Département des sciences économiques Ecole des sciences de la gestion ´ Université du Québec à Montréal

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ECO 4272 : Introduction à l’économétrie Notes sur les modèles de régression non

lin´eaires

Steve Ambler

^∗

Département des sciences économiques Ecole des sciences de la gestion ´ Université du Québec à Montréal

2018 : Steve Ambler c

Hiver 2018

∗Ces notes sont en cours de développement. J’ai besoin de vos commentaires et de vos sug- gestions pour les améliorer. Vous pouvez me faire part de vos commentaires en personne ou en envoyant un message àambler.steven@uqam.ca.

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Table des mati`eres

1 Introduction 4

2 Non-linéarités dans les paramètres et dans les variables 5 2.1 Non-linéarité dans les variables seulement . . . 5 2.2 Non-linéarité dans les paramètres. . . 6 2.3 Exemple simple d’un modèle non linéaire . . . 7 2.4 Tranformation d’un modèle non linéaire en modèle linéaire . . . . 7

3 Stratégies pour détecter des non-linéarités 8

3.1 M´ethodes graphiques . . . 9

4 Principaux types de mod`eles non lin´eaires 9

4.1 Mod`eles polynomiales . . . 9 4.2 Mod`eles logarithmiques. . . 10 4.3 Effets d’interaction entre variables explicatives . . . 11

5 Une stratégie générale face aux modèles non linéaires 12 5.1 Exemple . . . 13

6 Changements pr´edits 15

7 Intervalles de confiance pour les changements prédits 16 7.1 Matrice de variance-covariance des paramètres . . . 16 7.2 Estimation d’une version équivalente du modèle . . . 20

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7.2.1 Forme générale . . . 22 7.3 StatistiqueFpour tester une restriction linéaire . . . 24 7.3.1 Forme générale . . . 25

8 Concepts `a retenir 26

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1 Introduction

Ce chapitre a pour but de présenter quelques stratégies générales pour spécifier et estimer des modèles économétriques non linéaires.

On ne traite que les modèles qui sont non linéaires dans lesvariables, et non les modèles qui sont non linéaires dans lesparamètres. Voir la section suivante pour plus de détails concernant la différence entre ces deux types de non-linéarité. Le dernier type de modèle existe. Il est fréquemment utilisé en économétrie

appliquée. Par contre, son étude dépasse le cadre de ce cours.

Le chapitre permettra aussi de réviser un certain nombre de concepts que nous avons vus dans les chapitres antérieurs du cours, notamment la section sur le calcul d’intervalles de confiance pour des prédictions de changement. La méthode qui passe par l’utilisation de la matrice variance-covariance des

paramètres sera une révision sur le calcul de variances de combinaisons linéaires de variables aléatoires. Par la suite, la section7.2sera une révision du principe de comment estimer une version équivalente d’un modèle où notre logiciel

économétrique nous fournira automatiquement l’écart type auquel nous nous intéressons. Finalement, la section7.3sera une révision des tests d’hypothèse et de la relation entre la statistiqueF et la statistiquetdans le cas d’une hypothèse simple.

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2 Non-linéarités dans les paramètres et dans les variables

Une version générale d’écrire le modèle de régression multiple serait :

Y_i =F (X_i , β) +u_i

oùX_i est un vecteur de dimensions(k+ 1)×1d’observations sur(k+ 1) variables explicatives, qui en général vont inclure une constante,β est un vecteur (de dimensions(k+ 1)×1pour simplifier) de paramètres etui est un terme d’erreur. Ce n’est pas tout à fait général, puisque l’on suppose que le terme d’erreur est additif. Sinon, on aurait pu écrire :

Y_i =F (X_i , β , u_i).

Une distinction primordiale est à faire entre les modèles qui sont non linéaires dans les variables seulement, et les modèles qui sont non linéaires dans les paramètres.

