Lien avec la théorie des ensembles
Notation
La proposition “x ∈ X ” se lit “x est un élément de X ”, “x appartient à X ” ou “x est dans X ”.
L’ensemble vide ∅ est l’ensemble n’ayant aucun élément.
Remarque
Valeur vérité de “∀x ∈ ∅, P (x )” et “ ∃x ∈ ∅, P (x )”.
Lien avec la théorie des ensembles
Définition
Soit A et B deux ensembles.
I Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément de B.
I Egalité : A et B sont égaux, noté A = B, s’ils ont les mêmes éléments.
I Complémentaire : le complémentaire de A dans B est
l’ensemble noté B \ A composé des éléments de B qui ne sont pas dans A.
I Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A ∩ B composé des éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
I Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A ∪ B
composé des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B,
soit aux deux simultanément.
Lien avec la théorie des ensembles
Définition
Soit A et B deux ensembles.
I Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément de B.
I Egalité : A et B sont égaux, noté A = B, s’ils ont les mêmes éléments.
I Complémentaire : le complémentaire de A dans B est
l’ensemble noté B \ A composé des éléments de B qui ne sont pas dans A.
I Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A ∩ B composé des éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
I Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A ∪ B
composé des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B,
soit aux deux simultanément.
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Définition
Soit A et B deux ensembles.
I Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément de B.
I Egalité : A et B sont égaux, noté A = B, s’ils ont les mêmes éléments.
I Complémentaire : le complémentaire de A dans B est
l’ensemble noté B \ A composé des éléments de B qui ne sont pas dans A.
I Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A ∩ B composé des éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
I Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A ∪ B
composé des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B,
soit aux deux simultanément.
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Définition
Soit A et B deux ensembles.
I Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément de B.
I Egalité : A et B sont égaux, noté A = B, s’ils ont les mêmes éléments.
I Complémentaire : le complémentaire de A dans B est
l’ensemble noté B \ A composé des éléments de B qui ne sont pas dans A.
I Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A ∩ B composé des éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
I Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A ∪ B
composé des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B,
soit aux deux simultanément.
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Définition
Soit A et B deux ensembles.
I Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément de B.
I Egalité : A et B sont égaux, noté A = B, s’ils ont les mêmes éléments.
I Complémentaire : le complémentaire de A dans B est
l’ensemble noté B \ A composé des éléments de B qui ne sont pas dans A.
I Intersection : l’intersection de A et B est l’ensemble noté A ∩ B composé des éléments qui appartiennent à la fois à A et B.
I Réunion : la réunion de A et B est l’ensemble noté A ∪ B
composé des éléments qui appartiennent soit à A, soit à B,
soit aux deux simultanément.
Lien avec la théorie des ensembles
Notation
La notation “A ⊂ B” se lit aussi “A est une partie de B”. La notation “A ∩ B” se lit “A inter B”, et la notation “A ∪ B” se lit “A union B”.
Notation
La notation “B \ A” se lit aussi “B moins A”, et est parfois notée { B (A), voire A si A ⊂ B et qu’on n’éprouve pas la nécéssité de préciser B.
Exemple
On considère les ensembles A = [−1, 2[ et B = [0, 3]. A-t-on
A ⊂ B ou B ⊂ A ? Expliciter A ∩ B et A ∪ B, A \ B et B \ A.
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Notation
La notation “A ⊂ B” se lit aussi “A est une partie de B”. La notation “A ∩ B” se lit “A inter B”, et la notation “A ∪ B” se lit “A union B”.
Notation
La notation “B \ A” se lit aussi “B moins A”, et est parfois notée { B (A), voire A si A ⊂ B et qu’on n’éprouve pas la nécéssité de préciser B.
Exemple
On considère les ensembles A = [−1, 2[ et B = [0, 3]. A-t-on
A ⊂ B ou B ⊂ A ? Expliciter A ∩ B et A ∪ B, A \ B et B \ A.
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Notation
La notation “A ⊂ B” se lit aussi “A est une partie de B”. La notation “A ∩ B” se lit “A inter B”, et la notation “A ∪ B” se lit “A union B”.
Notation
La notation “B \ A” se lit aussi “B moins A”, et est parfois notée { B (A), voire A si A ⊂ B et qu’on n’éprouve pas la nécéssité de préciser B.
Exemple
On considère les ensembles A = [−1, 2[ et B = [0, 3]. A-t-on
A ⊂ B ou B ⊂ A ? Expliciter A ∩ B et A ∪ B, A \ B et B \ A.
