Examen de Distributions

Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS, 2<sup>`eme</sup> ann´ee Ann´ee universitaire 2013-2014

Examen de Distributions

Le 28 avril 2014

Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures.

Le sujet comporte deux pages.

Les documents, calculatrices et moyens de communication sont interdits.

Exercice 1. (Comp´etences de bases).

1. Soient k ∈ N et d ≥ 1. Soit Ω un ouvert de R^d. Donner la d´efinition d’une distribution d’ordre au plusk sur Ω.

2. D´efinir la distribution de Dirac en 0,δ₀∈ D⁰(R). Calculer sa d´eriv´ee dansD⁰(R).

3. Soit H la distribution de Heaviside, distribution associ´ee `a la fonction caract´eristique de ]0,+∞[. Calculer sa d´eriv´ee H⁰ dansD⁰(R).

4. Pour tout n ≥ 1, on consid`ere la distribution T_n = n δ1

n−δ₋1 n

. Montrer que la suite (Tn)_n≥1converge dansD⁰(R) et calculer sa limite dansD⁰(R).

5. Soit vp _x¹

la distribution valeur principale de ¹_x d´efinie par

∀ϕ∈C₀^∞(R),

vp 1

x

, ϕ

= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x) x dx.

Montrer quexvp _x¹

= 1 dansD⁰(R).

Exercice 2. (Comp´etences attendues).

Pourλ∈R,k≥1 un entier et ϕ∈C₀^∞(R), on pose

< Tλ,k, ϕ >=

Z ^π₂

−^π₂

cos(λx)

x^k ϕ(x)−

k−1

X

i=0

ϕ⁽ⁱ⁾(0)xⁱ i!

! dx 1. Montrer qu’il existe une fonctionψ∈C^∞(R) telle que

∀x∈R, ϕ(x)−

k−1

X

i=0

ϕ⁽ⁱ⁾(0)xⁱ

i! =x^kψ(x) et sup

x∈R

|ψ(x)| ≤sup

x∈K

|ϕ^(k)(x)|

o`uK est un compact tel que suppϕ⊂K.

2. En d´eduire queTλ,k est une distribution d’ordre au plusk surR. 3. Montrer que suppTλ,k⊂

−^π₂,^π₂ . 4. Montrer que suppT_λ,k=

−^π₂,^π₂ .

5. En utilisant la premi`ere question, montrer que pour k≥1 fix´e, (Tλ,k)_λ∈R tend vers 0 dans D⁰(R) lorsqueλtend vers +∞.

6. Pour k≥1 fix´e, calculer la limite de (Tλ,k)_λ∈RdansD⁰(R) lorsqueλtend vers 0.

1

Exercice 3. (Comp´etences attendues). On consid`ere la distribution de D⁰(R²) donn´ee par la fonction int´egrable :

∀(t, x)∈R², E(x, t) = ( ₁

2 si t− |x|>0 0 si t− |x| ≤0 . 1. Calculer (∂_tt² −∂_xx² )E dansD⁰(R²).

2. En d´eduire une solutionu∈ D⁰(R²) de l’´equation aux d´eriv´ees partielles :

∂_tt²u−∂_xx² u=f, o`uf ∈ D<sup>0</sup>(R<sup>2</sup>) est `a support compact.

3. Sif ∈C₀^∞(R²), que peut-on dire de plus deu?

Exercice 4. (Comp´etences avanc´ees)Soitd≥1. SoitV ∈C⁰(R^d,R) une fonction continue de R^d dansRtelle que : ∀x∈R^d, V(x)≥1. Soit u∈L²(R^d)∩C²(R^d), `a valeurs r´eelles et solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles dansR^d :

−∆u+V u= 0.

On se propose de montrer queuest identiquement nulle.

1. Montrer que

∀x∈R^d, ∆(u²)(x)≥2(u(x))².

2. On d´esigne parS^d−1 la sph`ere unit´e deR<sup>d</sup>. Soitω∈S<sup>d−1</sup> et soitϕ∈C<sup>1</sup>(R<sup>d</sup>). On consid`ere la fonction gd´efinie surI=]0,+∞[ parg(r) =ϕ(rω). Montrer que, pour toutr∈Ion a

g⁰(r) =∂ϕ

∂ν(rω) o`u _∂ν^∂ =Pd

i=1νi._∂x^∂

i d´esigne la d´eriv´ee normale ext´erieure `a B ={x∈R^d | |x| < r}. On rappelle que le vecteur normal unitaire sortant pour la boule B est donn´e en tout point x= (x1, . . . , xd)∈rS^d−1parν(x) = (^x_r¹, . . . ,^x_r^d).

3. Justifier que pour toutr >0, I(r) :=

Z

|x|<r

∆(u²)(x)dx= Z

|x|=r

∂(u²)

∂ν (x)dσ o`u dσd´esigne la mesure de surface sur la sph`ere de centre 0 et de rayonr.

4. On poseF(r) =r^d−1R

ω∈S^d−1u²(rω)dω.

(a) Montrer queF est d´erivable surI et calculerF⁰(r) pour toutr∈I.

(b) D´eduire des questions pr´ec´edentes que : ∀r >0, F⁰(r)≥r^d−1I(r)≥0.

(c) Justifier queR+∞

0 F(r)dr=||u||²_L2(

R^d)<+∞.

(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes que : ∀r >0, F(r) = 0. Conclure.

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