Activit´e de math´ematiques
Nombre d´ eriv´ e d’une fonction trinˆ ome
1 Etude d’un exemple ´
Le but de l’exercice est de d´eterminer le nombre d´eriv´e de la fonction f(x) = 2x2−4x+ 5 en x0 = 2.
1.1 Valeur approch´ee par une m´ethode graphique
1. Tracer soigneusement la courbe repr´esentative Cf de la fonction f dans un rep`ere ortho- norm´e.
2. Placer le pointM0(x0;f(x0)) puis tracer la tangente `a la courbeCf au pointM0, d´etermi- ner une valeur approch´ee de son coefficient directeur et en d´eduire une valeur approch´ee du nombre d´eriv´ef′(x0).
1.2 Valeur exacte par le calcul
1. Exprimer le taux d’accroissement f(x)−f(xx−x0 0) en fonction dex.(on pourra simplifier apr`es avoir remarqu´e une factorisation au num´erateur)
2. D´eterminer la valeur limite de ce taux d’accroissement quand x se rapproche de x0. En d´eduire la valeur exacte du nombre d´eriv´e de la fonctionf en x0.
2 Etude du cas g´ ´ en´ eral
Le but de l’exercice est de d´eterminer le nombre d´eriv´e de la fonctionf(x) =a(x−m)2+n en x0 quelconque.
1. Exprimer le taux d’accroissement f(x)−x−f(xx0 0) en fonction dex.(on pourra simplifier apr`es avoir remarqu´e une factorisation au num´erateur)
2. En d´eduire que le nombre d´eriv´e de la fonction f en x0 estf′(x0) = 2a(x0−m).
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