GRANDE ÉCOLE MILITAIRE DE LA MER

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ÉCOLE NAVALE

GRANDE ÉCOLE MILITAIRE DE LA MER

Diplôme d’ingénieur

de l’École navale

Formation scientifique

Encadrement

et

commandement des unités de la Marine nationale

Devenez officier de marine de carrière

Formation humaine

et militaire

Découvrez tous les parcours officiers de la Marine nationale

Formation maritime

Index Math´ ematiques

A

Application lin´eaire 223 Arithm´etique 23, 37, 56, 78, 127, 236 D

D´eterminant 96 Calcul 81, 178, 234, 261 E

Endomorphisme 13, 89, 115, 150, 196, 221, 230 Endomorphisme nilpotent 80, 104, 134 Polynˆome d’endomorphisme 262 Projecteur 110, 226 Rang 174 Sous-espace stable 71

´Equation di↵´erentielle

Equation di↵´´ erentielle du premier ordre 30, 137, 206 Equation di↵´´ erentielle du second ordre 67, 84, 101, 104, 270, 281 Probl`eme de Cauchy 184

Syst`eme di↵´erentiel 42, 61, 99, 105, 281 Espace euclidien 212

Adjoint d’un endomorphisme 82 Base orthonormale 69, 120, 243, 250 Distance `a un sous-espace 99, 107, 175, 202 Matrice de Gram 46

Orthogonalit´e 116

Projecteur orthogonal 41, 135, 209, 231 R´eflexion 210

Sym´etrie orthogonale 244, 253 Espace vectoriel

Famille libre 2, 4, 18, 109 Forme lin´eaire 129 Sous-espace vectoriel 140 Espace vectoriel norm´e 19, 78, 114

Continuit´e 65, 121 Densit´e 62 Norme 14, 20, 135 F

Fonction complexe 124 Fonction de deux variables 105, 120

Equation aux d´´ eriv´ees partielles 24, 195 Extremum 25, 183, 213, 215, 257 Fonction de plusieurs variables 48

Calcul di↵érentiel 25, 32 Fonction réelle de la variable réelle

Continuité 1, 26, 89, 117 Dérivation 21–22, 40, 92, 100, 146 Développement limité 234 Etude de fonction 268´ Intégration 191 Point fixe 118 Forme bilinéaire 14, 65 G

G´eom´etrie

G´eom´etrie euclidienne 3, 256 Surface 183

I Informatique

Algorithme 28–29 Langage 27 Int´egration

Calcul d’intégrale 282 Fonction de carré intégrable 81, 182

Intégrale à paramètre 33, 44, 95, 113, 162, 167, 185–186, 194, 199, 208–209, 219, 229, 232, 245, 250, 269

Int´egrale fonction d’une de ses bornes 75, 110, 184, 195, 220, 236, 258, 281

Intégrale impropre/généralisée 43, 68, 81, 101, 103, 108, 112, 114, 168, 193, 201, 203, 207, 218, 228, 233, 237, 243, 254, 271–273, 279 Suite d’intégrales 79, 96, 126, 205

Th´eorie de l’int´egration 119 M

Matrice 45, 52, 77, 111, 157, 259, 280 D´eterminant 60, 83, 102, 119, 191 Matrice antisym´etrique 255 Matrice nilpotente 90, 108, 207, 248

Matrice orthogonale 11, 35, 69, 103, 144, 200, 222, 273, 277 Matrices semblables 117, 177, 269

Matrice symétrique 34, 85, 195, 205, 232 Polynôme annulateur 118, 159, 206 Polynôme de matrice 201 Rang 82, 160, 194 Trace 73, 192, 208, 260

N

Nombres complexes 151, 199, 282 P

Polynôme 10, 23, 67, 122, 270 Division euclidienne 271 Polynôme à coefficients entier 41 Racines 36, 228

Probabilités 59, 78, 104, 226 Couple de variables aléatoires 212 Espérance 16, 196

Espérance, variance 92 Fonction génératrice 87 Loi de Bernoulli 36, 86, 94, 192, 247 Loi de Poisson 1, 38, 95, 198, 249, 279 Loi géométrique 107, 172, 245 Probabilité conditionnelle 274 Tirage 73, 170, 246

Variable al´eatoire 5, 15, 17, 31, 39, 43, 53–54, 106, 113, 121, 154, 179, 197, 233, 242, 266, 275

Python

Arithm´etique 252, 254–255, 257, 270, 272 Courbe plane 268

Espace euclidien 136, 156 Fonction r´eelle de la variable r´eelle 158 Liste 251, 257, 270–271

Matrice 123, 125, 139, 156 Permutation 216 Polynˆome 125, 133, 148

Probabilit´es 153, 166, 234, 256, 258, 276 Probl`eme de Cauchy 165

R´eduction des endomorphismes 145, 149, 164 S´erie de fonctions 131

Série entière 143 Suite 147, 161, 253 Suite d’intégrales 141 Q

Question de cours Diagonalisation 189, 263 Fonction de plusieurs variables 88 Formules de Taylor 162

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev 265, 267 Inégalité de Cauchy-Schwarz 266 Inégalité de Markov 265 Loi de Poisson 262 Loi faible des grands nombres 265 Polynôme caractéristique 163 Réduction des endomorphismes 267 Série entière 80, 189, 266 Somme géométrique 264 Surface 267 Théorème du rang 189 Topologie 88 Trigonométrie 264 R

R´eduction des endomorphismes 62, 278

Diagonalisation 17, 49–50, 64, 87–88, 98, 106, 112, 155, 171, 173, 178, 188, 190, 193, 204, 213–214, 216, 219–220, 224–225, 227, 229, 235, 237, 247, 250, 252, 265, 275–276

´El´ements propres 57, 61, 98, 100–101, 132, 163, 184, 189, 215, 217, 221, 274

Matrice symétrique 12, 86 Polynôme annulateur 203, 211 Polynôme caractéristique 91, 93 Polynôme minimal 176 S

S´erie

S´erie de fonctions 58, 70, 90, 97–98, 109, 122, 130, 197–198, 214, 216, 222–223, 227, 242, 249

S´erie enti`ere 38, 78, 82–83, 95, 102, 106, 142, 180, 211, 217, 225, 230–231, 251, 261, 277

S´erie num´erique 17, 37, 39, 54, 60, 77, 79, 91, 93, 99, 106, 115–116, 138, 152, 202, 204, 210, 224, 235, 244, 263, 280 Structure

Structure d’alg`ebre 2, 6, 65–66

Structure de groupe 7–8, 13, 20, 22, 51, 84–85 Suite

´Equivalent 248

Suite de fonctions 63, 107, 128, 190

Suite r´eelle 9–10, 72, 74, 80, 88, 111, 200, 246, 260, 264, 267, 280 T

Th´eorie des ensembles 66 Topologie

Topologie d’espace vectoriel norm´e 47, 66, 169, 181 Trigonom´etrie 55, 66

L’officiel de la taupe num´ero25 cMMXVIII ´Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

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ÉCOLE NAVALE BCRM BREST

CC600 29240 BREST CEDEX 9

Tél.: 02 98 23 37 00 - Fax : 02 98 23 40 49 www.etremarin.fr — www.ecole-navale.fr L’ÉCOLE

ADMISSION

Pour les élèves de Classes Préparatoires scientifiques aux Grandes Écoles (CPGE) / Concours Centrale-Supélec, banques MP, PC et PSI / Oraux spécifiques organisés par la Marine nationale à Paris.