2.1 Non-lin´earit´e dans les variables seulement

Si, pour un param`etre quelconqueβ_i , i= 0,1, . . . knous avons

∂Y_i

∂β_i =G(X_i),

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ce qui veut dire que la dérivée partielle ne dépend pas des paramètres, le modèle est linéaire dans les paramètres. Avec des redéfinitions appropriées des variables explicatives, nous pouvons réécrire le modèle sous la forme

Y =Xβ+U.

Parmi les variables explicatives dans la matriceX, on admet la possibilité de la présence de fonctions non linéaires des variables explicatives individuelles.

L’estimateur MCO des param`etresβest toujours donn´e par

βˆ= (X⁰X)⁻¹X⁰Y.

2.2 Non-linéarité dans les paramètres

Si, pour au moins un param`etreβ_i , i= 0,1, . . . knous avons

∂Y_i

∂β_i = ˜G(X_i, β),

le modèle est non linéaire dans les paramètres. Il n’est plus possible d’écrire le modèle sous la forme

Y =Xβ+U.

Il est toujours possible de minimiser la somme des erreurs au carré du modèle, mais il n’y a plus d’expression algébrique simple pour la solution à ce problème.

Il s’agit de l’estimateurMCNL(moindres carr´es non lin´eaires). Les ordinateurs

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modernes et les logiciels de régression commeR,STATAouGRETLont des algorithmes numériques puissants pour calculer ce type d’estimateur, mais nous n’allons pas étudier ce sujet dans le cadre du cours. Évidemment, le calcul de la matrice de variance-covariance des paramètres estimés est plus ardu dans ce cas.

2.3 Exemple simple d’un mod`ele non lin´eaire

On a des données concernant les intrants (travail et capital) d’un certain nombre de firmes et concernant la valeur en dollars constants de leur output. Nous voulons estimer une fonction de production CES (élasticité de substitution constante) de la forme :

Yi = (θNiγ

+ (1−θ)Kiγ

)^(1/γ)+ui.

Les paramètres de la fonction sontθ, le poids relatif du travail, etγ, qui donne l’élasticité de substitution entre les intrants.

2.4 Tranformation d’un modèle non linéaire en modèle linéaire

Il est souvent possible, par une transformation, de convertir un modèle non linéaire en un modèle linéaire. L’exemple classique est l’estimation d’une fonction de production Cobb-Douglas avec erreur multiplicative. Le modèle est

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donn´e par

Y_i =N_i^αK_i^βexp (u_i),

oùY_iest lóutput de la firmeN_i mesure l’intrant travail etK_i mesure l’intrant capital. Si on calcule le log de chaque côté de l’équation, on obtient

ln (Y_i) =αln (N_i) +βln (K_i) +u_i.

Si on veut imposer les rendements constants à l’échelle sur le modèle, c’est à dire α+β = 1ouβ = (1−α), on peut l’écrire comme

ln (Y_i)−ln (K_i) = α(ln (N_i)−ln (K_i)) +u_i.

Le modèle devient un modèle de régression simple avec(ln (N_i)−ln (K_i)) comme la seule variable explicative, et avec(ln (Y_i)−ln (K_i))comme variable dépendante transformée.

3 Stratégies pour détecter des non-linéarités

Il y a des tests formels pour détecter la non-linéarité, comme il y a des tests formels pour détecter la présence de l’hétéroscédasticité. Ici, nous allons mettre l’accent sur des façons informelles de procéder. Dans le dernier chapitre sur les tests diagnostics nous allons voir quelques méthodes un peu plus formelles.

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3.1 M´ethodes graphiques

• Graphique avec lesuˆ_isur l’axe vertical et une des variables explicatives sur l’axe horizontal.

• Graphique avec la ligne de régression (conditionnelle) et les pairs (Y_i , X_ji)oùX_jiest l’iêobservation sur la jê variable explicative.

4 Principaux types de mod`eles non lin´eaires

4.1 Mod`eles polynomiales

• La variable dépendante dépend d’un polynôme dans une ou pluseurs des variables explicatives. Dans le cas d’une seule variable explicative on pourrait avoir, par exemple

Y_i =β₀+β₁X_i+β₂X_i²+β₃X_i²+. . .+β_rX_i^r+u_i.

