MPSIA 2012/2013, lyc´ee Chaptal Devoir en temps libre n˚25 vendredi 7 juin
Equation des ondes ´
1 Equations des ondes, m´ ´ ethode de d’Alembert, ondes superpos´ ees.
Ce probl`eme s’int´eresse `a la propagation d’une transmission le long d’un fil. Le signal est repr´esent´e par une fonction scalaire (c’est `a dire `a valeurs dans R), dont les variables sont le temps et la position x∈R le long du fil. L’´evolution du signal u=u(x, t)est d´etermin´ee par l’´equation de ondes (aussi appel´ee ´equation de d’Alembert) :
(E1) ∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 = 0
o`u c est un r´eel strictement positif. On consid´erera dans la suite des solutionuqui sont de classeC2.
1.1 M´ ethode de d’Alembert
Consid´erons une solutionude (E1).
1. Montrer que l’application
Φ : R2 → R2
(t, x) 7→ (x−ct, x+ct) est une bijection deR2 surR2. D´eterminer son application r´eciproque
2. En d´eduire qu’il existe une unique application ˜u= ˜u(a, b)∈ C2 R2,R
telle que∀(t, x)∈R2,u(t, x) = ˜u(x−ct, x+ct).
Exprimeraet ben fonction de tetx, et aussitet xen fonction de aetb.
3. Montrer que ˜usatisfait l’´equation aux d´eriv´ees partielles (E2) ∂2u˜
∂a∂b= 0.
4. Donner l’ensemble des solutions de (E2).
5. En d´eduire queuest solution de (E1) si et seulement siupeut s’´ecrire sous la forme (?) u(t, x) =f(x−ct) +g(x+ct), o`uf etg sont des fonctions deC2(R,R).
6. Une application : probl`eme avec conditions initiales.Soith∈ C2(R,R). On se propose de chercher une solution de (E1) qui satisfait lesconditions initialessuivantes :
∂u
∂t(0, x) = 0 pour toutx∈R; u(0, x) =h(x) pour tout x∈R. (a) En utilisant les conditions initiales, calculer les fonctionsf etg dans (?).
(b) En d´eduire la solution de ce probl`eme `a conditions initiales.
(c) On suppose qu’il existe R >0 tel que|x|>R⇒h(x) = 0. Montrer que pourt>0,|x|>R+ct⇒u(t, x) = 0.
Expliquer pourquoic est appel´e vitesse de transmission.
1.2 Ondes superpos´ ees
Dans cette question, on s’int´eresse `a une solution particuli`ere de l’´equation des ondes donn´ee par la superposition de trois ondes `a des fr´equences diff´erentes. Soient 0< ω1< ω2< ω3 trois r´eels et consid´erons les fonctions de la forme
u(t, x) =
3
X
k=1
λkcos (wk(x−ct) +ϕk),
o`u les λk sont des r´eels tous non nuls,ϕk des r´eels.
1. V´erifier que ces fonctions sont bien solutions de l’´equation des ondes, quels que soient les λk etϕk. 2. Mettre usous la formeu(t, x) = Re
3
X
k=1
µkeiωk(x−ct)
!
,avec lesµk des complexes que l’on explicitera. On noteraU la fonction complexe U(t, x) =
3
X
k=1
µkeiωk(x−ct).
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3. On suppose que l’on dispose d’un moyen pour observer U `a l’emplacementx = 0 aux temps t = 0, t = 1 et t = 2.
Montrer queU(0,0), U(1,0), U(2,0) et lesµk sont reli´es par une relation matricielle
U(0,0) U(1,0) U(2,0)
=A
µ1
µ2
µ3
, o`u A est une matrice que l’on d´eterminera. QuandAest-elle inversible ? Peut-on alors retrouver la valeur desµk `a partir de l’observation deU(t,0) aux tempst= 0,t= 1 ett= 2 ?
Y-a-t’il un moyen de retrouver la valeur desµk `a partir de l’observation de u(t,0) aux tempst= 0, t= 1 ett= 2 ? 4. On suppose d´esormais queAest inversible. On se fixe un pointxdansR, distinct de 0.
(a) Montrer qu’il existe une relation matricielle
U(0, x) U(1, x) U(2, x)
=B
U(0,0) U(1,0) U(2,0)
,o`u B est une matrice que l’on d´eter- minera en fonction deA.
(b) Sous quelles conditions surω1,ω2,ω3et xa-t-on les mˆemes valeurs deU en 0 et enxpour les temps 0, 1 et 2 ? (c) Sous quelles conditions surω1,ω2,ω3existe-t-il unxtel que ceci se r´ealise ?
2 Equation du t´ ´ el´ egraphiste
Si l’on veut tenir compte de la dissipation du signal due `a la r´esistance, on consid`ere l’´equation dite de t´el´egraphiste :
(E3) ∂2u
∂t2 +b∂u
∂t −c2∂2u
∂x2 = 0.
Les constantesb etc sont strictement positives.
On s’int´eressera uniquement aux solutions de l’´equation (E3) de la forme u(t, x) =T(t)X(x),c’est `a dire pour lesquelles les variables sont s´epar´ees.T etX sont des fonctions d’une seule variable, de classeC2.
1. Montrer que si une telle fonction est solution de (E3), alors on a, pour tout (t, x) (en dehors des points o`u la solution s’annule)c2X00(x)
X(x) = T00(t) +bT0(t)
T(t) =k, o`u kest une constante (i.e. ne d´epend ni detni de x).
2. On suppose de plus que la solution est p´eriodique (non constante) selon la variablex.
Montrer que la constante kest strictement n´egative, et d´eterminer X.
On notera `=√
−ketδ=b2+ 4k.
3. (a) R´esoudre l’´equationT00+bT0−kT = 0,dans le cas o`u δ >0.
Montrer qu’alors lim
t→+∞T(t) = 0.
(b) R´esoudre l’´equationT00+bT0−kT = 0,dans le cas o`u δ= 0.
Montrer qu’alors lim
t→+∞T(t) = 0.
(c) R´esoudre l’´equationT00+bT0−kT = 0,dans le cas o`u δ= 0.
Montrer qu’alors lim
t→+∞T(t) = 0.
(d) Interpr´eter ces r´esultats pouru.
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