L.S.Marsa Elriadh
Liste 4
M : Zribi4 ème Maths Exercices
1
Exercice 1:
Soit a un nombre complexe non nul.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j , on désigne par A, B, M1 et M2 les points d'affixes respectives a, 2a, z1=a+ia et z2=a-ia.
1) a) déterminer le milieu de [M1M2].
b) montrer que 1
2
z i z .
c) montrer que OM1BM2 est un carré.
2) on pose a= ei avec [0,2[.
a) donner la forme exponentielle de z1. b) dans cette question on prend
3
. Ecrire z1 sous forme trigonométrique et en déduire cos 7
12
et sin 7
12
.
Exercice 2:
Le plan est muni d'un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère les points E, B et C d'affixes respectives a=1; b=i et c=1+i.
A tout point M d'affixe z1 on associe le point M' d'affixe z' tel que z'=
1 iz z .
1) a) placer les points A; B et C.
b) montrer que OACB est un carré.
2) mettre c sous forme exponentielle et calculer c2008.
3) déterminer les ensembles: E1={M(z) tels que |z'|=1} et E2={M(z) tels que z' est un réel}.
4) a) montrer que pour tout z1 on a z'-i=
1 i z . b) en déduire que BM'.AM=1.
5) a) déterminer l'ensemble ={M(z) tels que (z-1)(z -1)=4}.
b) en déduire que si M alors M' appartient à un cercle ' que l'on précisera.
6) on pose z= ei avec ]0,[.
a) montrer que 1 2 sin 2 2
i i
e i e
.
b) en déduire le module et un argument de z'.
L.S.Marsa Elriadh
Liste 4
M : Zribi4 ème Maths Exercices
2
Exercice 3:
Le plan P est muni d'un repère orthonormé ( , , )O i j . on considère l'application
: \
( ) '( ') : ' 2
f P O P
M z M z tel que z i z
1)a) soit A(1-i). calculer l'affixe du point A' image de A par f.
b)soit B'(2+i). calculer l'affixe du point B antécédent de B' par f.
2) on pose z= e i ; IR. Donner la forme exponentielle de z'.
3) a) montrer que OM'= 2
OM .
b) en déduire que si M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors M' appartient à un cercle ' que l'on précisera.
c) montrer que ( , ') ( , ) 2 ; .
i OM 2 i OM k k .
d) en déduire une construction du point M' à partir d'un point M de . Exercice 4:
Dans le plan P munie d'un repère orthonormé ( , , )O i j on donne A(-i) et B(i). soit l'application :
: \
( ) '( ') : '
f P Z P
z i M z M z tel que z
z i
1) déterminer l'ensemble des points M(z) tels que z' est réel.
2) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |z'|=1.
3) a) vérifier que (z'-1)(z+i)=-2i.
b) montrer que si M(A,1) alors M' appartient à un cercle ' que l'on caractérisera.
4) on pose z=e i avec , 2 2
. a) vérifier que 2 sin 2 4
2 4
i i
e i i e
et que
2 4
2 cos
2 4
i i
e i e
.
b) en déduire la forme exponentielle de z'.