• Le modèle ne présente pas de difficultés pour l’estimation par rapport au modèle de régression multiple déjà étudié.

• Notez que la corrélation entreXetX^j, j >1risque d’être élevée. Elle ne sera pas parfaite, puisque le coefficient de corrélation capte le degré auquel une relationlinéaireentre deux variables est fexacte. Donc, le fait d’estimer un modèle polynomial ne peut engendrer un problème de multicollinéaritéparfaite, mais pourtant l’inclusion de plusieurs

puissances diff´erentes deX^j peut certainement engendrer un probl`eme de

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multicollinéarité, avec tous les problèmes que cela peut entraˆıner (écarts types très élevés, tests avec puissance réduite, etc.).

• La seule nouveaut´e est au niveau de calculer les intervalles de confiance pour l’impact de changements dans une variable explicative sur la variable d´ependante. Voir la section (7) ci-dessous.

4.2 Mod`eles logarithmiques

• Log–lin´eaire.

ln (Y_i) = β₀+β₁X_1i+. . .+β_kX_ki+u_i.

• Lin´eaire–log.

Y_i =β₀+β₁ln (X_1i) +. . .+β_kln (X_ki) +u_i.

• Log–log.

ln (Y_i) =β₀+β₁ln (X_1i) +. . .+β_kln (X_ki) +u_i.

Notez que lesR²de deux régressions où la variable dépendante n’est pas définie de la même façon (par exemple en logs et en niveaux)ne sont pas strictement comparables. Donc, on ne peut pas utiliser lesR² comme critère de sélection entre deux spécifications différentes.

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4.3 Effets d’interaction entre variables explicatives

• Une première possibilité est celle de l’interaction entre variables dichotomiques et variables dichotomiques. Prenons l’exemple où on essaie d’expliquer le revenu d’un individu par sa diplômation et par son sexe. SoitD_1i une variable qui prend la valeur 1 si l’individu a un diplôme universitaire et 0 sinon. SoitD2i une variable dichotomique qui prend la valeur 1 si l’individu est une femme et 0 sinon. SoitY_i le revenu en logs. Un modèle possible serait

Y_i =β₀+β₁D_1i+β₂D_2i+u_i.

On pourrait penser que l’impact de l’obtention d’un diplôme sur son salaire pourrait dépendre aussi de son sexe. Si c’est le cas, on pourrait estimer le modèle suivant :

Y_i =β₀+β₁D_1i+β₂D_2i+β₃D_1iD_2i+u_i.

• Interaction entre variables dichotomiques et variables continues. Prenons un modèle où le revenu de l’individu est expliqué par le nombre d’années d’expérience et par la diplômation. Le modèle pourrait être

Y_i =β₀+β₁D_i+β₂X_i+u_i,

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ou on pourrait incorporer un terme d’interaction entre les deux variables :

aY_i =β₀+β₁D_i+β₂X_i+β₃D_iX_i+u_i.

Une troisi`eme possibilit´e serait

Y_i =β₀+β₁X_i +β₂D_iX_i+u_i.

Dans ce dernier cas, l’ordonnée à l’origine est identique, mais la pente de la relation entreY_ietX_i est différente. Voir le Graphique 8.8 dans le livre pour une illustration des trois différentes possibilités.

• Interaction entre variables continues et variables continues. Un exemple serait un modèle oùX_1iserait le nombre d’années d’expérience etX_2i serait le nombre d’années d’études. On pourrait estimer le modèle

Y_i =β₀+β₁X_1i+β₂X_2i+β₃X_1iX_2i+u_i.

5 Une stratégie générale face aux modèles non linéaires

1. Identifier des non-lin´earit´es possibles (intuition, raisonnement

´economique, etc.).

2. Sp´ecifier une fonction non lin´eaire et l’estimer.

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3. Juger si la fonction non lin´eaire est une am´elioration (testst, testsF,R², etc.). Noter la qualification concernant l’utilisation duR²dans la

sous-section sur les transformation logarithmiques.

