F E U I L L E
1 Révisions sur les suites BCPST 2 - Lycée F1
Le niveau de difficulté est indiqué par question :
Aucune étoile : application (quasi) directe du cours (ou d’un résultat précédent).
K: raisonnement ou calcul(s) assez rapide(s) (ou utilisant un résultat précédent) KK: raisonnement ou calcul élaboré à plusieurs étapes ou nécessitant de la re-
cherche.
KKK: raisonnement complet. Nécessite une très bonne aisance avec les différentes notions.
Exercice 1: – Calculer –
1. Étudier la monotonie de la suite(un)n∈N∗ telle que, pour toutn∈N∗,
a) un =
n
P
k=1
lnk ek2+1 b) un = n!
32n
c) un+1= (un−2)2+ 3 K d) un+1=nlnn−n. K
2. a) Pour les casa, b, dprécédents, obtenir grâce à Python le graphique des (n, un)pournallant de1à 30.
b) Les suites semblent-elles converger d’après ces graphiques ?
c) Conclure mathématiquement sur l’existence des limites et leur éventuelle valeur dans les casbet c.
3. a) Qu’en est-il de la convergence de la suite du casc? b) La suite du casdest-elle bornée ?
Exercice 2: – Raisonner – Calculer –
Déterminer, si elles existent, les limites des suites définies par :
1. un =cos(2n) n 2. un =2n
n
3. un =1 + (−2)n
n K
4. un = n+ 12n
n+ (−1)n+1
5. un= an−bn
an+bn (a, b >0) KK 6. un= e(−1)
n n2 −1 cos(√
ne−n)−1 KK 7. un=
1−cos 1n(lnn)21 KK 8.
Pn
k=0
(2k+1)
n
P
k=1
k
. K
Exercice 3: – Raisonner – Calculer –
Étudier les suites récurrentes d’ordre 2 suivantes définies par : 1. u0= 1, u1=−5 et ∀n>2 un+2= 2un+1+ 3un
2. u0= 1, u1= 2 et ∀n>2 4un+2+ 4un+1+un= 0 3. u0= 0, u1= 1 et ∀n>2 un+2= 2un+1−4un
4. u0= 0, u1= 1 + 4i et un+2= (3−2i)un+1−(5−5i)un. K (Ind : Les solutions de δ2=−15 + 8isont δ=±(1 + 4i).
5. u0= 1, u1= 3 et ∀n>2 un+2= 2un+1+ 3un+ 4 K Exercice 4: – Raisonner –Etudier la convergence des suites récurrentes suivantes :
1. u0∈Ret ∀n∈N un+1= (un−1)2+ 3 KK
2. u0∈[−1; 1]et ∀n∈N un+1=2−uun
n KK
Exercice 5: – Raisonner –
Soit(un)la suite définie paru0∈R∗+ et ∀n∈N un+1= 1 2
un+ a
un
, oùa >0 est un réel fixé.
1. Montrer que(un)est bien définie et que un >√
apour toutn∈N∗. K 2. Chercher les points fixes de la fonctionf définie parf(x) = 1
2
x+ a x
pour tout x >0.
3. – Mobiliser –En déduire la/les convergences éventuelle(s) de la suite(un).
KK
4. Application :Soient >0eta >0. Le but de cette question est de déterminer une méthode algorithmique pour obtenir une valeur approchée àprès de√
a sans bibliothèque spécifique.
a) Expliquer pourquoi le cas où 2 >an’est pas pertinent. Pour la suite, on considérera donc que 2< a.
b) Montrer que six>, on a|x−√
a|< ⇔ (x−)2< a <(x+)2. c) En déduire qu’il existeN ∈Ntel que, pour toutn>N,
|un−|2< a <(un+)2
et que ceci est une condition nécessaire et suffisante à dire que un est une valeur approchée de√
aàprès.
d) En utilisant les résultats de de l’exercice, en déduire un programme Py- thon permettant de trouver une valeur approchée à près de √
a sans utiliser aucune bibliothèque. (i.e. pas droit à la fonctionsqrt... !) 5. Autre approche : Chercher une autre solution plus directe (toujours sans bi-
bliothèque bien entendu) en s’inspirant de la méthode de la dichotomie.
KK
1 —Feuille 1: Révisions sur les suites—
Exercice 6: Constante d’Euler– Calculer – Cours –
1. Montrer que 1+uu 6ln(1 +u)6upour toutu >−1. K On note ∀n ∈ N∗ Hn = 1 + 12 +· · ·+ n1 =
n
P
k=1 1
k puis on pose ∀n ∈ N∗ un =Hn−ln(n)et vn=Hn−ln(n+ 1).
