S-EXERCICESCHAP.6:PROBABILITÉS(1)FICHE1
Exercice 1 - Révisions (1)
2 1
3 2
3 4 3
5
On fait tourner une roue de loterie. La flèche indique le chiffre sur lequel elle s’arrête au hasard.
1) Quel est l’univers Ω de cette expérience aléatoire ? 2) Compléter le tableau ci dessous :
Chiffre 1 2 3 4 5
Probabilité
3) Les éventualités sont-elles équiprobables ? 4) On considère l’événement suivant :
A : « la roue s’arrête sur un chiffre pair ».
Calculerp(A) etp A.
Exercice 2 - Révisions (2)
On jette un dé bien équilibré et on note le chiffre obtenu.
1) Quel est l’univers Ω de cette expérience aléatoire ? 2) Les éventualités sont-elles équiprobables ?
3) On considère A et B les événements suivants :
A=
(
246
)B=(3456
)a) Déterminerp(A) etp(B) sous forme de fraction irréductible.
b) Que représentent les événements A∩B et A∪B ? Déterminerp(A∩B) etp(A∪B).
c) Que représente les événements A et B ? Déterminerp A
et p B .
Exercice 3 - Révisions (3)
R A M E
Dans un sac , on met les quatre lettres R, A, M et E. On tire au hasard successivement et sans remise les quatre lettres du sac et on les dispose au fur et à mesure de gauche à droite. On forme ainsi un mot de quatre lettres (qui n’a pas forcément une signification).
1) À l’aide d’un arbre, donner toutes les issues possibles.
2) Quelle est la probabilité d’obtenir le mot « RAME » ?
3) Quelle est la probabilité d’obtenir un mot de la langue française ?
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.6:PROBABILITÉS(1)FICHE2
Exercice 4 - Révisions (4)
On pioche une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes bien battues.
1) Quel est l’univers Ω de cette expérience aléatoire ? 2) Les éventualités sont-elles équiprobables ?
3) On note A et R les événements suivants :
A=
R=
a) Déterminerp(A) etp(R) sous forme de fraction irréductible.
b) Que représentent les événements A∩R et A∪R ? Déterminerp(A∩R) etp(A∪R).
c) Que représente l’événement A ?
Déterminerp A, p A∩R, p A∪R.
Exercice 5 - Révisions (5)
3 6 7 1
8 5 4
2
R R Total
A A
Total 8
Une urne contient huit boules : trois boules vertes numérotées 3, 4 et 7 et quatre boules rouges numérotées 1, 2, 5, 6, 8. On pioche une boule au hasard dans cette urne.
On considère les événements suivants : A : « La boule porte un numéro pair » R : « La boule est rouge »
1) Compléter le tableau ci-contre.
2) Déterminerp(A),p A
,p(R),p R
sous forme de frac- tion irréductible.
3) Déterminerp(A∩R) etp(A∪R).
4) Déterminerp A∩Ret p A∪R. 5) Déterminerp A∩Ret p A∪R.
S-EXERCICESCHAP.6:PROBABILITÉS(1)FICHE3
Exercice 6
123456 12345
6
On lance deux dés bien équilibrés : un rouge et un bleu. On note X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres obtenus.
1) Compléter le tableau en in- diquant, pour chaque case, la somme des chiffres.
2) Quelles sont les différentes va- leurs prises par X ?
3) Déterminer la loi de probabi- lité de X.
Exercice 7
123456 12345
6
On lance deux dés bien équilibrés : un rouge et un bleu. On note Y la variable aléatoire égale auplus grand des deux chiffres obtenus.
1) Compléter le tableau en in- diquant, pour chaque case, le plus grand des deux chiffres.
2) Quelles sont les différentes va- leurs prises par Y ?
3) Déterminer la loi de probabi- lité de Y.
Exercice 8
Le tableau ci-dessous représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire X :
xi -11 -5 4 10 2
p(X =xi) 0,1 0,2 0,15 p4 0,45
1) Quelles sont les valeurs prises par X ? 2) Calculerp4.
