Cours de math´ematiques
Tangente et Nombre D´eriv´e
D´efinition 1. On appelle tangente T `a la courbe C au point M0 si elle existe, la droite qui approche le mieux la courbe C au voisinage du point M0.
C M0 T
C T M0
Exercice 1. Tracer la courbe repr´esentativeCde la fonction carr´e sur l’intervalle[0; 4]. Construire la tangente T `a la courbe C au point M0(1; 1) d’´equation y= 2x−1.
D´efinition 2. Soit f une fonction et C sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonormal.
Si la courbeC admet une tangente au point de coordonn´ees (x0;f(x0)) non parall`ele `a l’axe des ordonn´ees alors on appelle nombre d´eriv´ede la fonction f enx0 et on note f′(x0) le coefficient directeur de cette tangente.
Exercice 2. Quel est le nombre d´eriv´e de la fonction carr´e enx0 = 1?
Exercice 3. Que peut-on dire du nombre d´eriv´e dans la cas o`u la fonction f est croissante ou d´ecroissante ?
Propri´et´e 1.
– Le nombre d´eriv´e en x0 d’une fonction constante est f′(x0) = 0.
– Le nombre d´eriv´e en x0 d’une fonction affine f(x) =ax+b estf′(x0) =a.
– Le nombre d´eriv´e en x0 de la fonction carr´ef(x) =x2 est f′(x0) = 2x0. – Le nombre d´eriv´e en x0 de la fonction cubef(x) =x3 est f′(x0) = 3x20. – Le nombre d´eriv´e en x0 6= 0 de la fonction inverse f(x) = 1
x estf′(x0) =− 1 x20.
– Le nombre d´eriv´e en x0 6= 0 de la fonction racine carr´ee f(x) =√
x estf′(x0) = 1 2√x0
.
Exercice 4. Calculer le nombre d´eriv´e de la fonction inverse en x0=−2.
Exercice 5. D´eterminer l’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonction inverse au point d’abscisse x0 =−2.
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