M p o u r P . N o t o n s - q u e :-

(12)

c3 =- y -j(ûf^^ -

| a | ^ -

'^0 = m'

s o n t des expressions q u a d r a t i q u e s sur lesquelles n o u s r e v i e n d r o n s p a r la suite en vue d e les i n t e r p r ê t e r .

II. C H A M P E L E C T R O M A G N E T I Q U E E T P O L A R I S A T I O N

L ' é t u d e d e la polarisation d u c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e r e q u i e r t u n e i n f o r m a t i o n précise sur les variations d a n s le t e m p s des c h a m p s électrique et m a g n é t i q u e ; il i m p o r t e d o n c d e r a p p e v 1er d ' a b o r d les lois q u i régissent la p r o p a g a t i o n de ces c h a m p s

1. L O I S D E P R O P A G A T I O N D E S C H A M P S EET H 1.1 Les é q u a t i o n s de Maxwell

D a n s u n milieu c o n t e n a n t les d i s t r i b u t i o n s de c o u r a n t s et J et les d e n s i t é s d e c h a r g e s

é l e c t r i q u e s P^ et m a g n é t i q u e s ,les é q u a t i o n s f o n d a m e n t a l e s d e s c h a m p s o u é q u a t i o n s d e M a x -

well s o n t :

7

(1)

r o t ^

d t

e div K =

r o t H

a t l M div ï ? =

N o u s s u p p o s o n s q u e la c o n d u c t i b i l i t é d u milieu est nulle,les c h a m p s Ë*et l î a d m e t t a n t des dérivées premières et s e c o n d e s , la permittivité électrique e et la p e r m é a b i l i t é m a g n é t i q u e M c o n s t a n t e s

1.2 Les é q u a t i o n s de p r o p a g a t i o n s 1.21 V a r i a t i o a arbitraire d u t e m p s

E n d e h o r s des sources,les é q u a t i o n s (1) sont h o m o g è n e s ;si 0 désigne i n d i f f é r e m m e n t IS on FT.en éliminant de (1) l ' u n de ces c h a m p s t o u t en t e n a n t c o m p t e d e l ' i d e n t i t é vectorielle :

A U = graddiv U - rot r o t U o ù A est le L a p l a c i e n ;

n o u s o b t e n o n s d a n s le cas d u vide :

(2) • l f = 0 • = (A - i _ ) est le D ' A l e m b e r t i e n . ^{1 a}

1.22 C h a m p s h a r m o n i q u e s d u t e m p s D e tels^champs o n t la f o r m e :

u = U e j ' ^ t

co é t a n t la p u l s a t i o n d e l ' o n d e é l e c t r o m a g n é t i q u e . D e ( 2 ) , n o u s avons alors i m m é d i a t e m e n t :

(3) A U + k2 0 = 0 o ù k ~ — est le n o m b r e d ' o n d e

C ' e s t l ' é q u a t i o n vectorielle h o m o g è n e d e Helmholz.

N o t a n t q u e d a n s u n r e p è r e cartésien d ' a x e s x, y , z p o r t a n t les v e c t e u r s u n i t a i r e s (4) n = U î + U j + Ulc

(3) est alors la s u p e r p o s i t i o n vectorielle d e 3 é q u a t i o n s scalaires d e H e l m h o l z :

(4) A U , + ÂJ, = 0 1 = X , y , z

Si elle existe,la s o l u t i o n d e (4) p e u t - t o u j o u r s s ' e x p r i m e r sous la f o r m e

(5) (x, y, z) = Ai(x, y, z) e

o ù Aj et sont 2 f o n c t i o n s réelles d e l'espace.

N o u s allons établir les s o l u t i o n s générales des é q u a t i o n s f o n d a m e n t a l e s des c h a m p s e n v u e de leurs utilisations dans la t h é o r i e de la cohérence q u i f a i t l ' o b j e t d e la d e u x i è m e p a r t i e .