Lien avec la théorie des ensembles
Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
I A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,
I A = B ≡ (A ⊂ B ) et (B ⊂ A),
I A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B),
I A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B),
I x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ / B)
I x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B)
I x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B) Remarque
Dans le domaine des probabilités, “ A ∩ B” se lit “ A et B” et
“ A ∪ B” se lit “ A ou B”
Lien avec la théorie des ensembles
Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
I A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,
I A = B ≡ (A ⊂ B) et (B ⊂ A),
I A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B),
I A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B),
I x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ / B)
I x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B)
I x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B) Remarque
Dans le domaine des probabilités, “ A ∩ B” se lit “ A et B” et
“ A ∪ B” se lit “ A ou B”
Lien avec la théorie des ensembles
Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
I A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,
I A = B ≡ (A ⊂ B) et (B ⊂ A),
I A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B),
I A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B),
I x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ / B)
I x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B)
I x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B) Remarque
Dans le domaine des probabilités, “ A ∩ B” se lit “ A et B” et
“ A ∪ B” se lit “ A ou B”
Lien avec la théorie des ensembles
Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
I A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,
I A = B ≡ (A ⊂ B) et (B ⊂ A),
I A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B),
I A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B),
I x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ / B)
I x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B)
I x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B) Remarque
Dans le domaine des probabilités, “ A ∩ B” se lit “ A et B” et
“ A ∪ B” se lit “ A ou B”
Lien avec la théorie des ensembles
Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
I A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,
I A = B ≡ (A ⊂ B) et (B ⊂ A),
I A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B),
I A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B),
I x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ / B)
I x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B)
I x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B) Remarque
Dans le domaine des probabilités, “ A ∩ B” se lit “ A et B” et
“ A ∪ B” se lit “ A ou B”
Lien avec la théorie des ensembles
Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
I A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,
I A = B ≡ (A ⊂ B) et (B ⊂ A),
I A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B),
I A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B),
I x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ / B)
I x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B)
I x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B) Remarque
Dans le domaine des probabilités, “ A ∩ B” se lit “ A et B” et
“ A ∪ B” se lit “ A ou B”
Lien avec la théorie des ensembles
Soit A et B deux ensembles, alors on a les équivalences logiques :
I A ⊂ B ≡ ∀a ∈ A, a ∈ B,
I A = B ≡ (A ⊂ B) et (B ⊂ A),
I A ⊂ B ≡ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B),
I A = B ≡ (x ∈ A) ⇔ (x ∈ B),
I x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ / B)
I x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) et (x ∈ B)
I x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ou (x ∈ B) Remarque
Dans le domaine des probabilités, “ A ∩ B” se lit “ A et B” et
“ A ∪ B” se lit “ A ou B”
Lien avec la théorie des ensembles
Définition
Soit E un ensemble, l’ensemble des parties de E, noté P (E ), est l’ensemble de tous les ensembles inclus dans E .
Exemple
On donnera l’ensemble des parties de l’ensemble vide, de l’ensemble
{0, 1, 2}, et une idée du cardinal de cet ensemble lorsque E est fini.
Lien avec la théorie des ensembles
Définition
Soit E un ensemble, l’ensemble des parties de E, noté P (E ), est l’ensemble de tous les ensembles inclus dans E .
Exemple
On donnera l’ensemble des parties de l’ensemble vide, de l’ensemble
{0, 1, 2}, et une idée du cardinal de cet ensemble lorsque E est fini.
Lien avec la théorie des ensembles
Définition
Soit E et I deux ensembles un ensemble, et {A i } i ∈I un sous-ensemble de P(E). On peut définir la réunion [
i∈I
A i et l’intersection \
i∈I
A i de la manière suivante :
x ∈ [
i∈I
A i ⇔ ∃i ∈ I , x ∈ A i
x ∈ \
i∈I
A i ⇔ ∀i ∈ I , x ∈ A i
Exemple
Décrire [
n∈ N
[n, n + 1[ et \
n∈ N
0, 1
n
.
Lien avec la théorie des ensembles
Définition
Soit E et I deux ensembles un ensemble, et {A i } i ∈I un sous-ensemble de P(E). On peut définir la réunion [
i∈I
A i et l’intersection \
i∈I
A i de la manière suivante :
x ∈ [
i∈I
A i ⇔ ∃i ∈ I , x ∈ A i
x ∈ \
i∈I
A i ⇔ ∀i ∈ I , x ∈ A i
Exemple
Décrire [
n∈ N
[n, n + 1[ et \
n∈ N
0, 1
n
.
Relations
Définition
Le produit cartésien E × F est l’ensemble formé par tous les couples de la forme (e , f ) où e ∈ E et f ∈ F .
Exemple
L’ensemble R × R , aussi noté R 2 est l’ensemble
R × R = {(x , y ) : x , y ∈ R }
qui est une représentation du plan... cartésien !