Pour des étudiants ayant validé leurs deux premières années d’école d’ingénieur dans l’un des établissements avec lesquels l’École navale a conclu un accord de double diplôme : École Centrale de Nantes, IMT Atlantique, Arts et Métiers, Supélec, ENSTA Bretagne, ISAE SUPAERO, ENSTA ParisTech.

- pour les étudiants de l’École polytechnique (de carrière) ; - pour des diplômés de l’enseignement supérieur (sous contrat).

STATISTIQUES DU CONCOURS

270 étudiants dans le cursus ingénieur.

Environ 90 étudiants par an.

FORMATION - CARRIÈRES

Internat gratuit

Aucun, élèves rémunérés environ 1300 €/mois.

RENSEIGNEMENTS PRATIQUES

publi-information

INFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

Page 2 SPÉCIFICITÉS DE LA FORMATION

FORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

L’OUVERTURE À L’INTERNATIONAL

1830Contre-amiral Éric PAGÈS, commandant et directeur général de l’École navale Capitaine de vaisseau Loïc GUYOT

Établissement public — sous tutelle du Ministère des Armées Habilité par la Commission des Titres d’Ingénieur ANNÉE DE CRÉATION

DIRECTEUR DE L’ÉCOLE DIRECTEUR DE LA FORMATION STATUT HABILITATION TITRE INGÉNIEUR LOGEMENT DES ÉLÈVES FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS RECRUTEMENT EN 1^REANNÉE (Statut de carrière) RECRUTEMENT EN 2^EANNÉE (sous contrat) RECRUTEMENT EN 3^EANNÉE NOMBRE D'ÉTUDIANTS DANS L'ÉCOLE NOMBRE DE DIPLÔMÉS

Mastère spécialisé Expert en Énergies Marines Renouvelables (formation civiile) Master 2 Sciences et Technologies spécialité Environnement naval (formation civiile)

AMASONE, Atlantic MAster in Ship Operations and Naval Engineering (formation civile)

L’École navale forme les officiers de carrière de la Marine nationale. Ils ont vocation à assurer des fonctions d’encadrement et de commandement au sein des unités opérationnelles (navires de combat, sous-marins, flottilles de l’aéronautique navale, commandos marine).

Au cours de leur formation à l’École navale, ils suivent le cursus ingénieur leur permettant de développer les com- pétences qui feront d’eux les chefs de la Marine de demain (formation maritime, formation militaire et humaine et formation scientifique.)

Dès leur intégration, les élèves-officiers sont orientés vers une filière :

- la filière « ÉNERGIE »dont sont issus les officiers chargés de la mise en œuvre des systèmes de propulsion, de gestion et de maintien en condition opérationnelle des unités opérationnelles de la Marine nationale (notamment l’éner- gie nucléaire) indispensables à l’action opérationnelle des unités ;

- la filière « ÉNERGIE AÉRONAUTIQUE »dont sont issus les officiers spécialisés dans le maintien en condition opé- rationnelle des aéronefs ;

- la filière « OPÉRATIONS »dont sont issus les officiers chargés de la conduite directe des opérations aéromaritimes.

Les élèves du cursus ingénieur mettent en pratique les savoir-faire appris à l’École navale lors de la « Jeanne d’Arc

», mission d’application à la mer, d’une durée de 5 mois, à bord de bâtiments de la Marine. Après l’obtention de leur diplôme d’ingénieur, en fonction de leur orientation professionnelle, les jeunes officiers sont directement affectés dans les forces ou poursuivent une école de spécialité.

En parallèle du cursus ingénieur pour devenir officier de carrière, deux possibilités de recrutement sont propo- sées pour intégrer la Marine nationale en tant qu’Officier de Marine Sous Contrat :

- être officier-marinier, quartier-maître, matelot ou volontaire officier aspirant et postuler en interne ; - être titulaire d’un diplôme de niveau minimal Bac + 3 et postuler en externe via etremarin.fr.

Les futurs Officiers de Marine Sous Contrat rejoignent l’école pour deux semestres de formation : le 1er, cen- tré sur la formation maritime et militaire, le 2ème à bord de la mission Jeanne d’Arc.

Co-accrédité avec l’ENSTA Bretagne et IMT Atlantique, il est destiné à former des chefs de projet ou des res- ponsables de programme devant intervenir dans le développement de systèmes ou de champs de production d’énergie en mer. Admission à BAC+5.

L’École navale et son Institut de Recherche, en partenariat avec Arts et Métiers Paris Tech, propose une spé- cialité de master recherche rattachée à la Mention FISE du Master Sciences et Technologies des Arts et Métiers Paris Tech. La spécialité « Environnement naval » apporte une ouverture vers le secteur maritime de la mention. Admission à BAC+4.

L’École navale et l’École Centrale de Nantes se sont associées afin d’enseigner l’Atlantic MAster in Ship Operations and Naval Engineering, master international dispensé en langue anglaise. Ce master s’adresse principalement à des étudiants étrangers qui désirent parfaire leur formation en France dans les disciplines du génie maritime. Admission à BAC+3.

Mastère spécialisé Analyse de cycle de vie du navire

(formation civile) Ce mastère spécialisé, co-accrédité avec Centrale Nantes et l'École Nationale Supérieur Maritime (ENSM), s'adresse à des étudiants en formation initiale comme en formation continue. Il a pour objectif de former à la fois des experts possédant, dans le domaine du cycle de vie du navire, des compétences de recherche et de développement et de gestion de projets. Admission à BAC +5.

L’École navale a développé ses relations à l’international à travers la mise en place de partenariats avec des acadé- mies navales et militaires étrangères et des grandes universités maritimes : les échanges de semestre ainsi que les projets de fin d’études (PFE) sont deux points forts du cursus des élèves-officiers.

L’Institut de Recherche de l’École navale (IRENav) est une unité de recherche qui constitue le support essentiel de la formation scientifique au sein de l’École navale. C’est un institut pluridisciplinaire dont les recherches sont orientées vers l’environnement maritime et naval.

Tournoi Sportif des Grandes Écoles de la Défense Séminaire Interarmées des Grandes Écoles Militaires Géopolitiques de Brest

Journées d’Histoire Navale

Association des Anciens de l’École navale : www.alliancenavale.fr Bureau des Élèves : [email protected] LA RECHERCHE

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES

ASSOCIATION DES DIPLÔMÉS

ENS option MP

Planche 1Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

TrouverfdeNdansN, telle que pour tout réel strictement positifλ, pour toute variable aléatoireXsuivant une loi de Poisson de paramètreλ, il existeα(λ)>0 tel quef(X) suive une loi de Poisson de paramètreα(λ).

