A5919. Mersenne, au secours ! ***
On se fixe un entierN>1 et le jeu consiste à trouver (si elle existe) une liste (L) d’entiers naturels>1 à partir de laquelle on peut obtenirN en effectuant tour après tour l’une des deux opérations suivantes : 1) Les entiersaetbsont retirés de (L) et l’entierabentre dans la liste.
2) Tout entier qui peut s’écrire sous la formecdaveccetdentiers>1 est retiré de (L) et les entierscetd entrent dans la liste.
On adopte les règles supplémentaires suivantes :
1) La liste (L) initiale ne contient jamais plus de cinq entiers et ces entiers sont tous6100.
2) Au cours de la partie, (L) peut contenir un entier quelconque en plusieurs exemplaires.
Par exemple à partir de (L) qui contient initialement l’entier 64, on obtientN=256 en deux tours.
Comme 64 s’écrit 82, au 1ertour on remplace 64 par 2 et 8. Au 2etour, 2 et 8 donnent 28=256=N. Q1 Prouver qu’à partir la liste initiale (L)={4, 64}, on sait obtenir les deux ciblesN =127 et N =2187.
Décrire les deux séquences qui permettent de les obtenir.
Q2 Trouver une liste initiale (L) qui permet d’obtenir en moins de dix tours la cible 2 147 483 647 qui est le nombre premier de Mersenne découvert par Euler.
Solution de Claude Felloneau
Q1 À partir de {4, 64}, on obtient successivement : {4, 2, 8} car 64=82, {4, 256} car 28=256, ©
4256ª , ©
4, 2128ª
car 4256=2512=¡ 2128¢4
, n 4(2128)o
,
©2127, 16ª
car 4(2128)=16(2127) et enfin {2,16,127}.
Comme précédemment, à partir de {4, 64}, on obtient {2, 4, 128} puis {2, 4, 2, 7} car 128=27,
©2, 24, 7ª , ©
28, 7ª car¡
24¢2
=28, {2, 8, 7} puis {2, 2, 3, 7} car 8=23et enfin {2, 2, 2187} car 2187=37. Q2 On peut prendre {4, 32} comme liste initiale. On obtient successivement
{2, 2, 32} car 4=22, © 232, 2ª
, n 2(232)o
, n
2, 2(231)o
car 2(232)=³ 2(231)´2
,
½ 2
³ 2(231)´¾
,
½ 2, 2
³
2(231−1)´¾ car 2
³ 2(231)´
= µ
2
³
2(231−1)´¶2
, n
2, 2, 2(231−1)o
et enfin {2, 2, 2, 2147 483 647} car 231−1=147 483 647.
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