Relations
Définition
Le produit cartésien E × F est l’ensemble formé par tous les couples de la forme (e , f ) où e ∈ E et f ∈ F .
Exemple
L’ensemble R × R , aussi noté R 2 est l’ensemble
R × R = {(x , y ) : x , y ∈ R }
qui est une représentation du plan... cartésien !
Relations
Définition
Une relation R de E vers F est donnée par son graphe G qui est une partie de E × F . On dit alors que e est en relation avec f , qu’on note eRf , si et seulement si (e, f ) ∈ G :
eRf ⇔ (e, f ) ∈ G
Quand F = E , on parle de relation sur E .
Exemple
On représente le graphe de la relation ≤ sur l’ensemble E ={0,1,2}.
Définition
Une fonction ϕ : E → F est une relation de E vers F qui a la
propriété que tout élément e ∈ E est en relation avec au plus un
élément f ∈ F par ϕ.
Relations
Définition
Une relation R de E vers F est donnée par son graphe G qui est une partie de E × F . On dit alors que e est en relation avec f , qu’on note eRf , si et seulement si (e, f ) ∈ G :
eRf ⇔ (e, f ) ∈ G
Quand F = E , on parle de relation sur E .
Exemple
On représente le graphe de la relation ≤ sur l’ensemble E ={0,1,2}.
Définition
Une fonction ϕ : E → F est une relation de E vers F qui a la
propriété que tout élément e ∈ E est en relation avec au plus un
élément f ∈ F par ϕ.
Relations
Définition
Une relation R de E vers F est donnée par son graphe G qui est une partie de E × F . On dit alors que e est en relation avec f , qu’on note eRf , si et seulement si (e, f ) ∈ G :
eRf ⇔ (e, f ) ∈ G
Quand F = E , on parle de relation sur E .
Exemple
On représente le graphe de la relation ≤ sur l’ensemble E ={0,1,2}.
Définition
Une fonction ϕ : E → F est une relation de E vers F qui a la
propriété que tout élément e ∈ E est en relation avec au plus un
élément f ∈ F par ϕ.
Relations d’ordre
Définition
Une relation d’ordre R sur E est une relation qu’on note souvent ≤ (ou ≥) et qui vérifie les trois propriétés :
I réfléxivité : ∀e ∈ E , e ≤ e
I antisymétrie :
∀e ∈ E, ∀f ∈ E , ((e ≤ f ) ET (f ≤ e ) ⇒ e = f
I transitivité :
∀e ∈ E, ∀f ∈ E , ∀g ∈ E , ((e ≤ f ) ET (f ≤ g) ⇒ (e ≤ g )
Exemple
L’ordre usuel ≤ sur R est une relation d’ordre.
L’ordre alphabétique est un ordre sur les mots.
Relations d’ordre
Définition
Une relation d’ordre R sur E est une relation qu’on note souvent ≤ (ou ≥) et qui vérifie les trois propriétés :
I réfléxivité : ∀e ∈ E , e ≤ e
I antisymétrie :
∀e ∈ E, ∀f ∈ E , ((e ≤ f ) ET (f ≤ e ) ⇒ e = f
I transitivité :
∀e ∈ E, ∀f ∈ E , ∀g ∈ E , ((e ≤ f ) ET (f ≤ g) ⇒ (e ≤ g )
Exemple
L’ordre usuel ≤ sur R est une relation d’ordre.
L’ordre alphabétique est un ordre sur les mots.
Relations d’ordre
Définition
Soit F ⊂ E un sous-ensemble non vide. Un élément e de E est un
I un minorant de F si : ∀f ∈ F , e ≤ f ,
I un majorant de F si : ∀f ∈ F , e ≥ f .
Si E = F , on note min{E } le minorant de E et max{E} le majorant de E quand ils existent.
Définition
Soit F ⊂ R un sous-ensemble non vide. Un élément e de E est un
I On appelle infimum de F le plus grand minorant de F (par convention −∞ si F n’a pas de minorant). Il est noté inf {F }.
I On appelle suprémum de F le plus petit majorant de F (par
convention +∞ si F n’a pas de majorant). Il est noté sup{F }.
Relations d’ordre
Définition
Soit F ⊂ E un sous-ensemble non vide. Un élément e de E est un
I un minorant de F si : ∀f ∈ F , e ≤ f ,
I un majorant de F si : ∀f ∈ F , e ≥ f .
Si E = F , on note min{E } le minorant de E et max{E} le majorant de E quand ils existent.