2. E X P R E S S I O N S D E S C H A M P S R A Y O N N E S

2.1 Les identités de G r e e n et leurs analogues

C o n s i d é r o n s u n v o l u m e V fini,limité par une surface régulière f e r m é e S d o n t est le v e c t e u r unitaire d e sa n o r m a l e e x t é r i e u r e .

Soient U j U . e t ï T , ! } r e s p e c t i v e m e n t des couples de f o n c t i o n s scalaires et vectorielles d é f i n i e s et c o n t i n u e s d a n s - ^ e t sur S d e m ê m e q u e leurs dérivées p r e m i è r e s et s e c o n d e s :

2 . 1 1 P r e m i è r e i d e n t i t é de Green

(6a)

V

grad Uj. grad U. dv + U . A U . d V =

1 J (U. . grad U y . n d S

E n e f f e t , p a r le t h é o r è m e d ' O s t r o g r a d s k y appliqué au v e c t e u r Uj. grad Uj d a n s V

div (U.grad U. ) d V = (U. . grad U.) . n d S

o r

div (Uj grad ) = grad U j . g r a d + Uj A Uj o ù A est le L a p l a c i e n . Il en est de m ê m e p o u r U j ; p r a t i q u e m e n t le résultat s ' o b t i e n t e n p e r m u t a n t les indices

(6b) grad Uj . grad q dV + l^A U j d V • ( U j grad Ui) . n d S

2 . 1 2 D e u x i è m e i d e n t i t é de G r e e n S o u s t r a y a n t (6b) de (6a),il vient :

(6c)

V

UjA Uj - UJ A Uj d v = [(Ui g r a d U j ) - ( U j grad U j ) ] . n d S

2 . 1 3 F o r m e s a n a l o g u e s

P r o c é d a n t c o m m e p o u r o b t e n i r (6a) avec le vecteur LÎ X r o t 0 ' , n o u s a v o n s

(7a) ( r o t U r o t ï f ' - ï T r o t r o t ï 7 ' ) d V = ("0' X r o t lT).ndS

V S

figure : 1

L ' a n a l o g u e de (6c) s ' o b t i e n t d e la m ê m e m a n i è r e

( 7 b ) ( U ' r o t r o t U - U rot r o t U') d V = ( U ' X r o t U - U X r o t U ' ) n d S V ' S I

2 . 2 F o r m u l e s de K i r c h o f f 2 . 2 1 F o r m u l e scalaire

U. et Uj satisfont à {4) d o n t est aussi solution la f o n c t i o n d ' o n d e : U . = ^ e - j ^

J r

T o u t e f o i s , c e t t e s o l u t i o n est singulière p o u r r = 0 ,c'est-à dire au p o i n t P (x, y , z ) d e V.

P o u r e x c l u r e ce p o i n t d u d o m a i n e V, entourons—le d ' u n e p e t i t e s p h è r e 2 d é c e n t r e P et d e r a y o n r , (fig. 1)

La valeur d e Uj en u n p o i n t P s ' o b t i e n t de (6c) c o m p t e t e n u d e (4) :

Puisque :

Alors sur l a s p h è r e . 2

9 U. a u ,

( U i - r - ^ - - U | - - L ) d S ' + o n J &n

S'

S = S' + 2 A U , = - k U,

( U i — U j — ^ ) d 2 OUI J a n

g r a d U i î = _ ^ U, = U, U

ôn ô n r = r j ' } 3

( 1 / r + j k ) a r p C t e

ru.(„. + jk, -^JlUji^=(l + j k ) [ u j j u , d ï -lUjljJ^di:

Le s e c o n d m e m b r e est : (1/r + j k ) [ U . ]j j. .47r rjO. - [U ] 47rrj

o ù n o u s utilisons le t h é o r è m e de la valeur principale p o u r évaluer c h a q u e intégrale.