2. a) Montrer que (un) et (vn) sont adjacentes. K
b) En déduire qu’il existeγ∈]0,1[tel quel Hn−γ−ln(n) −−−−−→
n→+∞ 0 c) En déduire la limite et un équivalent de la suite(Hn).
3. Le but est maintenant de donner une valeur approchée deγ grâce à Python.
a) Sachant que les suites(un)est(vn)sont adjacentes et qu’elles encadrent γ, déterminer une condition suffisante sur un, vn et pour être certain queun ouvn soient des valeurs approchées àprès deγ.
b) En déduire un programme Python permettant de rendre un intervalle [α, β]tel que toutes les valeurs dans l’intervalle soient des valeurs appro- chées àprès deγ.
Exercice 7: – Calculer – Cours – On pose
un=
n
X
k=1
√1 k −2√
n et vn=
n
X
k=1
√1 k−2√
n+ 1
1. Montrer que les suites(un)et (vn)sont adjacentes. K 2. En déduire un équivalent de
n
P
k=1
√1 k.
3. En vous inspirant d’une idée similaire à l’exercice précédent, trouvez avec l’aide de Python une valeur approchée à10−2 près de la limité de (un). K
Exercice 8: – Raisonner – KK
1. Soient(un)et (vn)deux suites définies par
∀n∈N, un+1=un−vn
2 et vn+1= un+vn
2
En introduisant la suite complexe de terme généralzn =un+i.vn, montrer que les suites(un)et (vn)convergent et déterminer leurs limites. KK 2. Soit(zn)une suite complexe telle que
∀n∈N, zn+1= 1
3(zn+ 2¯zn)
Montrer que(zn)converge et exprimer sa limite en fonction de z0. KK
Exercice 9: – Calculer – 1. Comparer
m→+∞lim lim
n→+∞
1− 1
n m
, lim
n→+∞ lim
m→+∞
1−1
n m
et lim
n→+∞
1−1
n n
2. Que peut-on en déduire ?
Exercice 10: – Raisonner – KK
Soit (un) une suite qui vérifie ∀(n, m)∈N 06un+m6n+m nm . Montrer queun−−−−−→
n→+∞ 0.
Exercice 11: (Questions)– Chercher –
1. Le produit de deux suites minorées donne-t-il une suite minorée ? 2. Si (|un|)converge versl, la suite(un)converge-t-elle versl ou−l? 3. Si lim
n→+∞un= 1, peut-on dire quelimn→+∞unn= 1? 4. Si (un)converge,(bunc)converge-t-elle ?
5. Si (u2n)converge,(un)converge-t-elle ?
6. Une suite encadrée par deux suites qui convergent est-elle convergente ? 7. La différence de deux suites équivalentes converge-t-elle vers 0 ?
Exercice 12: – Chercher – Calculer –
Soit (un) définie paru0= 1 etu1= 2et∀n>2 un+2=√ un+1un
1. Expliciterun en fonction den. K
2. (un) est-elle convergente ?
Exercice 13: – Chercher –
1. Soit(un)une suite réelle telle que un 1 +un
−−−−−→
n→+∞ 0.
Montrer queun−−−−−→
n→+∞ 0. K
2. Même question avec(un)bornée et un
1 +u2n −−−−−→
n→+∞ 0.
Exercice 14: – Cours –
Soient(un)et(vn)les suites déterminées paru0= 1,v0= 2et pour tout n∈N: un+1= 3un+ 2vn etvn+1= 2un+ 3vn
1. Montrer que la suite (un−vn)est constante.
2. Prouver que(un)est une suite arithmético-géométrique.
3. Exprimer les termes généraux des suites(un)et(vn).
Exercice 15: – Chercher – KK
Etudier la suite (un) définie pour n∈Npar :
un= 1
√n2+ 1 + 1
√n2+ 2+· · ·+ 1
√n2+n
Exercice 16: – Raisonner – Mobiliser – KKK Le but de cet exercice est de montrer que les suites (un) et (vn) définies par un = cos(θn) et vn = sin(θn)pour tout n∈ Nsont toutes deux divergentes sauf pour certaines valeurs deθ que l’on déterminera.