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.6:PROBABILITÉS(1)FICHE4
Exercice 10
R V
B
Une roue de loterie est divisée en trois secteurs : un vert (V), un rouge (R) et un bleu (B) d’angles au centre respectifs 60◦, 120◦ et 180◦.
Lorsqu’elle s’arrête de tourner, un repère fléché indique l’une des trois couleurs avec une probabilité proportionnelle à l’angle du secteur concerné.
1) Déterminer la loi de probabilité sur l’ensemble des issues Ω ={V,R,B}.
2) Le joueur perd 2esi la flèche indique la partie bleue, gagne 0,5 e si la flèche indique la partie rouge et x euros si la flèche indique la partie verte.
On note G le gain algébrique du joueur (positif ou négatif).
a) Calculer E(G) en fonction dex.
b) Comment choisir x pour que le jeu soit équi- table ?
Exercice 11
On dispose de trois roues comportant 12 secteurs angulaires de même aire.
On gagne si la roue s’arrête sur le bleu.
Quelle roue choisir ? Justifier par le calcul.
Mise 1,5e
Gain 8e Mise 1e
Gain 4e Mise 1e
Gain 2e
S-EXERCICESCHAP.6:PROBABILITÉS(1)FICHE5
Exercice 12 - Tirage simultané
On a disposé dans une urne les huit cartes suivantes extraites d’un jeu de 32 cartes :
Ω=
Règle du jeu :
On tire deux cartes simultanément de l’urne après avoir misé une certaine sommem.
•Si les deux cartes tirées sont de même « couleur » (coeur, ou carreau, ou trèfle, ou pique), le joueur gagne 2e.
•Si les deux cartes tirées forment une « paire » (deux as, deux sept . . . ), le joueur gagne 5e.
1) Expliquer pourquoi il y a 8×7
2 = 28 tirages possibles.
2) Quelle est la probabilité de tirer deux cartes de même « couleur » ? Deux cartes formant une « paire » ?
3) L’organisateur du jeu désire avoir un gain moyen d’au moins 1epar partie.
Quel est le montant minimal de la misemqu’il doit fixer pour satisfaire cette contrainte ?
Exercice 13
. . .
. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
Un jeu consiste à lancer trois fois une pièce de monnaie bien équilibrée.
Chaque sortie du pile P rapporte 3 points, chaque sortie de face F fait perdre 2 points. On considère la variable aléatoire X égale au nombre (positif ou négatif) de points obtenus après les trois lancers.
1) Compléter l’arbre ci-contre décrivant toutes les issues possibles.
2) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X. et la loi de probabilité de X.
3) Calculer l’espérance E(X), la variance V(X) et l’écart typeσ(X).
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.6:PROBABILITÉS(1)FICHE6
Exercice 14
R
Une roue comporte dix secteurs identiques, neuf verts et un rouge.
On propose les deux jeux suivants :
Jeu 1: si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur gagne 2 000 euros, sinon, il perd 8 000 euros.
Jeu 2 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur ne
gagne ni ne perd rien, sinon, il gagne 10 000 euros.
1) Calculer pour chaque jeu l’espérance et la variance du gain du joueur.
2) Quels sont les critères qui peuvent expliquer qu’un joueur préfère l’un ou l’autre jeu ?
Exercice 15
0 1 2 4 3
5 6 7
8
9 10
11 12 13 14
15 16 0
Une roulette est composée de 17 cases :
• 1 case noire numérotée 0 ;
• 8 cases rouges numérotées par un chiffre pair (sauf 0) ;
• 8 cases vertes numérotées par un chiffre impair.
• Stratégie 1 :
Bob mise 1 e sur « rouge ». Si un numéro rouge sort il gagne 1 een plus de sa mise qu’il récupère ; sinon il perd sa mise.
• Stratégie 2 :
Alice mise 1esur le numéro 7. Si le numéro 7 sort elle gagne 14e en plus de sa mise qu’elle récupère ; sinon elle perd sa mise.
Les gains algébriques réalisés par Alice et Bob définissent deux variables aléatoires notées respec- tivement X et Y.
