1 est retiré de (L) et les entiers c et d entrent dans la liste

A5919. Mersenne, au secours!

On se fixe un entier N > 1 et le jeu consiste à trouver (si elle existe) une liste (L) d’entiers naturels >

1 à partir de laquelle on peut obtenir N en effectuant tour après tour l’une des deux opérations suivantes :

1) Les entiers a et b sont retirés de (L) et l’entier a^b entre dans la liste.

2) Tout entier qui peut s’écrire sous la forme c^d avec c et d entiers > 1 est retiré de (L) et les entiers c et d entrent dans la liste.

On adopte les règles supplémentaires suivantes :

1) La liste (L) initiale ne contient jamais plus de cinq entiers et ces entiers sont tous ≤ 100.

2) Au cours de la partie, (L) peut contenir un entier quelconque en plusieurs exemplaires.

Par exemple à partir de (L) qui contient initialement l’entier 64, on obtient N = 256 en deux tours.

Comme 64 s’écrit 8², au 1er tour on remplace 64 par 2 et 8. Au 2^e tour, 2 et 8 donnent 2⁸ = 256 = N Q Prouver qu’à partir la liste initiale (L) ={4,64}, on sait obtenir les deux cibles N = 127 et N = ₁ 2187. Décrire les deux séquences qui permettent de les obtenir.

Q Trouver une liste initiale (L) qui permet d’obtenir en moins de dix tours la cible 2 147 483 647 ₂ qui est le nombre premier de Mersenne découvert par Euler.

Résolution

Q1 – Ci dessous figurent les deux séquences permettant d’obtenir les entiers demandés. A chaque pas, dans la colone justification on indique l(es) entier(s) à retirer = l(es) entier(s) à ajouter.

Liste Justification Liste Justification

4. 64. 4. 64.

4. 8. 2. 64=8² 4. 8. 2. 64=8²

2. 2. 8. 2. 4=2² 4. 2. 3. 2. 8=2³

2. 2. 256. 2⁸=256 4. 9. 2. 3²=9

2. 2²⁵⁶. 2²⁵⁶=2²⁵⁶ 4. 512. 2⁹=512

2. 4. 128. 2²⁵⁶=4¹²⁸ 4. 8. 3. 512=8³

2. 2. 2. 128. 4=2² 2. 2. 8. 3. 4=2²

2. 2. 2¹²⁸. 2¹²⁸=2¹²⁸ 2. 256. 3. 2⁸=256

2. 2^(2¹²⁸). 2^(2¹²⁸) = 2^(2¹²⁸) 2²⁵⁶. 3 2²⁵⁶=2²⁵⁶ 2. 4. 2¹²⁷. 2^(2¹²⁸) = 4^(2¹²⁷) 4. 128. 3. 2²⁵⁶=4¹²⁸

2. 4. 2. 127. 2¹²⁷=2¹²⁷ 4. 2. 7. 3. 128=2⁷

4. 2. 2187. 3⁷=2187

Q2 – Observons que 2 147 483 647 = 2³¹-1. Ci dessous figure une proposition de liste de départ et de séquence pour obtenir cet entier.

Liste Justification 16. 31.

2. 4. 31. 16=4²

2. 2. 2. 31. 4=2²

2. 2. 2147483648. 2³¹= 2147483648

2. 2^2147483648. 2^2147483648 = 2^2147483648

2^(2^2147483648). 2^(2^2147483648) = 2^(2^2147483648)

4. 2^2147483647. 2^(2^2147483648)= 4^(2^2147483647)

4. 2. 2147483647. 2^2147483647 = 2^2147483647