Trouverfcontinue deR^∗+dansR, telle que∀x >0,∀n∈N^∗, f(nx) =f(x).

Planche 2Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable dès la 1^`êreannée I)Kétant un corps, on noteAuneK-algèbre associative, unitaire, mais non nécessairement commutative et non nécessairement intègre.

On dit queIest un idéal bilatère deAsiIest un sous-espace vectoriel deAet vérifie∀(x, a)∈I×A, xa∈Ietax∈I.

On dit queAest uneK-algèbre simple siAn’admet aucun idéal bilatère non trivial (i.e. non réduit à 0 et non égal àA).

SoitVun espace vectoriel de dimension finie ; montrer queL(V) est uneK-algèbre associative, unitaire, non commutative, et non intègre simple (on pourra montrer qu’en composant à droite et à gauche un élément non nul deL(V), on peut obtenir toute une base de cet espace).

Que se passe-t-il siVest de dimension infinie ? En déduire un idéal bilatère non trivial.

II)On se place dans leR-espace vectorielC⁰(R,R) ; montrer que la famille de fonctions (|x−a|)_a∈_Rest libre.

Planche 3Ulm - Lyon - Cachan - Rennes Soitnun entier premier au moins ´egal `a 3.

On d´ecoupe dansR²le triangle de sommets (0,0),(0, n),(n,0) ennpetits trianglesTide sommets (0,0),(i, n−i),!

i+ 1, n−(i+ 1)"

pouri∈[[0, n−1]].

On noteNipouri∈[[1, n−2]] le nombre de points deZ²`a l’int´erieur deTi(i.e.

Ni=Card(T^◦i∩Z²)).

Montrer que lesNisont tous ´egaux (on pourra utiliser, puis d´emontrer, le lemme suivant : siPest un polygone dont les sommets sont des points deZ², alors on a A=a+b

2−1 avecale nombre de points entiers à l’intérieur deP,ble nombre de points entiers sur la frontière dePetAl’aire deP.

On posef1= cos,fn+1=fn◦cos, montrer que (fi)_i!1est libre.

Xn#→U(n) ; calculer les limites ´eventuelles deP(2^Xncommence par 1) et P(√

Xncommence par 1) quandntend vers +∞.

Planche 6Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable dès la 1^`êreannée On rappelle la définition de l’algèbre des quaternions :Hest unR-espace vectoriel de dimension 4, de base (1, i, j, k), munit d’un produit pour lequel 1 est neutre, i²=j²=k²= 1,ij=−ji=k,ik=−ki=−jetjk=−kj=i; ce produit munitHd’une structure deR-algèbre associative.

Déterminer lesR-algèbres de dimension finie qui sont associatives, intègres, et non-commutatives (on admet que lesR-algèbres de dimension finie qui sont associatives, intègres et commutatives sontRetC).

Planche 7Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable dès la 1^`êreannée On dit que deux automorphismesuetvdeCⁿsont conjugués si et seulement si il existexinversible tel quegx=xh.

Quels sont les automorphismes qui commutent avec tous leurs conjugu´es ? Montrer que sig∈GLn(C), son centralisateur est infini.

Caract´eriser le cardinal de{(un)∈R^N, lim n→+∞un= 0}.

Planche 8Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable dès la 1^`êreannée Soitfun morphisme du groupeU={z∈C,|z|= 1}dans lui-même.

On supposefinjectif ; montrer quefest l’identit´e ou l’applicationf(z) =z−1. Indication donn´ee en cours de planche : montrer quefconserve l’ordre des

´

eléments et regarder ce que faitfpour les petites racinesn-ième de l’unité.

Dans le cas général, montrer quefest de la formef(z) =zⁿoùnest fixé dans Z.Indication donnée en cours de planche : examinerKerfetImf; montrer que fest surjectif.

Planche 9Ulm - Lyon - Cachan - Rennes On note (an) une suite de r´eels positifs et on poseun=

# a1+$

a2+. . .+√an; montrer que (un) converge si et seulement si (a²_n⁻ⁿ) est major´ee.

Soitun=

% 1 + 2

# 1 + 3$

1 +. . .+ (n−1)√

1 +n; montrer que (un) tend vers 3 (on pourra s’int´eresser `af(n) =n(n+ 2) et l’exprimer en fonction def(n+ 1)).

Planche 10Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable dès la 1^`êreannée I)Trouver tous les polynômesp∈R[X] vérifiantp([0,1])⊂[0,1] et

∀f∈C⁰([0,1],R),

&1 0

f(t)dt=

&1 0

(f◦p)(t)dt.

II)La suitep1, p2, . . .des nombres premiers est-elle une suite r´ecurrente lin´eaire ? Planche 11Ulm - Lyon - Cachan - Rennes

On dit queM∈SL2(R) est circulaire si elle est de la formeP QP−1, avec P∈SL2(R) etQ∈SO2(R) ; montrer que toute matrice deSL2(R) est produit de deux matrices circulaires.

On donne deux matricesAetBsym´etriques r´eelles, de taillen, de valeurs propres respectivesa1, . . . , anetb1, . . . , bn; montrer que

'n i=1

(bi−ai)²!tr! (B−A)²"

. Indications donn´ees en cours de planche : montrer que l’on peut se ramener au cas o`uAest diagonale ; en notantB=QDQ^TavecDdiagonale etQ= (qi,j) orthogonale, exprimertr!

(B−A)²"

en fonction deQD−AQ.

Remarquer que la matriceQ= (q_i,j²)est bi-stochastique (i.e. les coeﬃcients sont positifs et la somme des coeﬃcients sur chaque ligne et chaque colonne vaut 1).

On se ramène ainsi à déterminer le minimum de la somme '

1"i,j"n p_i,j(b_j−ai)² avec(pi,j)matrice bi-stochastique quelconque.

Planche 13Ulm - Lyon - Cachan - Rennes, abordable dès la 1^`êreannée I)Montrer queT∈L(R2n[X]), tel que

&1

−1

|T(P)|(t)dt=

&1

−1

|P|(t)dt, vérifie : pour toutPpositif (négatif) sur [−1,1],T(P) est positif (négatif) sur [−1,1].

Montrer que si∀t∈[−1,1], P(t)>0, alors∀t∈[−1,1], T(P)(t)>0.

II)Que dire d’un sous-groupe strict et ferm´e du groupe des unit´es deC? Planche 14Ulm

SoitBune forme bilinéaire sur (Cⁿ)², à valeurs dansC. On la suppose non dégénérée, c’est à dire∀x∈Cⁿ,∃y∈Cⁿ,B(x, y)̸= 0.

Montrer qu’il existe un uniquea_BdansL(Cⁿ) tel que :

∀(x, y)∈(Cⁿ)²,B(x, y) =B(y, a_B(x)).

SoientB,Cdeux formes bilin´eaires sur (Cⁿ)², `a valeurs dansC; on dit queB∼C s’il existeφ∈GL(Cⁿ) telle que pour tout (x, y)∈(Cⁿ)²,B(φ(x),φ(y)) =C(x, y).