Définition
Soit F ⊂ R un sous-ensemble non vide. Un élément e de E est un
I On appelle infimum de F le plus grand minorant de F (par convention −∞ si F n’a pas de minorant). Il est noté inf {F }.
I On appelle suprémum de F le plus petit majorant de F (par
convention +∞ si F n’a pas de majorant). Il est noté sup{F }.
Fonctions numériques
Définition (Fonction numérique)
Une fonction numérique f est une fonction de R dans R .
C’est donc un procédé qui à tout nombre réel x d’un sous-ensemble D f de R associe un unique nombre réel noté f (x ). On écrit alors :
f : D f → R x 7→ f (x )
L’ensemble D f est appelé ensemble de définition de f .
Remarque
I Une fonction est donc la donnée à la fois du procédé qui permet de calculer sa valeur mais aussi de l’ensemble de définition D f .
I Ne pas confondre la fonction f et le nombre réel f (x ).
Fonctions numériques
Définition (Fonction numérique)
Une fonction numérique f est une fonction de R dans R .
C’est donc un procédé qui à tout nombre réel x d’un sous-ensemble D f de R associe un unique nombre réel noté f (x ). On écrit alors :
f : D f → R x 7→ f (x )
L’ensemble D f est appelé ensemble de définition de f .
Remarque
I Une fonction est donc la donnée à la fois du procédé qui permet de calculer sa valeur mais aussi de l’ensemble de définition D f .
I Ne pas confondre la fonction f et le nombre réel f (x ).
Exemple
I Pour deux nombres réels a et b fixés, on peut définir la fonction affine f : x 7→ a x + b sur D f = R .
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | est définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) est définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 est définie sur
D f = R ∗ = R \ {0}.
Exemple
I Pour deux nombres réels a et b fixés, on peut définir la fonction affine f : x 7→ a x + b sur D f = R .
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | est définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) est définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 est définie sur
D f = R ∗ = R \ {0}.
Exemple
I Pour deux nombres réels a et b fixés, on peut définir la fonction affine f : x 7→ a x + b sur D f = R .
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | est définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) est définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 est définie sur
D f = R ∗ = R \ {0}.
Exemple
I Pour deux nombres réels a et b fixés, on peut définir la fonction affine f : x 7→ a x + b sur D f = R .
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | est définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) est définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 est définie sur
D f = R ∗ = R \ {0}.
Définition (Image et antécédent)
Soit f une fonction numérique définie sur l’ensemble D f . Si x est un élément de D f alors le nombre réel f (x ) est appelé image de x par f . L’ensemble
f (D f ) = {f (x) : x ∈ D f }
qui regroupe toutes les images par f des éléments x de D f est appelé ensemble image de f .
Soit y un nombre réel, on appelle antécédent de y par f tout réel
x de D f tel que f (x ) = y .
Définition (Image et antécédent)
Soit f une fonction numérique définie sur l’ensemble D f . Si x est un élément de D f alors le nombre réel f (x ) est appelé image de x par f . L’ensemble
f (D f ) = {f (x) : x ∈ D f }
qui regroupe toutes les images par f des éléments x de D f est appelé ensemble image de f .
Soit y un nombre réel, on appelle antécédent de y par f tout réel
x de D f tel que f (x ) = y .
Exercice
Donner les ensembles image des fonctions suivantes :
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 définie sur D f = R ∗ .
Remarque
Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs.. voire une infinité.
Exercice
Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque
précédente.
Exercice
Donner les ensembles image des fonctions suivantes :
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 définie sur D f = R ∗ .
Remarque
Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs.. voire une infinité.
Exercice
Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque
précédente.
Exercice
Donner les ensembles image des fonctions suivantes :
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 définie sur D f = R ∗ .
Remarque
Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs.. voire une infinité.
Exercice
Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque
précédente.
Exercice
Donner les ensembles image des fonctions suivantes :
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 définie sur D f = R ∗ .
Remarque
Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs.. voire une infinité.
Exercice
Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque
précédente.
Exercice
Donner les ensembles image des fonctions suivantes :
I La fonction valeur absolue | · | : x 7→ |x | définie sur D f = R .
I La fonction partie entière E : x 7→ E(x ) définie sur D E = R .
I La fonction inverse f : x 7→ x 1 définie sur D f = R ∗ .
Remarque
Un réel peut n’avoir aucun antécédent, peut en avoir un seul, ou plusieurs.. voire une infinité.
Exercice
Donner des exemples pour chacun des 4 cas de la remarque
précédente.
Définition (Restriction d’une fonction)
Soient f une fonction numérique définie sur D f . Soit A un
sous-ensemble de D f , on appelle restriction de f à A la fonction notée f |A définie sur D f
|A