1) Comparer les espérances de gain de Bob et d’Alice. Dans chaque cas, le jeu est-il favorable au joueurs ?
2) Calculer les écarts types de X et de Y. Les comparer et interpréter ces résultats.
Exercice 16 - Répétition de deux expériences identiques
3
3
3 3
5
5
5 7 5
Sur un stand de tir, on propose la cible ci-contre. Les rayons des cercles sont 3, 6 et 9 cm.
Un tireur a une probabilité de 10 % de rater la cible.
La probabilité de toucher une zone de la cible est propor- tionnelle à la surface de la zone touchée.
1) Montrer que la probabilité de toucher la zone jaune (au centre) est de 10 % et la zone rouge (intermé- diaire) de 30 %.
2) On note X la variable aléatoire donnant le score du tireur.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer E(X) etσ(X).
3) Un tireur tire deux coups. On note Y la variable aléa- toire donnant le score du tireur.
a) Déterminer la loi de probabilité de Y.
b) Calculer E(Y) etσ(Y).
c) Peut-on conjecturer un lien entre les paramètres de X et de Y ?
S-EXERCICESCHAP.6:PROBABILITÉS(1)FICHE7
Exercice 17
On dispose de deux dés cubiques non truqués. L’un a cinq faces rouges et une face verte, l’autre a une face rouge, deux vertes et trois bleues. On jette les deux dés. On gagne 5e si les deux faces obtenues sont rouges, 2 e si elles sont vertes et on perd 1 e si les deux faces sont de couleurs différentes. On appelle X la variable aléatoire égale au gain ou à la perte ainsi réalisés.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de X.
Exercice 18
1) Une grande surface organise un un jeu en guise d’opération commerciale. Chaque client se voit remettre avec son ticket de caisse une carte à gratter. Il découvre alors un gain de 5e avec une chance sur 20, un gain de 10eavec une chance sur 50, un gain de 50e avec une chance sur 500, sinon il découvre le message « Retentez votre chance ».
On appelle X la variable aléatoire égale au gain d’un client.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de X.
2) Une grande surface concurrente reprend le jeu en offrant un gain de 2eavec une chance sur 5, un gain de 5eavec une chance sur 100, un gain de 100eavec une chance sur 1 000 sinon il ne gagne rien.
On appelle Y la variable aléatoire égale au gain d’un client de cette grande surface concurrente.
a) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de Y.
b) Comparer les jeux de ces deux magasins.
Exercice 19
Le cycle d’allumage d’un feu tricolore est le suivant :
• feu vert pendant 20 secondes ;
• feu orange pendant 5 secondes ;
• feu rouge pendant 35 secondes.
Un automobiliste rencontre trois feux (identiques à celui décrit ci-dessus) qui fonctionnent de manière indépendante.
PREMIÈRES-EXERCICESCHAP.6:PROBABILITÉS(1)FICHE8
Exercice 20
1e
1e
e 1
e 1
e1
3e
3e
e 3 3
e 3e
10e La roue d’une loterie comporte 10 secteurs identiques dont 4 rap- portent 1e, 5 rapportent 3eet 1 rapporte 10e. Le joueur doit miser 3eavant de lancer la roue.
1) Le jeu est-il favorable au joueur ?
2) Déterminer le montant que devrait avoir la mise pour que le jeu soit équitable.
3) Avec cette nouvelle mise, les gains du jeu sont-ils plus dis- persés qu’avant ou non ?
Exercice 21
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires.
Un joueur tire successivement et sans remise deux boules de l’urne. Soitxun réel positif. Lors de chacun des deux tirages, le joueur gagnexes’il obtient une boule rouge et perd 2es’il obtient une boule noire.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euro au terme des deux tirages.
1) Justifier que X∈ {2x;x−2;−4}. 2) Déterminer la loi de probabilité de G.
3) Exprimer l’espérance E(G) de la variable aléa- toire G en fonction dex.
4) Pour quelle valeur dex a-t-on E(G)>0 ? In- terpréter ce résultat par une phrase.