1. Optionnel : on pourra demander à Python de dessiner quelques termes de suites afin d’observer le phénomène.
2 —Feuille 1: Révisions sur les suites—
2. Exprimerun+1 en fonction deun et devn pour toutn∈N.
3. En déduire que si(un)converge, alors(vn)converge. K 4. Montrer que si(vn)converge, alors(un)converge. KK 5. Déduire des questions précédentes l’ensemble des θ pour lesquels les suites sont convergentes / divergentes. (On pourra tenter de trouver un système d’équations sur les limites en s’intéressant par exemple à l’angle2nθ.) KKK
Exercice 17: – Chercher – K
Soient(xn)n∈Net (yn)n∈Ndeux suites réélles convergentes. Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N définies par un = inf(xn, yn) et vn = sup(xn, yn) sont toutes deux convergentes et calculer leur limite en fonction de celles de(xn)et (yn).
Exercice 18: – Chercher – KKK
Montrer que sif :N →N est une application injective, alors f(n)−−−−−→
n→+∞ +∞.
(On pourra procéder par l’absurde.)
Exercice 19: – Chercher – KKK
Ulm 2003
Dans tout l’exercice,λdésignera un réel strictement positif etfλ sera la fonction définie par
∀x ∈R, fλ(x) = exp(−λx2).
Le but de l’exercice est l’étude de la suite(un)n∈Ndéfinie paru0= 0et, pour tout n∈N,
un+1=fλ(un).
1. a) Montrer que l’équationfλ(x) =x, d’inconnuex, admet une seule racine dansRet que cette racine appartient à]0,1[. On note lλ cette racine.
b) Montrer que siλ > e
2, alorslλ> 1
√ 2λ. 2. On suppose dans cette question queλ≤ 1
2. a) Montrer que max
x∈[0,1]|fλ0(x)|<1.
b) Montrer que la suite(un)n∈Nadmet pour limitelλ.
3 —Feuille 1: Révisions sur les suites—
Bcpst 2 Lycée François 1er
FE 1 - Révisions sur les suites Indications
Exercice 1
1. Plusieurs possibilités d’étude :
un+1−un; un+1
un
(attention au signe desun!);
en étudiant le sens de variations de f telle que un=f(n)
d) Étudier le sens de variation de la fonctionf définie parf(x) =xlnx−x.
3. a) On pourra éventuellement procéder par l’absurde.
Exercice 2
On rappelle que les limites peuvent être obtenues par encadrement, par croissances comparées, par équivalent ou par DL. L’absence de limite peut être justifiée par exemple, par suites extraites.
1. Essayer d’encadrerun.
6. Considérer les équivalents usuels
7. Passer à l’exponentiel puis faire un DL ou passer aux équivalents.
Exercice 3
On rappelle que le terme général d’une suite définie paraun+2+bun+1+cun= 0 s’obtient en étudiant les racines du polynômear2+br+c.
4. Les solutions d’une équation complexes s’expriment de la même manière que celles d’une équation réelle.
5. Effectuer un changement de variableun =vn+c et chercher à avoir en(un) une suite récurrente linéaire d’ordre 2.
Exercice 4
On posef tel que un+1=f(un).
?L’étude des points fixes def donne les limites éventuelles de(un).
?L’étude def déterminera la stabilité des intervalles sur lesquels on travaille.
?Sif est croissante, l’étude du signe def(x)−xdonne l’éventuelle monotonie de (un).
?Si f est décroissante, c’est un peu plus compliqué.
Exercice 5
2. On cherche lesxtels que f(x) =x.
5. Rappelons que la méthode de la dichomomie consiste à déterminer une valeur approchée d’un nombre en découpant un intervalle initial en 2, puis à nouveau en 2, etc... généralement pour trouver le zéro d’une fonction.
Cette technique garantit d’obtenir un intervalle dont les bornes sont des suites adjacentes et donc convergentes.
Exercice 6
1. C’est faisable par étude de fonction ou alors grâce au théorème des accroisse- ments finis.
Exercice 8
2. Considérer les parties réelles et imaginaires.
Exercice 10
On considère les sous-suites d’indices pairs et impairs.
Exercice 11
4. bxcest la partie entière dex.
Exercice 12
1. poservn= ln(un).
Exercice 13
1. On posevn= un 1 +un
, puis exprimerun en fonction devn. 2. Même stratégie que dans la question précédente.
Exercice 17
On a inf(a, b) = 12(a+b− |a−b|)etsup(a, b) = 12(a+b+|a−b|).
4 —Feuille 1: Révisions sur les suites—
