Révisions sur les suitesRévisions sur les suitesRévisions sur les suitesRévisions sur les suites Exercice 1

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Exercice 1

Soit v une suite. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u n = e

^v

⁺ 1.

Partie A Partie A Partie A

Partie A : QCM : QCM : QCM : QCM

1) a est un réel strictement positif et v

= ln a . Alors : a) u

= 1

a ^{+ 1} b) u

= 1

1 + a

c) u

= - a ⁺ 1 d) u

= e

^{a +} 1

2) Si v est croissante, alors :

a) u est décroissante et majorée par 2 b) u est croissante et minorée par 1

c) u est croissante et majorée par 2 d) u est décroissante et minorée par 1 3) Si v diverge vers + õ alors :

a) u converge vers 2 b) u diverge vers + õ

c) u converge vers 1

d) u converge vers un réel L tel que L > 1 4) Si v est majorée par 2, alors

a) u est majorée par 1 + e

b) u est minorée par 1 + e

c) u est majorée par 1 + e

d) u est minorée par 1 + e

Partie B Partie B Partie B Partie B

Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln( u _n ) + v _n > 0.

Exercice 2

1) On considère la suite ( u _n ) définie par u

= 5 et pour tout n ^Ã 1, u _n =

 



 

1 + ² 

n u n-1 + 6 n ^. a) Calculer u

.

b) Les valeurs de u

jusqu’à u

sont : 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.

A partir de ces données conjecturer la nature de la suite ( d n ) définie par d n = u n

− u n . 2) On considère la suite arithmétique ( v _n ) de raison 8 et de premier terme v

= 16.

Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4 n

⁺ 12 n 3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : u _n = 4 n

⁺ 12 n ⁺ 5.

4) Valider la conjecture émise à la question 1 b .

Exercice 5

Soit ( u _n ) la suite définie pour tout entier naturel n ^Ã 1 par u

= 1

2 et u _n

= n ⁺ 1 2 n u _n . 1) Calculer u

, u

et u

.

2) a) Démontrer que pour tout entier n non nul, u n > 0.

b) Démontrer que la suite ( u n ) est décroissante.

c) Que peut-on en déduire pour la suite ( u _n ) ?

3) Pour tout entier n non nul on pose : v n = u n

n ^.

a) Démontrer que la suite ( v n ) est géométrique ; on précisera son premier terme et sa raison.

b) En déduire que pour tout entier n non nul, u n = n 2 ⁿ . 4) Soit f la fonction définie sur [1 ; + õ [ par f ( x ) = ln x ⁻ x ln2.

a) Déterminer la limite de f en + õ.

b) En déduire la limite de la suite ( u n ).

Exercice 6

On considère la fonction f définie sur R par f ( x ) = e ^{x −} x ⁻ 1.

1) Etudier les variations de f puis le signe de f ( x ) sur R.

2) En déduire les inégalités suivantes pour tout entier n non nul : (1) e

^{= Ã} 1 + 1

n et (2) e

^Ã 1 − 1 1 + n ^. 3) En utilisant l’inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel n non nul,

 



 

1 + ¹ 

n

n  e.

4) En utilisant l’inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel n non nul, e ^Â

 



 

1 + ¹ 

n

n

. 5) Déduire des questions précédentes un encadrement de

 



 

1 + ¹ 

n

n

, puis donner sa limite en + õ.

Exercice 7

On considère la suite ( u n ) définie par u

= 1

2 et telle que pour tout entier naturel n , u n

= 3 u _n 1 + 2 u n

. 1) a) Calculer u

et u

.

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , u _n > 0.

2) a) Démontrer que u n

= 3

2 − 3

2 + 4 u n

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , u n < 1.

a) Démontrer que la suite ( u n ) est croissante.

b) Démontrer que la suite ( u n ) converge.

3) Soit ( v n ) la suite définie par v n = u n

1 − u _n ^.

a) Montrer que ( v n ) est une suite géométrique de raison 3.

b) Exprimer pour tout entier naturel n , v n en fonction de n . c) En déduire que, pour tout entier naturel n , u n = 3 ⁿ

3 ⁿ + 1 .

d) Déterminer la limite de la suite ( u n ).