On suppose quea_Beta_Csont diagonalisables. Montrer queB∼C⇔a_B∼a_C. L’examinateur interrompt l’exercice pour poser cette question : pourP=

+∞'

k=0 akX^k

un polynˆome deR[X], on pose∥P∥1=

&1 0

|P|et∥P∥∞= sup k∈N|ak|.

Que dire de∥ ∥1et∥ ∥∞? Planche 15Ulm

On donneP∈C[X], (a, b)∈C²; que dire deP−1([a, b]) ?

Une suite de variables aléatoireXisuivent toutes la même loi ; montrer qu’il en existe une sous-suite bornée avec une probabilité 1.

Planche 16Ulm

Un parking rectiligne, initialement vide, comportencases ; lorsqu’une voiture se gare `a la placei∈[[1, n−1]], elle occupe les casesieti+ 1.

Une suite de variables aléatoires indépendantesY_k, identiquement distribuées sur [[1, n−1]], représentent la place où lak-ième voiture essaie de se garer en arrivant dans le parking. Si elle ne peut pas se garer sur la placei=Yk(ω), parce que l’une des casesioui+ 1 est occupée, elle repart sans se garer.

On itère l’expérience jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de place disponible, c’est à dire moins de deux cases consécutives libres.

Déterminer une estimation asymptotique de l’espérance deXnla variable aléatoire représentant le nombre de cases vides à la fin.

Planche 17Ulm

I)Soitµune mesure de probabilité sur GLn(R) à support fini, soitA1, A2, . . . une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi deµ.

Montrer queUn=1

nln|||A1. . . An|||converge en probabilit´e vers une constantec (i.e.∀ε>0,lim

n→∞P(|Un−c|>ε) = 0), où||| |||est une norme subordonnée à une norme quelconque surRⁿ.

II)Soitσ∈Sn, on poseMσ= (δ_i,σ(j))(i,j)∈[[1,n]]²la matrice de permutation associ´ee. Donner une CNS surσpour queMσsoit diagonalisable dansR. III)Soit (an)_n∈_Nune suite `a valeurs dansR^∗+telle que'

n∈N

anconverge ; existe- t-il une suite (bn)_n∈_NdansR^∗+telle que'

n∈N

bnconverge et'

n∈N an bnconverge ? Planche 18Lyon - Cachan - Rennes

Soitφ(0) = 0 et∀x∈R^∗,φ(x) = e−1/x²·Montrer que! φ(x−a)"

a∈R, est libre.

Planche 19Lyon

Trouver les fonctionsfde classeC²surR, `a valeurs dansR³, v´erifiant : (i)∀t∈R,∥f(t)∥₂= 1 (ii) lim

t→±∞f(t) =±eoùe∈R³. (iii)∀t∈R, f(t) est parallèle àf′′(t)+< f(t)|e > e.

Planche 20Lyon, abordable dès la 1^`êreannée

SoitGun groupe ab´elien fini de cardinalqnot´e multiplicativement. On noteE l’ensemble des applications deGdansCet ˆGl’ensemble des morphismes deG versC^∗. Enfin, pour (f, g)∈E², on pose< f|g >='

x∈G f(x)g(x).

Montrer que l’application qui `af∈Eassocie$

< f|f >est d´efinie et que c’est une norme sur leC-espace vectorielE.

Montrer queF= (1

√qφ,φ∈Gˆ )

est une famille orthonorm´ee (i.e.∀(φ,ψ)∈Gˆ², < 1

√qφ|1

√qψ>=δ_φ,ψ).

x0−→φ(x)ψ(x) est-il un morphisme ? Que peut-on en dire ? SoitHun sous-groupe deG; pourφ∈G, on note ˜ˆ φla restriction deφ`aH.

Montrer que l’application, d´efinie sur ˆG, qui `aφassocie ˜φest surjective.

On donnea, b, ctrois r´eels strictement positifs distincts ; trouver les fonctionsC^∞ telles que∀x∈R, f(ax) +f(bx) +f(cx) = 0.

L’officiel de la taupe numéro25 Page3 ⃝MMXVIII ć Editions Officiel de la Taupe Gyroscope

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OPTIONS DE 3

^E

ANNÉE

RECRUTEMENT EN 1^REANNÉE ^●Sur concours commun Mines-Ponts

^●Sur titre et sélection pour les titulaires d’une L3 ou d’un titre étranger jugé équivalent (10 places)

^●La prépa des INP (2 places)

NOMBRE DE PLACES OFFERTES EN 2018 MP : 70 - PSI : 69 - PC : 34 - PT : 6 - TSI : 3 NOMBRE DE PLACES OFFERTES EN 2019 MP : 75 - PSI : 75 - PC : 35 - PT : 6 - TSI : 3 DATE DU CONCOURS 2019 du 6 au 8 mai - Informations : https://minesponts.fr/

ACTIVITÉS PARALLÈLES

^●

BDE, Junior Entreprise, plus de 80 clubs techniques (micro-drones, espace, robotique, aéromodélisme), sports aéronautiques, associations culturelles,...

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES

^●

Forum Toulouse Technologies, tournoi sportif des Grandes Écoles Aéronautiques, Supaerowing (régate internationale d'aviron), AirExpo (grand meeting aérien), etc.

LOGEMENT DES ÉLÈVES

6 résidences étudiantes neuves sur le campus - 1000 studios et duplex. Un campus de 22 hectares : maison des élèves, espaces de détente et de loisirs, installations sportives (piscine couverte, murs d'escalade, terrains de foot et rugby,...).

TYPE DE BOURSES

Bourses sur critères sociaux

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 2017/2018

2700 € (étudiants de l’UE), 4700 € (étudiants hors UE)

L’ÉCOLE

ADMISSION

STATISTIQUES DU CONCOURS

INFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES FORMATION

RENSEIGNEMENTS PRATIQUES

publi-information

Page 4

Première formation d'ingénieurs française dans les domaines aéronautique et spatial, l'une des toutes premières en Europe, le cycle ingénieur ISAE-SUPAERO forme en trois ans des ingénieurs généralistes et polyvalents, capables de maîtriser des systèmes complexes et de réinvestir leurs compétences dans de nombreux secteurs économiques.

Au-delà des compétences scientifiques et techniques de très haut niveau, des parcours ren- forcés, international, recherche, innovation et entrepreneuriat permettent aux étudiants d’adapter leur formation à leur projet professionnel et aux industriels de trouver à la sortie de l’école des profils variés permettant de répondre à leurs attentes. Grâce à des accords de double diplôme(HEC, Sciences Po, ESCPI,...), il est possible de compléter sa formation et d'acquérir une double compétence... Des formations complémentaires plus courtes permet- tent également d’acquérir des compétences en ingénierie des affaires, en management de l’innovation, en ingénierie systèmes, en droit et en développement durable.