Passant alors à la limite rj->-0 ,l'intégrale sur 2 se r é d u i t à 4 tt U p u i s q u e la valeur m o y e n n e " ' ^ ^ U ( P ); d ' o ù :

(8)

C e t t e f o r m u l e lie la valeur d e U- en un p o i n t de V i n t é r i e u r à la s u r f a c e f e r m é e S' a u x valeurs

d e U j e t dl^dn s u r S ' ^

2 . 2 2 F o r m u l e vectorielle

C o m p t e t e n u d e (3) et (4), la f o r m u l e vectorielle d e K i r c h o f f s ' o b t i e n t p a r la s u p e r p o s i t i o n

vectorielle des 3 f o r m u l e s scalaires (8) :

1 0

(9a)

2 . 2 3 A u t r e f o r m e

0 et îT' é t a n t s o l u t i o n d e (3),posons : 0 - it * o ù â est u n v e c t e u r f i x e , a r b i t r a i r e mais n o n nul ; d è s lors

r o t U ' = g r a d * X a e t r o t r o t 0 ' = - A O + g r a d d i v 0 ' = k * ^ + g r a d ( d i v â 4 ' ]

et (7b) s ' é c r i t , c o m p t e t e n u de (4) et de ce q u e : r o t r o t U = - A 0 ( d i v 0 = O )

V

0 . g r a d - [ d i v ( â * ) ] d V = [ [ * . â X r o t U - U X ( g r a d * X a ) . n d S

or :

c o m m e :

d i v ( a * ) = a . g r a d * et 0 . g r a d ( â . g r a d * ) = div[ ( a . g r a d * ) 0 ] - ( â . g r a d * ) d i v U

U X ( g r a d * X a) = ( a . U ) g r a d 4 ' - ( Û ! g r a d * ) â et a X r o t U . n = - a ( n X r o t U )

en s i m p l i f i a n t par a arbitraire et n o n h a ï , il vient

d i v U . g r a d ^ ' d V = [ - ( 0 . n ) g r a d * - U ( n . g r a d * ) + ( 0 . g r a d > I ' ) n + (n X r o t 0 ) ^ 1 d S V ^S'

Le p r e m i e r m e m b r e est nul p u i s q u e le c h a m p est é l e c t r o m a g n é t i q u e : div U = G .Alors e n c o n - sidérant u n e s u r f a c e : S = S ' + 2 o ù S est l'alvéole à e x t r a i r e p o u r débarasser-:

* = l / r . e ' j * " ^

de sa singularité e n r = 0 et en p r o c é d a n t c o m m e en 2.21,il vient :

( 9 b ) [ ( U . n ) g r a d * + (iî.grad>I')U - (U.grad>I')h + ( f t X r o t U ) ] d S _^ Le c h o i x d e U = â . ^ aurait f o u r n i u n e f o r m e a n a l o g u e d é d u c t i b l e d e ( 9 b ) e n r e m p l a ç a n t

U par 0

2.3 C o n d i t i o n s d e r a y o n n e m e n t à l'infini d e S o m m e r f e l d

C o n s i d é r o n s q u e la surface S' est limitée i n t é r i e u r e m e n t p a r S et e x t é r i e u r e m e n t p a r la s p h è - re S„ d e r a y o n R g r a n d . _

Le v o l u m e V d e v i e n t alors indéfini;dans ce cas : * = 1/R . e

Sur la s u r f a c e de la s p h è r e l / r ) 4 ' . C o m m e d ' a u t r e p a r t 0 et 0 r e p r é s e n t e n t les

c h a m p s é l e c t r i q u e e t m a g o é t i q u e ^ e s é q u a t i o n s (1) h o m o g è n e s il résulte q u e :

r o t U = K j U ' r o t U ' = K j U avec KjK^ = k

Sur la Sphère S„ , il vient : ( p o u r 47:0*)

