DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 3 heures) L’utilisation des calculatrices

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 1999 FILIÈItE Pc

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 3 heures)

L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

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On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

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Le but de ce problème est l’étude d’une forme linéaire sur l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles.

Première partie

On fixe un entier n E IV et l’on désigne par E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à n. On considère la forme linéaire L sur E définie par

VP E E, L(P) = 1: P(z)dz .

1. Déterminer l’image par L de la fonction polynomiale P telle que P(x) = 2 a+?.

p=o Déterminer la dimension du noyau de L, puis une base de ce noyau.

2. On considère des nombres réels (zi)eCiCn tels que

a) Montrer que, pour tout i, 0 5 i 5 n, il existe une fonction polynomiale Pi E E

telle que

P&) = 1

et P&) = 0 pour j # i , 0 5 j < n .

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b) Montrer qu’il existe une unique famille de nombres réels (Xi)o<i+ telle que VPEE , L(P) = -& P(Xi) .

i=o _

3. On suppose que, pour tout i, 0 5 i 5 n, x,-i = -xi. Montrer que X,-i = Xi. En déduire que, si n est pair, toute fonction polynomiale P de degré inférieur ou égal à n + 1 vérifie

s -; P(x)dx = 2 xi P(Xi) . i=o

4. Soit f une fonction réelle de classe Cn+r sur l’intervalle (-1, 11.

a) On pose Mn+, = SUP If'""'(x)l, où fcn+r) désigne la dérivée (n + 1)-ième ZE[-l,l]

de f. Déterminer des réels positifs Q et ,8 tels que

où les

(Xi)~<i<~ sont les nombres réels déterminés à la question 2..

b) On suppose que f est de classe Cn+2 sur [- 1, l] , que n est pair et que les points / (xi)ajiln sont choisis tels que x,-i = -xi, 0 < i 5 n.

Modifier la majoration précédente en utilisant A!&+, = sup /f(n+2) (x) 1.

ZE[-l,l]

5. On suppose que n = 4 et l’on choisit

1 1

x0 = -1 ,x1=--, 2 ^x2=0, ^x3=-, 2 x4=1.

a) Calculer X 0, Xl, ^x2, ^x3, ^x4.

b) En utilisant le résultat de la question 4.b), donner une majoration de ou les (Xi)o<i<4 sont les nombres trouvés en a).

Deuxième partie

Les notations sont celles de la première partie.

6. Soit N une norme sur E. On pose

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a) Justifier l’existence de N(L) et montrer qu’il existe Q E E tel que N(Q) = 1 et

IL(Q)

I = JW~

b) Montrer que si K est un nombre réel positif tel que

alors N(L) I: K. Montrer que si, de plus, il existe Q E E tel que N(Q) = 1 et IL(Q) 1 = K, alors M(L) = K.

7. Pour P E E tel que P(x) = 2 ap ~3, on pose p=o

( ) L

Ncm = ,y<, bPl et N,(P) = -&apy 2 . p=o

Comparer les normes N, et N2.

8. On désigne par Nw(L) et A&(L) 1 es nombres N(L) définis à la question 6., quand on choisit pour N respectivement N, et N2.

a) Trouver Qoo E 13 tel que N,(Q,) = 1 et IL(Qm)l = N,(L).

b) Trouver Q2

E E tel que N2(Q2) = 1 et IL(Q2)l =JV~(L).

Troisième partie

Soit F l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré quelconque.

Pour P E F, de degré d(P), définie par P(x) = c ap xp, on pose

p=o

w

N,(P) = sup bPl et WP) =

WSd(P)

et l’on définit ainsi des normes sur F [par conv&ion, N, (0) = N2 (0) = 01.

Pour P E F, on pose encore L(P) = li P(3) dz.

9.a) Trouver une suite (P ) IC kEw d’éléments de F telle que Vk E IV, N,(Pk) = 1 et ,limmL(&) -i = +oo.

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b) L’application linéaire L est-elle continue?

10-a) Montrer que sup

PCF IL(P)/ existe. On désigne ce nombre par ~~~L~~~.

N2(P)Il

b) Existe-t-il une fonction polynomiale Q E F telle que I&(Q) = 1 et 1 L(Q) 1 =