Le programme couvre l'ensemble des disciplines de base de l'ingénieur, en s'appuyant tout particulièrement sur les domaines d'application que sont l'aéronautique et l'espace. Le pro- gramme de formation est construit autour d’un socle commun décliné en trois grands champs, scientifique, humanités, ingénierie et entreprise. Le cursus est jalonné par des pro- jets permettant une ouverture intellectuelle, scientifique et humaine construits autour de la créativité, l’innovation, la recherche, l’ingénierie et l’entrepreneuriat.

La 3

^e

année combine un domaine d’application et une filière disciplinaire. Cette structuration permet de répondre au double objectif de formation : expertise et polyvalence.

La filière disciplinaire permet à l’étudiant de disposer d’une expertise dans une visée profes- sionnelle technique ou dans un objectif de poursuite en doctorat.

Six filières sont proposées : dynamique des fluides ; structure et matériaux ; observation de la Terre et sciences de l’Univers ; informatique, télécommunications et réseaux ; sciences de la décision ; signaux et systèmes.

Les domaines d’application permettent à l’étudiant de compléter la dimension architecte sys- tème. Cinq domaines sont proposés : conception et opération des aéronefs ; conception et opération des systèmes spatiaux ; systèmes autonomes : robots, drones et missiles ; énergie, transport et environnement ; modélisation et simulation des systèmes complexes.

→

93 accords académiques et 32 doubles diplômes sont possibles avec les meilleures univer- sités étrangères tant aux États-Unis (Stanford, MIT, Michigan, Georgia Tech, CalTech, Berkeley), qu'au Canada ou en Europe (Polytechnique Montréal, universités de Cranfield, Stuttgart, Munich, Turin, Milan, Rome, Madrid, Barcelone, ...), en Chine (Nanjiing, Xian),...

→

Membre fondateur du réseau européen PEGASUS (universités aéronautiques et spatiales).

ANNÉE DE CRÉATION 1909

DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Monsieur Olivier LESBRE

STATUT Établissement public sous tutelle du ministère des Armées HABILITATION TITRE INGÉNIEUR Formation habilitée par la Commission des Titres d'Ingénieur

SPÉCIFICITÉ DE LA FORMATION

ACCORDS INTERNATIONAUX

ISAE - SUPAERO 10, avenue Édouard Belin

BP 54032

31055 TOULOUSE Cedex 4

www.isae-supaero.fr

RECRUTEMENT EN 2^EANNÉE ^●Sur titres et sélection pour les détenteurs d’un master M1, d’un titre ingénieur ou d’un titre étranger jugé équivalent (5 places)

^●Après examen probatoire pour les officiers des armées RECRUTEMENT EN 3^EANNÉE ^●De droit pour les Ingénieurs des études et techniques l’armement

^●Sur dossier et entretien pour les élèves de l’École polytechnique (Possibilité de rentrer en 2^eannée)

^●De droit pour les ingénieurs de l’armement (Possibilité de rentrer en 2^eannée)

I)SoitAun anneau commutatif fini, admettantN!2 diviseurs de 0A, ce d´ecompte incluant 0Alui-mˆeme ; montrer que|A|"N².

II)Soitfune application de classe C²de [0,1] dansRsatisfaisant les conditions f(0) =f^′(0) =f^′(1) = 0 etf(1) = 1 ; montrer qu’il existecetc^′tels que 0< c <1

2< c′<1 etf′′(c)−f′′(c′) = 8

On appelleEl’ensemble des applications de classe C³satisfaisant les même conditions qu’à la question précédente.

D´eterminer sup f∈E

! inf x∈[0,1]f^′′′(x)"

puis inf f∈E

!sup x∈[0,1]f^′′′(x)"

. Planche 23Lyon, I abordable dès la 1^`êreannée I)Montrer que∀n∈N,∃!Tn∈R[X] tel queTn

# X+1

X

$

=Xⁿ+ 1 Xⁿ. Montrer queTn∈Z[X], qu’il est de degr´enet unique.

Calculer la décomposition en élément simples de1 Tn·

II)Donner une CNS sur (a, b, c, d)∈Z⁴pour qu’il existe une infinit´e den∈N tels queP DCD(an+b, cn+d) = 1 ?

Planche 24Cachan - Rennes

On se donne deux fonctionsf,ηde classeC²deRdansR,ηsuppos´ee convexe.

On se donneude classeC²deR^∗+dansR, v´erifiant∂u

∂t+∂(f◦u)

∂x = 0.

On posev=η◦u; d´eterminer une fonctiongtelle que∂v

∂t+∂(g◦u)

∂x = 0.

En fait, il n’existe pas de solution de classeC²à l’équation que vérifieu; on la modifie donc légèrement : pourε>0,∂uε

∂t+∂(f◦uε)

∂x =ε∂²uε

∂x²· On posevε=η◦uε; déterminer, à l’aide de la fonctiongde la question précédente, une équation aux dérivées partielles vérifiée parvε.

Soitφde classeC²deR^∗+dansR, positive et `a support compact.

Montrer que lim ε→0I(ε) = lim

ε→0

%_+∞

0

% R

&

η(uε(t, x))∂φ

∂t+g(uε(t, x))∂φ

∂x '

dxdt"0.

I)SoitM∈M2(R) diagonalisable, de valeurs propresαetβ; à quelle condition nécessaire et suffisante sur la trace et le déterminant, a-t-onαetβpositives ? SoientC∈M1,n(R),S∈Sn(R) etf, définie surRⁿ, à valeurs dansR, par f(X) =CX+^tXSX; donner une condition nécessaire et suffisante surCetS pour que 0 soit un extremum local def.

En dimension 2,f(x, y) =−4 + 3xsin(3x) + 4 cos(x)−5(e^x−1) ln(1 +y) ; 0 est-il un extremum local def?

II)Soitf, d´efinie surRⁿ, `a valeurs dansR^∗+de classeC²; on pose, pourX∈Rⁿ, M(X) =

( ∂²f

∂xi∂xj

)

i,j

. On suppose que∃C∈R^∗+,∀X∈Rⁿ,∥M(X)∥"C.

Montrer que∀(X, H)∈(Rⁿ)², pour toutλ∈R,f(X)+λdXf(H)+λ² 2C∥H∥²>0.

Planche 26Cachan - Rennes, abordable dès la 1êre^` année On noteHl’ensemble des homéomorphismes continus de [0,1].

Pour (a, b)∈]0,1[², montrer qu’il existeh∈Htel queh(a) =b.

On posed(f, g) = sup

x∈[0,1]|f(x)−g(x)|; d´eterminerE={d(h, Id), h∈Het h(a) =b}.

On noteDle sous-ensemble deHdes hom´eomorphismes de classeC¹et d1(f, g) =d(f, g) +d(f′, g′) ; d´eterminerE={d1(h, Id), h∈Heth(a) =b}.

Planche 27Informatique Ulm - Lyon - Cachan - Rennes SoitΣun alphabet fini ;∀u∈Σ∗, on note|u|son nombre de lettres.