[-(jk + V R ) * " 0 + K , ( n X Î l ' ) * ] d S =^ l [ K , ( n X " 0 ' ) - j k U ) ] - ' î ' J d S R Ces intégrales s ' a n n u l e n t p o u r :

(10) R 10| < A R I î?| < A ' A et A ' s o n t des b o r n e s finies p o u r R- «>

lim R [ K i (nX U') - j k U ] = 0 lim R[ICj (nX U) - j k U ' ] = 0

la 2 è m e e x p r e s s i o n s ' o b t i e n t en p e r m u t a n t îT et î7' e n t e n a n t c o m p t e d e la valeur d u r o t a t i o n n e l ; Les f o r m u l e s ( 1 0 ) c o n s t i t u e n t les c o n d i t i o n s d u r a y o n n e m e n t vers l ' i n f i n i d e S o m m e r f e l d ; la p r e m i è r e r e l a t i o n est d i t e c o n d i t i o n de régularité à l'infîYii.

Cas d u c h a m p é l e c t r o m a g n é t i q u e : les f o r m e s explicites d e E et H se d é d u i s e n t d e ce q u i p r é c è d e m o y e n n a n t les s u b s t i t u t i o n s :

È = 0 ' et

alors q u e et s ' o b t i e n n e n t des é q u a t i o n s (1) h o m o g è n e s .

3. P O L A R I S A T I O N D ' U N E O N D E E L E C T R O M A G N E T I Q U E M O N O C H R O M A T I Q U E 3.1 D é f i n i t i o n :Le c h a m p d ' u n e telle o n d e est f o n c t i o n p é r i o d i q u e simple d u t e m p s . Il résulte d e (5) q u e l ' a m p l i t u d e et la phase de l ' o n d e s o n t i n d é p e n d a n t e s d u t e m p s .

N o u s n o u s i n t é r e s s o n s ici au c h a m p électrique "Ë, m a i s les c o n c l u s i o n s a u x q u e l l e s n o u s a l l o n s a b o u t i r s o n t valables é g a l e m e n t p o u r le c h a m p m a g n é t i q u e ï\. .

3.2 L'ellipse d e p o l a r i s a t i o n

S . 2 1 T r a j e c t o i r e d e l ' e x t r é m i t é de E

C o n s i d é r a n t le c h a m p Ê e n u n p o i n t P et d e (5) i n t r o d u i s a n t les 2 v e c t e u r s réels : p . de c o m p o s a n t e s A. coS(^.

q. d e c o m p o s a n t e s A. sin i^.

la r e p r é s e n t a t i o n d e l ' o n d e m o n o c h r o m a t i q u e s'écrit :

(11) ê = E . e j ' " ' = (p + j q ) . e

et ë est d a n s le p l a n p , q .

Sur 2 axes r e c t a n g u l a i r e s O x et O y dé ce plan, les p r o j e c t i o n s d e e s'écrivent :

(12) ^ A . e J e ^ t + '^i) A . e

y

j ( u ; t +

d o n t les p a r t i e s réelles sont :

(13) E x = Axcos ( c j t I c y = Aycos ( w t + )

et c o n s t i t u e n t les c o m p o s a n t e s d u c h a m p électrique p h y s i q u e . E l i m i n a n t le t e m p s e n t r e ces expressions, n o u s o b t e n o n s

(14) A?È^x+ Ac^E^- 2 A x A y E x E y C o s i ^ = A^A^sin^i^ avec

Le d é t e r m i n a n t associé est positif o u nul et la c o n i q u e d ' é q u a t i o n ( 1 4 ) est u n e ellipse. Le c h a m p réel d o n t l ' e x t r é m i t é décrit u n e ellipse dans le plan p , q est dit c o m p l è t e m e n t polarisé.