4. Faire un graphique de la relation estim´ee pour identifier des probl`emes

´eventuels.

5. Il y a des tests formels pour détecter la non-linéarité, mais c’est un sujet qui dépasse le cadre de ce cours.

Notez que l’utilisation duR² pour comparer deux modèles différents peut être problématique si la variable dépendante a été redéfinie entre les deux modèles.

C’est le cas notamment lorsqu’on transforme la variable d´ependante en la calculant en logs.

5.1 Exemple

Considérons l’exemple suivant. On a un modèle de régression simple estimé en niveaux :

Y_i =β₀+β₁X_i+u_i.

Un graphique de la ligne de régression avec les observations surY_i etX_ifait ressortir une non-linéarité évidente, à la manière du Grapique 8.2 du manuel. Les résidus sont en moyenne négatifs pour des valeurs faibles deX_i, positifs pour des valeurs intermédiaires, et encore négatifs pour des valeurs élevés. L’impact deX_i surY_idiminue avec la valeur deX_i. Nous essayons deux spécifications

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alternatives non linéaires, la première polynomiale et la deuxième logarithmique :

Y_i =β₀ +β₁ln (X_i) +u_i;

Y_i =β₀+β₁X_i+β₂X_i²+u_i.

Nous pouvons tester la significativité du coefficientβˆ₂ dans la deuxième régression et comparer lesR² des deux spécifications. Si on compare lesR², il faut faire attention puisque le deuxième modèle contient une variable explicative additionnelle par rapport au premier : donc il serait prudent de regarder aussi la mesureR¯².

Dans ce cas, nous pouvons aussi estimer un modèle général quiemboˆıteles deux autres. Considérons le modèle suivant, qui contient toutes les variables

explicatives des deux mod`eles (une constante,X_i en niveau,ln(X_i)en logs, et X_i²).

Y_i =β₀+β₁X_i +β₂X_i²+β₃ln(X_i) +u_i.

L’ordre des variables n’est pas important. Notez que nos deux modèles sont des versions contraintes de celui-ci. On peut ensuite tester les deux hypothèses nulles différentes suivantes :

H₀ :β₃ = 0 H₁ :β₃ 6= 0;

H₀ :β₁ =β₂ = 0 H₁ :β₁ 6= 0 et/ouβ₂ 6= 0.

La première est une hypothèse simple. La deuxième est une hypothèse jointe. On

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retient le mod`ele dont le rejet est le plus fort (la p-value est la plus faible).

6 Changements pr´edits

Mod`ele de base illustratif :

Y_i =β₀+β₁X_1i +β₂X_2i+β₃X_1iX_2i+u_i.

Changement prédit suite à un changement donné de la variableX_1i. Valeur initiale deX_1i:X₁₁. Valeur finale deX_1i:X₁₂.

∆ ˆY ≡Yˆ₂−Yˆ₁ =h

βˆ₀ + ˆβ₁X₁₂+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₂X₂₁i

−h

βˆ₀+ ˆβ₁X₁₁+ ˆβ₂X₂₁+ ˆβ₃X₁₁X₂₁i

= ˆβ₁(X₁₂−X₁₁) + ˆβ₃X₂₁(X₁₂−X₁₁)

= ˆβ₁(∆X₁) + ˆβ₃X₂₁(∆X₁)

⇒ ∆ ˆY

∆X₁ = ˆβ₁+ ˆβ₃X₂₁.

• Notez que l’on suppose que la valeur deX_2ine change pas.

• Ceci est typique. On consid`ere l’impact sur la variable d´ependante d’un seul changement au niveau des variables explicatives.

• Notez que le changement pr´edit d´epend de la valeur deX2i, qui ne change pas, et de la taille du changement deX_1i.

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• Le point important à saisir ici, c’est que le changement prédit (par unité de changement deX_1i, n’est pas constant et dépend duniveaud’une autre variable explicative dans le modèle.

• Ceci dit, le calcul du changement prédit ne présente pas de difficultés particulières. Par contre, le calcul des intervalles de confiance pour ces prédictions est plus compliqué. Voir la section suivante.