ϵest le mot vide,pune application⟨⟨poids⟩⟩, deΣdansN,Σn=p−1({n}) et si u=a1a2. . . an, p(u) =

*n i=1 ai. On admet le lemme de l’´etoile :

siLest un langage reconnaissable,∃n0∈N,∀u∈L,|u|!n₀alorsupeut s’´ecrirexyzavecy̸=ϵet∀n∈N, xyⁿz∈L.

On d´efinit l’ensembleSdes mots significatifs par :

•Sia∈σ0,ω=a∈S

•Pourk!1, b∈Σket (ω1, . . . ,ωn)∈S^k,ω=bω1. . .ωk∈S.

On dit qu’un mot est équilibré si|ω|=p(ω) + 1 et si pour tout préfixe strictν deω,|ν|"p(ν).

PourΣ={a, b, c, d}, p(a) = 0, p(b) = 1, p(c) = 2, p(d) = 3, donner des exemples de mots de taille 1, 2, 3, 4 et calculer leur poids.

D´eterminer le poids deω∈Sde taillen.

Donner une CNS pour queS̸=∅puis pour queSsoit infini.

Montrer queSest rationnel si et seulement siΣ=Σ0∪Σ1. Montrer que tout mot significatif est ´equilibr´e.

Montrer que siωest équilibré,∀i∈[[1,|ω|]], il existe un unique facteur équilibré deωcommen¸cant à l’indicei.

Montrer que tous les mots ´equilibr´es sont significatifs.

D´eterminer la longueur de tous les mots significatifs de taillenen fonction dep etΣ.

Planche 28Informatique Ulm

On suppose poss´eder les deux fonctions suivantes, enO(1) :

•unif(n)renvoie un entier compris entre 0 etn, avec une probabilit´e uniforme.

•ber(p)renvoie un booléen,Vraiavec une probabilitép,Fauxavec une probabilité 1−p.

1. Donner une fonction qui mélange uniformément un tableauT, en place, en une complexité linéaire en la taille du tableau.

On se donne un ensembleEet un entierk.

2. Donner un algorithme qui tire uniform´ementkentiers dansE, lin´eaire en la taille deE.

On suppose à présent queEest trop grand pour pouvoir être stocké en mémoire d’un coup, on a donc une fonctionsuivantE()qui renvoie le prochain élément de

Equi va être lu. On a également une fonctionToutluE()qui renvoie un booléen indiquant si l’on a tout lu dansE.

3. Donner un algorithme faisant la même chose avec la même complexité.

A pr´` esent, on se donneW, une liste denpoids entiers de sommeS(non donn´ee).

4. En n’utilisant queunif, donner un algorithme enO(n) tirant un entier aléatoirement dans{0, . . . , n−1}tel que la probabilité que l’entierisoit tiré, soitW[i]

S ·

5. Toujours en n’utilisant queunif, donner un algorithme faisant la mˆeme chose, mais en s’autorisant un pr´e-calcul enO(n) puis chaque tirage enO(lnn).

R´esoudre 4. en n’utilisant queber.

Planche 29Informatique Lyon - Cachan - Rennes

On dispose d’algorithmes permettant d’effectuer les opérations élémentaires avec les algorithmes de l’école primaire ; par exemple, la complexité de l’addition de deux entiers écrits avecketlbits est enO(k+l).

Parmi les entiers 2,17,68,67,561,167,168,279,10 201 lesquels sont premiers ? Donner un algorithme enO(√

nln(n)²) d´eterminant si un entiernest premier.

On consid`ere l’algorithme suivant :

•on choisit al´eatoirementkentiersa1, . . . akdans [0, n−1] ;

•si, pour touti,aⁿ⁻¹_i ≡ai[n], on renvoie⟨⟨nest probablement premier⟩⟩; Donner la complexité, puis dire si, étant donné un entiernpremier, l’algorithme renvoie bien que c’est un premier.

Existe-t-il des entiersncompos´es, tels que quelque soit lesaichoisis, le test renverra quenest premier ?

Voici l’algorithme de Miller-Rabin : soitnun nombre premier impair que l’on d´ecompose sous la formen= 2^sd+ 1 :

•ou biena^d≡1 [n] ;

•ou bien il existei∈{1, . . . , s}tel quea²ⁱ≡ −1 [n].

En donner la complexit´e. Peut-il se tromper ?

SoitGun groupe ab´elien, eta, bdansGd’ordres premiers entre eux.

Montrer que l’ordre deabest le produit des ordres deaet deb.

Soitppremier ; montrer qu’il existe un élément d’ordrep−1 dans (Z/pZ)^∗. Montrer qu’il existe un élément d’ordrep(p−1) dans (Z/p²Z)∗. Montrer que l’algorithme de Miller-Rabin se trompe avec une probabilitép"1

2^k· ENS option PC

Planche 30Ulm - Lyon - Cachan - Rennes Soitfune fonction deRdansR, continue et 1-p´eriodique.

Montrer que l’équation différentielleu′+u=fadmet une solution 1-périodique.

On sait que l’équation différentielleu′+u³=fadmet des solutions qui varient continûment avec la condition initialeu(0) ; montrer qu’il existe une solution 1-périodique.

On dispose denchaises alignées ; un personne ne peut s’assoir sur l’une d’elles que si elle est vide ainsi que ses deux voisines (sa voisine, pour une chaise de l’une des extrémités). Les personnes arrivent une par une et on noteXnle nombre de personnes assises à la fin de l’expérience.

Donner la loi deXnpour 1"n"5.

Trouver une relation de récurrence vérifiée par l’espérance deXn. Planche 32Ulm - Lyon

Montrer que dans l’ensemble des rectangles de même périmètre, le carré est celui qui maximise l’aire et que c’est l’unique.

Montrer l’in´egalit´e 1 aⁿ

+n k=1

ak"exp ,

1 na

*n k=1

ak−1 -

o`u lesaketasont des r´eels strictement positifs.

En déduire l’inégalité arithmético-géométrique ,_n

+

k=1 a_k

-1/n

" 1 n

*n k=1

a_k(on pourra appliquer l’inégalité précédente avecaastucieusement choisi).

Montrer qu’à surface fixée, parmi les parallélépipèdes rectangles, le cube est l’unique qui maximise le volume.

Planche 33Lyon

On donnefcontinue et int´egrable deR+dansRetg(x) =

%+∞

0 e^−txf(t)dt.

Donner la limite degen +∞.

Donner un ´equivalent degen +∞sifestC¹et% ..f^′.

.converge, puis dans le cas g´en´eral.

Planche 34Lyon

Aest une matrice symétrique réelle, carrée d’ordren, de diagonale nulle et dont tous les coefficients sont dans [0,1]. Chaque colonne deAcontient exactement k >0 coefficients non nuls et∀(i, j)∈[[1, n]]², i̸=j⇒ ∃!l∈[[1, n]], ail=ajl= 1.

Donner le spectre deAet montrer quen=k²−k+ 1.

Discuter du nombre de 0 ´eventuels d’une matrice orthogonale r´eelle de taille 3.

