Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS
Ann´ee universitaire 2019-2020
MACS1 - MPI - Devoir sur table d’Analyse
Le 4 septembre 2019
Dur´ee de l’´epreuve : 1h30.
Le sujet comporte deux pages.
Les documents, calculatrices et moyens de communication sont interdits.
Exercice 1. (Comp´etences de bases).
1. Soit (un)n∈N une suite de r´eels croissante et major´ee. Montrer que (un)n∈N est convergente dansR.
2. Soitϕ : R→Rune fonction de classeC1 surR. Montrer que :
∀x∈R, ϕ(x) =ϕ(0) +x Z 1
0
ϕ0(xu)du.
3. Montrer que l’int´egrale impropre
Z +∞
0
ln(t) 1 +t2dt est convergente.
4. Soit (fn)n≥0 la suite de fonctions de [0,+∞[ dansRd´efinie par :
∀n≥0, ∀x∈[0,+∞[, fn(x) = e−nx 1 +n2.
(a) Montrer que la fonctionf : [0,+∞[→R, d´efinie pour toutx∈ [0,+∞[ parf(x) = P+∞
n=0fn(x), est bien d´efinie et continue sur [0,+∞[.
(b) Montrer quef est de classeC1 sur ]0,+∞[.
5. On consid`ere l’´equation diff´erentielle d´efinie sur Rpar (E) xy0+ 2y= x
1 +x2. On note (E0) l’´equation homog`ene associ´ee `a (E).
(a) Quels sont les points singuliers de (E) ?
(b) D´eterminer deux sous intervalles deRsur lesquels (E) peut ˆetre mise sous forme r´esolue.
(c) R´esoudre (E0) sur l’intervalle ]0,+∞[.
(d) En utilisant la m´ethode de la variation de la constante, d´eterminer une solution partic- uli`ere de (E) sur l’intervalle ]0,+∞[.
(e) En d´eduire l’ensemble des solutions de (E) d´efinies sur ]0,+∞[.
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Exercice 2. 1. Soitf : [1,+∞[→Rtelle qu’il existe un r´eel C >0 tel que, pour tout couple (s, u) de nombres r´eels avec s≥u≥1, on ait
|f(s)−f(u)| ≤ C u. Pour tout entiern≥1, on poseun=f(n2).
(a) D´emontrer que la s´erieP
n≥1(un+1−un) est absolument convergente.
(b) En d´eduire que la suite (un)n≥1est convergente. On noteraLsa limite (on ne demande pas de calculer L).
(c) D´emontrer quef(s)−−−−−→
s→+∞ L.
2. Soitg une fonction d´efinie et de classeC1sur [0,+∞[, telle que g0(x)−−−−−→
x→+∞ 0.
(a) D´emontrer queg0 est born´ee sur [0,+∞[.
(b) Soit (xn)n≥0une suite de r´eels strictement positifs telle quexn −−−−−→
n→+∞ +∞. D´emontrer, en citant avec soin le th´eor`eme utilis´e, que
Z 1
0
g0(txn)dt−−−−−→
n→+∞ 0.
(c) En d´eduire que g(xxn)
n −−−−−→
n→+∞ 0.
(d) En d´eduire que g(x)x −−−−−→
x→+∞ 0.
3. Soithune fonction d´efinie et de classeC1sur [0,+∞[. on suppose queh0 poss`ede une limite finie Len +∞. D´emontrer, en consid´erant la fonctionx7→h(x)−Lx, que h(x)x −−−−−→
x→+∞ L.
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