7 Intervalles de confiance pour les changements pr´edits

Le calcul d’intervalles de confiance pour les changements prédits est plus compliqué dans le cadre de non-linéarités dans les variables. Par exemple, dans l’exemple de la section précédente, pour calculer l’écart type de∆ ˆY, il faut calculer l’écart type deβˆ1∆X1+ ˆβ3X21∆X1. Encore une fois, cela va dépendre duniveaud’une autre variable explicative dans le modèle.

Il y a trois m´ethodes principales qui permettent de calculer les intervalles de confiance pour un changement pr´edit.

7.1 Matrice de variance-covariance des param`etres

Soit la matrice estimée de variance-covariance des paramètres donnée parΣˆβˆ. Puisque nous considérons des modèles non linéaires dans les variables

seulement, et puisque nous évaluons le changement prédit à des niveaux donnés

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de toutes les variables explicatives à part celle dont on veut prédire l’impact, le changement peut être exprimé comme une fonction linéaire des paramètres du modèle. Autrement dit,

∆ ˆY

∆X₁ =δ⁰β,ˆ

oùδest un vecteur de constantes de dimensions(k+ 1)×1dont les valeurs peuvent dépendre de valeurs des variables explicatives. Dans l’exemple de la section précédente, nous avons

∆ ˆY

∆X₁ = [0, 1, 0, X₂₁]





 βˆ0

βˆ₁ βˆ₂ βˆ₃





 .

Nous avons :

E

βˆ−β

= 0

et

E

βˆ−β βˆ−β⁰

= Σβˆ,

ce qui est tout simplement la matrice estimée de variance-covariance deβ.ˆ Appliquant nos règles de base concernant les combinaisons linéaires de variables aléatoires, nous avons :

Var

δ⁰βˆ

=Var δ⁰

βˆ−β

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=E

δ⁰

βˆ−β βˆ−β0

δ

=δ⁰E

βˆ−β βˆ−β⁰ δ

δ⁰E

βˆ−β βˆ−β0 δ

=δ⁰Σ_β_ˆδ.

Il est important de noter que pour arriver à cette expression nous avons traitéδ comme un vecteur deconstantes. Le vecteur peut contenir des valeurs de variables explicatives, mais c’est nous qui imposons ces valeurs. C’est pour cela que ce ne sont pas des variables aléatoires.

Il faut bien comprendre pourquoi

E

βˆ−β βˆ−β 0

= Σβˆ.

L’élément dans la rangéei+ 1et la colonnej+ 1deβˆβˆ⁰ est tout simplement

´egal `a

βˆ_iβˆ_j,

et l’élément dans la rangéei+ 1et la colonnej+ 1de

βˆ−β βˆ−β⁰

est tout simplement ´egal `a

βˆ_i−β_i βˆ_j −β_j

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Si notre estimateur MCO est non biais´e il faut que

E

βˆ_i −β_i

=E

βˆ_j −β_j

= 0

Une des identit´es pour le calcul de covariances implique que

Cov

βˆ_i−β_i ,

βˆ_j−β_j

=E

βˆ_i−β_i βˆ_j −β_j

−E

βˆ_i−β_i E

βˆ_j−β_j

=E

βˆ_i−β_i βˆ_j−β_j .

Sii=j ce raisonnement s’applique ´egalement `a la variance. Donc, nous avons

Cov

βˆ_i,βˆ_j

=Cov

βˆ_i−β_i ,

βˆ_j−β_j

=E

Donc, nous avons

Σβˆ≡Var βˆ

=E

Nous venons de calculer la variance deδ⁰β. Son ´ecart type est la racine carr´ee deˆ

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la variance. Donc, l’écart type associé à notre prévision, donné par SE

∆X₁δ⁰βˆ

est tout simplement

SE

∆ ˆY

= SE

∆X1δ⁰βˆ

= ∆X1

q δ⁰Σˆβˆδ,

où nous avons remplacéΣβˆ par l’estimateur convergent habituel. Soyez sûrs de comprendre pourquoiδ⁰Σˆβˆδest unscalaire.