Sens de la p o l a r i s a t i o n

Par c o n v e n t i o n , la polarisation est à d r o i t e ou à g a u c h e si u n o b s e r v a t e u r r e g a r d a n t la s o u r c e d e l ' o n d e é l e c t r o m a g n é t i q u e dans la d i r e c t i o n de p r o p a g a t i o n d e l ' o n d e voit a u c o u r s d u t e m p s le c h a m p E se d é p l a c e r sur l'ellipse à d r o i t e o u à gauche,—figure 2—

3 . 2 2 Polarisations particulières : (fig-3 ) a) Circulaire :

l'ellipse de p o l a r i s a t i o n dégénère en u n e c i r c o n f é r e n c e si A^ = Ay , = ±rr/2 , avec +

©u — selon le sens-de la polarisation.

D e la r e p r é s e n t a t i o n c o m p l e x e des c o m p o s a n t e s d u c h a m p , la p o l a r i s a t i o n circulaire est c a r a c t é r i - sée par l ' e x p r e s s i o n :

(15) + o u — distingant la p o l a r i s a t i o n à d r o i t e et à g a u c h e .

b) linéaire :

L ' é q u a t i o n (1^ se réduit à l ' é q u a t i o n d ' u n e d r o i t e si i ^ = k 7 r ( k = ± l , ± 2

(16) 4 : : = ( - 1 ) ' ^

La polarisation est h o r i z o n t a l e si la c o m p o s a n t e selon O x existe, celle d a n s la d i r e c t i o n O y é t a n t nulle : alors A^ 0 et Ay = 0. De m ê m e la p o l a r i s a t i o n verticale e n t r a î n e Ay 0, A ^ = 0

3 . 2 3 Eqoati&nrde l'ellipse r a p p o r t é e à ses a x e s

S o i e n t O X et O Y les axes de l'ellipse et \p l'angle O x , O X . A p p e l o n s a et b les d e m i - a x e s d e l'ellipse (a > b ) et b/a = r leur r a p p o r t .

Les é q u a t i o n s p a r a m é t r i q u e s de l'ellipse s'écrivent :

(17) E ^ = a cos ( w t - 0 ) E = ± ar sin ( c j t — 0 )

y ^ ' {6 p a r a m è t r e )

O n d e s polarisées à d r o i t e et à g a u c h e Valeurs c a r a c t é r i s t i q u e s d u d é p h a s a g e relatif ^

Figure 3

D ' a u t r e p a r t , u n e r o t a t i o n d e s a x e s a u t o u r d ' u n angle ^ d e O z (fig. 3) s ' e x p r i m e p a r :

cos <// sini^

-sini^ cos\p E ( 1 8 )

E ' X

et les puissances s e l o n x et y s o n t : A x + A?,= a^(l + r^) (1'

L ' i n c l i n a i s o n de l'ellipse p a r r a p p o r t à O x est le plan d e p o l a r i s a t i o n d o n n é p a r

(20) tg 2(^ = 2 ^ ^ cos ^ Ax A'^

L.'ellipticité o u r a p p o r t d e s a x e s s ' o b t i e n t par :

(21) sin 2 ( a r c t g r) = sin 2 [arctg —^ .sin tp

^1

3 . 3 R e p r é s e n t a t i o n d e s é t a t s d e p o l a r i s a t i o n

P o u r l ' o n d e m o n o c h r o m a t i q u e , il s'agit de r e p r é s e n t e r les d i f f é r e n t e s f o r m e s d e s c o u r b e s d e p o l a r i s a t i o n possibles.

3 . 3 1 D é c o m p o s i t i o n :

l ' o n d e p o l a r i s é e e l l i p t i q u e m e n t est d é c o m p o s a b l e e n 2 o n d e s partielles p o l a r i s é e s cir- c u l a i r e m e n t .