Planche 36Cachan - Rennes, I abordable dès la 1^`êreannée

I)Montrer que les coefficients deP∈R[X], à racines réelles, sont tous de même signe si et seulement si ses racines sont négatives.

II)On donne une variable al´eaoireYn`a valeurs dans [[0, n]] et on suppose P(x) =

*n k=0

P(Yn=k)x^k`a racines r´eelles.

Montrer queYnsuit la même loi que la somme denvariables aléatoires de Bernoulli indépendantes.

(8)

ANNÉE DE CRÉATION 1948

DIRECTEUR DE L’ÉCOLE Roland FORTUNIER STATUT Établissement public

HABILITATION TITRE INGÉNIEUR Habilitée par la Commission des Titres d’Ingénieur

RECRUTEMENT DE 1

^RE

ANNÉE Concours Communs INP (MP-PC-PSI-PT-TSI-DEUG), Concours ATS

Sur dossier (DUT, L3 et L2 renforcée mécanique mathématiques et sciences physiques)

RECRUTEMENT DE 2

^E

ANNÉE Sur dossier (M1 mécanique et physique, doubles diplômes)

publi-information

ISAE — ENSMA École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique Téléport 2 - 1, avenue Clément Ader - BP 40109 86961 FUTUROSCOPE - CHASSENEUIL Cedex

Tél.: 05 49 49 80 80 - fax : 05 49 49 80 00 www.isae-ensma.fr

SPÉCIFICITÉ DE LA FORMATION Diplôme d’ingénieur ENSMA pour l’aérodynamique, l’énergétique et la thermique, la mécanique, l’informatique.

OPTIONS DE 3

^E

ANNÉE

OPTIONS

: • aérodynamique • énergétique • thermique • matériaux avancés • structures

• informatique et avionique

ACCORDS INTERNATIONAUX • Programmes européens, réseau PEGASUS, BRAFITEC, GE4, CREPUQ, ARFITEC, SIAE Tianjin, PFIEV (Programme de Formation d’Ingénieurs d’Excellence au Vietnam)

• 55 accords dans 24 pays (Europe, États-Unis, Canada, Chine, Vietnam, Mexique, Brésil, Australie, Liban...)

• 13 doubles diplômes

RESPONSABLE DU CONCOURS Secrétariat des Concours Communs INP NOMBRE DE PLACES EN 2018 150

NOMBRE DE DIPLÔMÉS EN 2017 173

DATE DU CONCOURS 2019 mai 2019 (Concours Communs INP)

ACTIVITÉS PARALLÈLES • Association des Anciens : ENSMA Contact • Cercle des élèves

ACTIVITÉS INTER ÉCOLES • Membre du Groupe ISAE (ISAE-Supaero, ESTACA, École de l’air, SUPMECA) • Membre du Réseau Polyméca (ENSIL-ENSCI Limoges, ENSIAME Valenciennes, ENSMM Besançon, ENSTA Bretagne, SUPMÉCA Paris, SEATECH Toulon, ENSEIRB-MATMECA Bordeaux)

LOGEMENT DES ÉLÈVES Résidences du CROUS, d’Habitat 86 et privées TYPE DE BOURSES Bourses de l’enseignement supérieur

FRAIS DE SCOLARITÉ ANNUELS 601 € de droits universitaires. Les étudiants boursiers sont exonérés des droits universitaires.

L’ÉCOLE

ADMISSION

STATISTIQUES DU CONCOURS

FORMATION RENSEIGNEMENTS PRATIQUES

INFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

Page 6

ENS - ´Ecole Polytechnique - option PSI Planche 37Ulm - Cachan - Rennes

Pour (an) suite born´ee de r´eels strictement positifs, on pose∆an=an−an+1et

∆²an=∆(∆an) =∆an−∆an+1. On suppose que∀n!0,∆²an!0.

Montrer que (an) est d´ecroissante. Que peut-on en d´eduire ?

Montrer que∀n!0,∀p!0, p"n, n∆an=p∆an+ap−an+1et en d´eduire que lim

n→+∞n∆an= 0. Montrer que!

(n+ 1)∆²anconverge.

On notevn=

"n k=0

uko`u (uk) est une suite quelconque de r´eels, on suppose que

n→+∞lim anvn= 0 et que 1 n+ 1

"n k=0

vkconverge ; montrer que! anunconverge.

On choisita0= 6,a1= 3 et∀n!2, an= 1

lnn; montrer que∀n!0,∆²an!0 (on donne ln 2 = 0,63).

Planche 38Ulm - Cachan - Rennes

I)Soit (an)_n∈_Nd´efinie para0= 1 et∀n∈N, an+1= 1 n+ 1

"n k=0

ak n−k+ 2· L’objectif est de calculerL= lim

n→∞

"n k=0 ak

2^k. On posef(x) = +∞"

n=0 anxⁿ. Montrer que le rayon de convergence de"

n!0

anxⁿest supérieur ou égal à 1.

Montrer queLexiste et est finie.

Montrer que pourx∈[0,1[,f′(x) = f(x) +∞"

n=0

bnxⁿdont on pr´ecisera les coeﬃcients et le rayon de convergence. Exprimer ln(f(x)), puis calculerL.

II)Deux variables ind´ependantesXetYsuivent une loi de Poisson de param`etre λ>0. On poseM= max(X, Y).

Donner un ´equivalent en l’infini deP(M=n).

I)Soits∈]1,+∞[, en notantd(n) le nombre de diviseurs denpourndansN^∗, on veut montrer que la s´erie"

n!1 d(n)

n^s converge.

Soitn ∈ N^∗, on introduit la d´ecomposition denen facteurs premiers : n=p^α₁¹. . . p^α_k^k, aveck∈N^∗. Montrer qued(n) =

#k i=1

(1 +αi).

Soitε∈]0,1], montrer que sipi!2^1/ε,1 +αi p^εα_iⁱ "1.

Donner le maximum def(x) =1 +x

2^εx pourx∈R+et en déduire qu’il existe un réelCεne dépendant que deε, tel qued(n)"Cεn^ε. Conclure.

II)Loi deXetY, variables aléatoires non presque sûrement constantes, entières, indépendantes, telles queP(X+Y >4) =P(X+Y= 3) =P(X+Y= 1) = 0 etP(X+Y= 0) =1

6, P(X+Y= 2) =1

2, P(X+Y= 4) =1 3· Planche 40Ulm - Cachan - Rennes

On donnef, de classeCⁿ⁺¹de [0,1] dansR, (αj), telle queα1= 0 et d´efinie par P1(x) =1

2−x,Pj+1(x) =

$x 0

(αj−Pj(t)) dt,αj+1=

$1 0

Pj+1(t)dt.

Montrer que :

$1 0

f(x)dx−1 2(f(0) +f(1)) =

"n k=1

$1 0

αkf^(k)(x)dx−

$1 0

Pn+1(x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)dx.

Montrer que∀j∈N^∗,α_2j−1= 0 etPj(x) = (−1)^jPj(1−x).