L’écart type peut (sous l’hypothèse queδ⁰βêst approximativement distribuée suivant une loi normale) être utilisé de la manière standard pour construire des intervalles de confiance pour le changement prédit. Nous avons

∆ ˆY = ∆X₁δ⁰βˆ±z∆X₁ q

δ⁰Σˆβˆδ, z >0

o`u

Φ (−z) = (1−X)/2

o`u le niveau de confiance voulu pour l’intervalle est de(100×X)%.

7.2 Estimation d’une version ´equivalente du mod`ele

Il s’agit de transformer le modèle pour que l’un des coefficients estimés soit associé à la combinaison linéaire de coefficients dont nous voulons calculer l’écart type. Dans le cas de l’exemple de la section (6), la combinaison linéaire

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dont il faut calculer l’´ecart type est donn´e par

β₁+β₃X₂₁.

Si on peut transformer le modèle pour que cette combinaison linéaire soit un des coefficients du modèle, une estimation par MCO va nous donner directement l’écart type voulu. Le coefficientβ₁ est déjà associé avec la variable explicative X_1i. Il serait naturel donc d’ajouter le terme(β₃X₂₁)X_1i au modèle. Si on ajoute ce terme, il faut soustraireexactementle même terme pour que le modèle transformé soit équivalentau modèle initial. Nous pouvons écrire :

Y_i =β₀+ (β₁+β₃X₂₁)X_1i+β₂X_2i +β₃(X_1iX_2i−X₂₁X_1i) +u_i.

Donc, on vient d’ajouter le termeβ3X21X1i, et on a soustrait exactement le même terme. On peut réécrire le modèle de la façon suivante :

Y_i =β₀+γ₁X_1i+β₂X_2i+β₃Z_i+u_i

avec les d´efinitions suivantes :

γ₁ ≡(β₁+β₃X₂₁)

et

Zi ≡(X1iX2i−X21X1i),

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et où, bien sûr,X₂₁prend une valeur donnée, sa valeur au point de départ pour lequel nous voulons prédire l’impact d’un changement deX₁. Clairement, puisque nous avons ajouté et soustrait la même chose du modèle initial, ce qui le laisse inchangé. Si nous estimons cette équation transformée par MCO, l’écart type de l’estimé du coefficientγ1nous donne l’écart type qui nous intéresse, et nous pouvons l’utiliser directement pour construire des intervalles de confiance pour le changement prédit.

On aura comme intervalle de confiance

∆ ˆY = ∆X₁γˆ₁±z∆X₁σˆ_γ_ˆ₁, z >0

oùσˆ_ˆ_γ₁ est l’écart type estimé de la valeur estiméeγˆ₁ et ou

Φ (−z) = (1−X)/2

7.2.1 Forme g´en´erale

De façon plus générale, on peut écrire la combinaison linéaire de coefficients pour laquelle on veut calculer l’écart type sous la forme

δ⁰β =δ₀+δ₁β₁+δ₂β₂+. . .+δ_kβ_k.

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La valeur desδ_iva dépendre en général des valeurs imposées desX_i, que nous traitons comme des constantes. On veut écrire un modèle transformé qui permet de tester directement l’hypothèse nulleH₀ : δ⁰β = 0avec une statistiquet standard. D’abord, on normalise par rapport à un desδ_i (ce choix est arbitraire – son identité n’est pas importante dans la mesure où il n’est pas égal à zéro), par exempleδ₁. Nous avons

δ⁰β δ₁ = δ₀

δ₁ +β₁+ δ₂

δ₁β₂+. . .+δ_k δ₁β_k.

