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A2836– Déradicalisation [*** à la main]

Q₁ Trouver trois entiers k,p et q > 0 tels que 127 3 ^k p^k q

Q₂ Trouver un entier k et deux rationnels u et v tels que 5113 17 ^k u ^k v Q₃ Trouver trois nombres rationnels a,b,c tels que ^{3 3} 21³ a³ b³ c Solution proposée par Daniel Collignon

Q₁ : k=4, p=3³=27, q=2⁴*3=48 Q₂ : k=4, u=81*17/4 et v=289*17/4

Écrivons (a + bq^(1/2))^(1/2) = u^(1/4) + v^(1/4)

On élève au carré : a + bq^(1/2) = u^(1/2) + v^(1/2) + 2(uv)^(1/4) On identifie u^(1/2) + v^(1/2) = bq^(1/2) et 2(uv)^(1/4) = a Posons s = u^(1/2) + v^(1/2) et p = (uv)^(1/2)

Alors u^(1/2) et v^(1/2) sont racines de x^{^2}-sx+p = 0 avec s=bq^(1/2) et p=a^{^2}/4 Le discriminant vaut s^{^2} - 4p = b^2q-a^{^2}

S'il est positif, alors x = (s ± (b^2q-a^{^2})^(1/2))/2

Remarque : dans le cas où il est négatif, il faut inverser les identifications, u^(1/2) + v^(1/2) = a et 2(uv)^(1/4) = bq^(1/2), mais nous ne développons pas davantage car cela n'est pas le cas ici.

Applications numériques :

Q₁ : a=12, b=7, q=3 : le discriminant vaut 49*3-12^{^2} = 3 x = 3*3^(1/2) ou 4*3^(1/2)

D'où u=27 et v=48

Q₂ : a=51, b=13, q=17 : le discriminant vaut 13^{^2}*17-51^{^2} = 17*4^{^2} x = 9*17^(1/2)/2 ou 17*(17)^(1/2)/2

D'où u=81*17/4 et v=17^{^3}/4

Q₃ : a=1/9, b=-2/9, c=4/9

J'ai fait le même raisonnement (développer au cube à gauche et à droite, puis tenter une identification) et j'ai obtenu le résultat grâce à la référence : Geschachtelte Wurzeln und ihre Elimination

https://slideheaven.com/geschachtelte-wurzeln-und-ihre-elimination.html Je cite

"und das dritte Wurzeln involviert: 3 √ 3 2 – 1 = 3 1/9 – 3 2/9 + 3 4/9 . Ein Taschenrechner genügt, um die Gleichheit beider Seiten (auf 9 Dezimalstellen 0,638185821) nachzuweisen. Der formale Beweis der Formel durch Berechnen von"