Planche 41Ulm - Cachan - Rennes P(X) =

"m k=0

a_m−kX^kest dit entier si∀k∈[[0, m]], a_m−k∈Zet il est dit à valeurs entières si∀k∈Z, P(k)∈Z. Montrer quePentier est à valeurs entières.

Étudier la réciproque à l’aide de%_X

m

&

=X(X−1). . .(X−m+ 1)

m! ·

Montrer que, pour tout polynômePde degrém, à coefficients réels, il existe (b₀, . . . , bm), avecb0̸= 0, tels queP(X) =

"m k=0

b_m−k '_X

m (

.

Montrer, à l’aide de la question précédente, que∀k∈[[0, m]], P(k)∈Zsi et seulement siPest à valeurs entières.

Montrer que, s’il existen∈Ntel que∀k∈[[0, m]], p(k+n)∈Z, alorsPest `a valeurs enti`eres.

On posef(j) =

"m k=0

b_m−kz^k+"

k!1 b_−k

z^k, oùfest une série entière qui converge pour|z|> R >0 ; on supposeb1, . . . , bmrationnels etf(j)∈Zpour une infinité dej∈Z. Montrer queb0∈Qet∀k!1, b_−k= 0.

On suppose maintenant que∀j∈Z, f(j)∈Z; montrer quefest un polynôme à valeurs entières.

SoitA∈Mn(R) symétrique telle que∀V∈Rⁿ,^tV AV!0 ; soientB∈Rⁿet S={U∈Rⁿ, AU=B}. On suppose queS̸=∅. On définit aussi le système différentiel (E) :X^′(t) =−AX(t) +Bavect∈R+.

Montrer que les valeurs propres deAsont positives r´eelles.

Donner les solutions constantes de (E).

Montrer que siXetYsont solutions de (E) surR+, alorst→||X(t)−Y(t)||² est d´ecroissante surR+.

Montrer queXest born´ee et qu’il existeX_∞∈Stel queX_∞= lim t→+∞X(t).

Montrer que||X(0)−X_∞||= inf U∈S||X(0)−U||.

Que se passe-t-il siS=∅? Planche 43Ulm - Cachan - Rennes

I)Une variable aléatoire discrèteX, à valeurs dansN, dont la série génératrice a un rayonR >1, vérifie∀(x, y)∈R², x²+y²< R²⇒G(x)G(y) =1

2G() x²+y²).

D´eterminerG(0).

Montrer que∀k∈N, P(X= 2k+ 1) = 0.

Montrer queGest solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 dont on exprimera les coefficients en fonction dexetG′(1).

En d´eduire l’expression deG, puis les valeurs deE(X) etV(X).

II)Que dire de la convergence de"

n!2 (−1)ⁿ

$+∞

α

e^−xⁿdxselonα∈R+?

Planche 44Cachan - Rennes Donner le domaine de d´efinition def(x) =

$_+∞

0 sin(tx) 1 +t³dt.

Sur quel domaine est-elle continue ? D´erivable ? Calculerf′(0) (on pourra utiliser t

1 +t³ =1 3

* t+ 1 t²−t+ 1− 1

t+ 1 +

sans le d´emontrer).fadmet-elle une limite en +∞?

On donneA∈Mn,m(R) et on noteFA={M∈Mm(R),^tM M=^tAA}.

Sim=n, caract´eriserF_I_n,F0etF_ApourAinversible.

Montrer queFAcontient au moins une matrice sym´etrique (on pourra montrer que les valeurs propres de^tAAsont r´eelles positives).

Montrer queMetAont mˆeme rang.

On suppose queFAcontient une matriceNnilpotente non nulle.

Montrer que^tN /∈FA.

Planche 46X, abordable dès la 1^`êreannée

Soient (E, < ., . >) un espace euclidien,n∈N^∗et (u1, . . . , un)∈Eⁿ, on note M= (< u_i, u_j>)1"i,j"netD(u₁, . . . , un) = det(M).

Donner une CNS pour queMsoit inversible. SiMest inversible,x∈Eet F= Vect(u1, . . . , un), montrer qued(x, F) =

,D(x, u1, . . . , un) D(u1, . . . , un)· On munitR[X]²du produit scalairef(P, Q) =

$1 0

P(t)Q(t)dt.

Soit (a1, . . . , an, N)∈Nⁿ⁺¹distincts deux `a deux ; on admet la formule du d´eterminant de Cauchy :

si (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)∈R²ⁿetA= ( 1 xi+yj), det(A) =

#

i<j

(xj−xi)(yj−yi)

#

i,j (xi+yj+ 1)

·

Calculerd%

X^N,Vect(X^a1, . . . , X^an)&

.

Soit (ai)∈N^Nune suite d’entiers strictement croissante ; donner une CNS pour qu’`aNfix´e, lim

n→+∞d%

X^N,Vect(a1, . . . , an)&

= 0.

Planche 47X

Soientd∈N^∗etE=R^d. SoientB₁etB₂deux boules ferm´ees de centresx₁et x2et de mˆeme rayonr >0.

Trouverrminle rayon minimal d’une boule qui contientB1∩B2. SoitKun compact deR^d,Rla borne inférieure de tous les rayons des boules fermées qui contiennentK. Soit (Bn)_n∈_Nune suite de boules fermées de rayon rnet de centrexntelles queBncontientKpour tout entiernet lim

n→+∞rn=r.

Vers quoi tend la suite de terme g´en´eralzn= sup k>n(||xk−xn||) ? Planche 48X

Soitλ∈R,T >0 etfd´erivable sur [0, T] telle que∀t∈[0, T], f′(t)"λf(t).

Majorerf(t) pourt∈[0, T].

SoitA∈M2(R) telle que det(A)>0 et tr(A)²>4 det(A).

On admet que si lim

t→+∞||Y(t)||= +∞etPinversible, alors lim

t→+∞||P Y(t)||= +∞.

Quel est le comportement quandttend vers +∞des solutions de l’équation différentielleX′=AX?

Soientf1etf2deux fonctions de classeC¹deR²dansRetf= (f1, f2) telle quef(0,0) = (0,0). On poseJ(f) =

⎛

⎜⎝

∂f1

∂x1(0,0) ∂f2

∂x1(0,0)

∂f1

∂x2(0,0) ∂f2

∂x2(0,0)

⎞

⎟⎠⁼'₋₂ ₂ 1 −2 (

(jacobienne defen (0,0)). Soityde classeC¹deRdansR²telle quey^′=f(y).

Quel est le comportement en +∞dey? Planche 49X

A=

⎛

⎝

2 0 0 5

0 0 −1 0

0 1 2 0

0 0 0 2

⎞

⎠est-elle diagonalisable ? Trouver les plans stables parA.

Trouver les polynˆomesPtels queP(A) soit diagonalisable.

Planche 50X

PourAetBmatrices complexes,carrées de taillenet non nulles, l’endomorphisme φ, défini surMn(C) parφ(X) = tr(AX)Best-il diagonalisable ? Quel est le produit scalaire usuel deMn(R) ? Vérifier que s’en est bien un.

D´eterminer une CNS pour queφsoit un projecteur orthogonal deMn(R).