Nous avons réussi à isoler le coefficientβ1, qui est associé à la variable

explicativeX_1i. Étant donnée cette normalisation, on va ajouter (et soustraire) les autres termes nécessaires multipliés parX_1i. On obtient le modèle transformé suivant :

Y_i =β₀ −δ0

δ₁X_1i+ δ0

δ₁ +β₁+δ2

δ₁β₂+. . .+ δk

δ₁β_k

X_1i

+β₂

X_2i− δ₂ δ₁X_1i

+. . .+β_k

X_ki− δ_k δ₁X_1i

+u_i. Int´egrant le terme ^δ_δ⁰

1X_1iavec la variable d´ependante on obtient

Y_i+ δ₀ δ₁X_1i

=β₀+ δ₀

δ₁ +β₁+δ₂

δ₁β₂+. . .+ δ_k δ₁β_k

X_1i

+β2

X2i− δ₂ δ₁X1i

+. . .+βk

Xki− δ_k δ₁X1i

+ui.

≡β0+γ1X1i+β2Z2i +. . .+βkZki+ui

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où les définitions des nouvelles variables (et coefficients) sont évidentes. Si nous estimons cette équation par MCO, l’écart type associé au coefficient estiméγˆ₁va nous donner directement une façon de calculer un intervalle de confiance pour notre changement prédit. Nous avons

SE (bγ₁) = SE δ⁰βˆ δ1

!

⇒SE

δ⁰βˆ

=δ1SE (ˆγ1).

Nous pouvons utiliser cet ´ecart type afin de construire l’intervalle de confiance voulu, que nous pouvons ´ecrire comme

∆ ˆY = ∆X₁δ⁰βˆ±z∆X₁δ₁σˆ_γ_ˆ₁, z >0

Φ (−z) = (1−X)/2

7.3 Statistique F pour tester une restriction lin´eaire

Si notre logiciel de régression nous permet de calculer la statistiqueF pour tester une hypothèse quelconque concernant une combinaison linéaire des coefficients, nous pouvons l’utiliser afin de calculer l’écart type de notre changement prédit.

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Sachant que, dans le cas d’une hypoth`ese simple, la statistiqueF est tout

simplement le carr´e de la statistiquet, nous avons (dans le cas de l’exemple de la section (6) :

H₀ : β₁+β₃X₂₁= 0, H₁ : β₁+β₃X₂₁ 6= 0

⇒F =t² =





βˆ₁+ ˆβ₃X₂₁ SE

βˆ₁+ ˆβ₃X₂₁





2

où, encore une fois,X₂₁prend une valeur donnée, sa valeur au point de départ pour lequel nous voulons prédire l’impact d’un changement deX₁. Nous avons tout de suite que

SE

βˆ1+ ˆβ3X21

=

βˆ₁+ ˆβ₃X₂₁

√F .

7.3.1 Forme g´en´erale

De façon plus générale, la restriction à tester peut être écrite sous la forme suivante :

H₀ : δ⁰β = 0, H₁ : δ⁰β 6= 0.

Notez bien que dans ce cas-ci, il s’agit d’une seule restriction portant sur une combinaison linéaire des paramètres du modèle. C’est de la formeRβ =r, mais icidelta⁰ joue le rôle deRet c’est un vecteur de dimensions1×(k+ 1)etrest un scalaire. Nous avons :

SE δ⁰βˆ

=

δ⁰βˆ

√F .

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Nous pouvons utiliser cet ´ecart type pour construire l’intervalle de confiance voulu :

∆ ˆY = ∆X₁δ⁰βˆ±z∆X₁SE δ⁰βˆ

, z >0

Φ (−z) = (1−X)/2

8 Concepts `a retenir

• La distinction entre non-linéarités dans les variables et non-linéarités dans les paramètres.

• Une compréhension intuitive des façons de détecter la présence de relations non linéaires entre les variables d’un modèle économétrique.

• Une compréhension intuitive des principaux types de modèles non linéaires.

• La façon de calculer l’impact prédit de la variation d’une variable explicative sur la variable dépendante. L’idée qu’en général cet impact prédit peut dépendre deniveauxd’une ou de plusieurs variables explicatives.

• Les trois façons principales de calculer des écarts types et les intervalles de confiance pour les changements prédits.

(27)

R´ef´erences

Voir ce lien : http:

//www.steveambler.uqam.ca/4272/chapitres/referenc.pdf

Derni`ere modification : 05/01/2018