S o i e n t îT e t v 2 v e c t e u r s u n i t a i r e s d e 2 axes r e c t a n g u l a i r e s O x e t O y ; l ' o n d e p l a n e ( 1 1 ) s ' e x p r i m e p a r :

(22) r c î T - , îT + i v icot e = [Ep ^ - l - + j J — E j . e J

o u n o u s a v o n s p o s e :

= A . , e M + i A , e> 2

2 ^ 2

Le p r e m i e r t e r m e d e e est la r e p r é s e n t a t i o n vectorielle d ' u n e o n d e p o l a r i s é e c i r c u l a i r e m e n t à d r o i t e , alors q u e le s e c o n d est l ' e x p r e s s i o n d ' u n e o n d e à p o l a r i s a t i o n c i r c u l a i r e à g a u c h e ; o n p e u t s ' e n assurer par ( 1 5 ) .

D i a g r a m m e s d e r e p r é s e n t a t i o n :

p o s o n s :

i

soit :

14

p = p e o u et

n o u s o b t e n o n s les relations e n t r e p et q

(23a)

1 + p ( 2 3 b ) 1 + g

Par r a p p o r t au plan de polarisation et à l'ellipticité ces e x p r e s s i o n s s ' é c r i v e n t

( 2 4 a j p ^zL±j3t

I - jrtgi// ( 2 4 b ) 1 + r

1 - r

La similitude des f o r m u l e s (23a) et ( 2 3 b ) avec celles liant l ' i m p é d a n c e r é d u i t e d ' u n e c h a r g e a u c o e f f i c i e n t d e r é f l e x i o n d ' u n e part et au t a u x d ' o n d e s t a t i o n n a i r e d ' a u t r e p a r t , suggère la r e p r é - s e n t a t i o n des polarisations sur les d i a g r a m m e s d u Cercle et de S m i t h .

1) D i a g r a m m e d u cercle : (fig. 4a)

Les p o i n t s situés sur la p a r t i e d r o i t e d u plan c o m p l e x e r e p r é s e n t e n t les d i f f é r e n t s é t a t s d e p o l a r i s a t i o n à d r o i t e .

D e (23) n o u s p o u v o n s d é d u i r e q u e :

— la polarisation circulaire est r e p r é s e n t é e p a r les p o i n t s + 1 .

— la polarisation linéaire c o r r e s p o n d a u x p o i n t s d e l ' a x e imaginaire.

D ' a u t r e p a r t , d e (24) :

— Les ellipses d'angle d'inclinaison i// = c o n s t a n t e s o n t des cercles p a s s a n t par ± 1.

— Celles d'ellipticité c o n s t a n t e ( r = C t e ) s o n t des cercles o r t h o g o n a u x a u x p r é c é d e n t s .

C e p e n d a n t , à c e t t e r e p r é s e n t a t i o n , l'utilisateur p r é f è r e celle o b t e n u d a n s le plan q.

2) D i a g r a m m e de Smith : (fig.4b)

Utilisant la t r a n s f o r m a t i o n c o n f o r m e ( 2 3 ) , nous p o s o n s : q = m + j n , d ' o ù

m = 1

_ J -h-2p-co5i/) + p2 n = 2 p sin i + 2p CDsv» + (P-

Par é l i m i n a t i o n de p o u n o u s o b t e n o n s les c o u r b e s suivantes :

— Le lieu g é o m é t r i q u e d e s points d u plan ( m , n ) tels q u e p s o n t les c i r c o n f é r e n c e s c e n t r é e s sur m et d e r a y o n :

* 1/2 R =[(1 + P V 1 - P ^ ) - i 1

c o n s t a n t e

soit.

15

+ [m - - - ^ J L Y = [it—^^^- 1 ]

— Les p o i n t s d u plan ( m , n ) tels q u e ^ = c o n s t a n t e se s i t u e n t sur des cir- c o n f é r e n c e s c e n t r é e s sur n et de r a y o n :

soit,

R = (1 + c o t g ^ ) ^1/2

m2 + [n - cotgi^ [1 + cotgv?]

