1 2 et5 2il ya:

Gilles Nithart

1. Parmi 17 nombres entiers naturels distincts choisis dans l'ensemble desentiers de 1à25, montrer qu'il

en existe toujoursaumoins deuxpet qtelsqueleproduit pqestuncarré parfait.

Entre

1 ²

^et

5 ²

^{il ya:}

cinqcarrés,1,4,9,16et25;

trois doublesdecarrés,2,8et18;

deux triplesdecarrés,3,12;

deux pentuplesdecarrés,5,20;

deux hextuplesdecarrés,6,24;

Ilyadonc

25 − 14 = 11

^{nombresen dehorsde cescinq familles.Puisque}

11 + 5 < 17

^{nousavonsnéces-}

sairementchoisideux éléments

p

^et

q

^{d'unemêmefamille,alors}

pq

^{est delaforme}

(rk ² )(rl ² ) = (rsl) ²

^et

est uncarréparfait.

2. Parmi17nombresréelsdistincts,démontrerqu'ilenexisteaumoinsdeux

p

^et

q

^telsque

0 < 10 p − q pq + 1 < 2

^.

Onpensetoutde suite(sic!) àlarelation

tan(a − b) = tan(a) − tan(b) tan(a) tan(b) + 1

^.

Lafonction

arctan

^{réaliseunebijection}strictementcroissantede

R

^sur

i

− π 2 : π

2 h

delongueur

π

^.

Parmi17nombresréels distincts,ilenexisteaumoinsdeux

p

^et

q

^avec,disons,

p > q

^telsque:

0 < arctan(p) − arctan(q) < π

16 0 < p − q

pq + 1 < tan π 16

Or

tan π 16

' 0, 1989 < 2

10

^d'où

0 < 10 p − q pq + 1 < 2

^.

3. Montrer quepourtoutentier

p

^positif,

2 ^{3 p} + 1

^{n'estpasdivisible par}

17

^.

Supposonsque

2 ^{3 p} ≡ − 1 mod (17)

^alors

2 ^{2 × 3 p} ≡ 1 mod (17)

^{doncl'ordrede}

2

^modulo

17

^divise

2 × 3 ^p

^,

divisantdéjà

φ(17) = 2 ⁴

^{il doitêtre}

2

^,ridicule!

4. Trouver une séquence d'entiers consécutifs tous positifs la plus longue possible telle que la somme des

chires dechacun ne soitpasdivisible par

17

^.

Dans

Z

^{une telle suite telle que la somme des chires de chacun soit inférieure à}

16

^est

− 78, . . . , 78

^si

l'onexcepte

0

^.

Ajoutons un

10 ^k

^pour

k > 2

^{auxtermes de droites, alorsil ne s'opére aucuneretenueet onaune suite}

consécutivede

79

^{nombresdesommeinférieurà}

17

^.

Cherchons aétendre lasuiteauxtermes degauchede laforme

n =

(k− 2) 9

z }| {

9 · · · 9 ab

^où

ab > 22

^dontlasomme

deschiresest

S(n) = (k − 2) × 9 + a + b ≡ 9k − 1 + a + b mod (17)

^.

Si

k = 2k ⁰

^alors

S(n) ≡ 0 ⇐⇒ a + b ≡ 18 − k ⁰

^{etlasuiteestlimitéepar}

9x

^où

x = 9 − k ⁰

^si

k ⁰ 6 9

^.

les

k

^{pairsdonnentdoncdeschainesdelongueurauplus}

88

^.

Si

k = 2k ⁰ + 1

^alors

S(n) ≡ 0 ⇐⇒ a + b ≡ 9 − k ⁰

^{et lasuiteestlimitéepar}

x0

^où

x = 9 − k ⁰

^si

k ⁰ 6 8

^,

nongênantsi

k ⁰ = 7

^puisque

22 > 20

^{etl'on obtientmêmeleterme}

ab = 21

^enbonus.

Onproposedonc

10 ¹⁵ − 79, . . . , 10 ¹⁵ + 78

^delongueur

158

^.

5. Trouverune progressionarithmétique de

17

^{nombresentiers touspositifs dont leproduit estla puissance}

2009

^d'unentier.

Onsuppose aussiquelesentiers sontstrictementpositifs, etquelaprogressionn'estpasde raisonnulle.

Oncherchedonc

n

^,

r

^et

A

^telsque:

n × (n + r) × · · · × (n + 16r) = A ²⁰⁰⁹

^.

Cherchonsunesolutionavec

n = r

^{,l'égalitédevientalors}

17! × n ¹⁷ = A ²⁰⁰⁹

^.

Parailleurs

17

^et

2009

^{étantcopremiersondisposed'unerelationdeBézout:}

6 × 2009 − 709 × 17 = 1

^.

Alors

17! × (17! ⁷⁰⁹ ) ¹⁷ = 17! ^{1+709 × 17} = (17! ⁶ ) ²⁰⁰⁹

^.