— Les p o i n t s d u plan ( m , n ) tels q u e = c o n s t a n t e se s i t u e n t sur des cir- c o n f é r e n c e s c e n t r é e s sur n et d e r a y o n ;

R = ( l -I- c o t g ^ )f et d ' é q u a t i o n :

+ [n - c o t g i ^ ] ^ = [1 + c o t g ^ ]

d é d u c t i b l e d e la p r é c é d e n t e en n o t a n t q u e :

( 1 + p 2 / l - p2j = (^l -t- wCOtg^)l\i

R e m a r q u o n s q u e n o u s avons posé : = i^^- tp^+nJ2

le d é p h a s a g e réel errtre les-£caûposantes est o; = i^j —v'x e t c e lieu est

n? + (n + t g a ) ^ = 1 + t g ^ a

A partir d e ( 2 4 ) , il est facile d ' é t a b l i r :

— q u e le lieu des ellipses à ellipticité c o n s t a n t e (r = c t e ) s o n t les c i r c o n f é r e n c e s

m2 + rfi = [ i - i - I ] ' 1 — r

— q u e celui des ellipses de m ê m e inclinaison s o n t les d r o i t e s d ' é q u a t i o n s

n — m . tg 2 i//

4. L ' O N D E E L E C T R O M A G N E T I Q U E N O N H A R M O N I Q U E

4 . 1 S p e c t r e généralisé de F o u r i e r :

T h é o r è m e : T o u t e f o n c t i o n f(t) de la variable réelle t satisfaisant a u x c o n d i t i o n s de Dirichlet, c'est-à-dire q u e :

— elle est d é f i n i e p o u r t

— ses p o i n t s d e d i s c o n t i n u i t é s et ses e x t r é m u m s s o n t d é n o m b r a b l e s

— son intégrale est a b s o l u m e n t c o n v e r g e n t e , soit q u e : I f(t)| dt existe

p o s s è d e alors u n e t r a n s f o r m é e d e F o u r i e r et c e t t e r e p r é s e n t a t i o n a u n sens : 4

25a) ' " ( t ) e-j'"^ dt

•oo

2

Si à s o n t o u r g ( f ) est intégrable ( GL ), la t r a n s f o r m é e inverse d e F o u r i e r est

(25b)

+ 00 f(t) = g(j') e-^ av

oo

l^ïtif f fixé, f(t) n ' e s t a u t r e q u e l ' e x p r e s s i o n d ' u n e o n d e m o n o c h r o m a t i q u e .

D é c e t t e r e m a r q u e , (25 a) est la r e p r é s e n t a t i o n en amplitudes des c o m p o s a n t e s m o n o c h r o m a t i q u e s d u s p e c - tre d u signal. ( 2 5 b) t r a d u i t q u ' u n e o n d e é l e c t r o m a g n é t i q u e n o n h a r m o n i q u e est la s u p e r p o s i t i o n

d ' o n d e s m o n o c h r o m a t i q u e s d e d i f f é r e n t e s f r é q u e n c e s . 4 . 2 A m p l i t u d e c o m p l e x e i n s t a n t a n é e :

m e t t o n s e n é v i d e n c e la f r é q u e n c e m o y e n n e ïi a u t o u r d e laquelle se r é p a r t i s s e n t les f r é q u e n c e s ; n o u s avons d e ( 2 5 b) : -

«M

f(t) = j ( c j - c o ) t J C J t j l{v) e-* er d j

E n v e r t u d u t h é o r è m e de la valeur principale appliqué a u x intégrales généralisées

•f(t) = è _g( , j ( u ) - c j ) t , v) e^ ' dp

p o s o n s

(26)

+OQ

A ( t ) = , > j ( c o - c j ) t , g(f ) ^ d*' j OO

A ( t ) est l ' a m p l i t u d e c o m p l e x e i n s t a n t a n é e d u signal. N o t o n s q u e s o n e x p r e s s i o n ne c o n t i e n t q u e d e s

f r é q u e n c e s basses (par r a p p o r t à J>).