A2843 – Une, deux, trois,…, 2022 variables
Q1 Trouver les solutions réelles et complexes en x de l’équation quartique x4 + 4x ‒ 1 = 0
Q2 Trouver les solutions en x et y nombres réels, x ≠ y, tels que = 0 Q3 Trouver les solutions en x,y et z réels tels que x2 ‒ xy ‒ xz = 5, y2 ‒ yz ‒ xy = ‒ 4 et z2 ‒ xz ‒ yz = ‒ 7 Q4 Trouver les solutions positives du système de 2022 équations à 2022 inconnues x1, x2, x3 , ….,x2021 ,x2022
définies par les relations : , , , ,..,
, ,..., et
Solution proposée par Nicolas Petroff
(Q1) La quartique a pour dérivée qui s’annule pour x = -1 y = -4.
Pour x < -1 , et pour x > -1 , y ne s’annule que pour 2 valeurs réelles de x qui sont : X1 = -1.66325 et x2 = 0.249038 , valeurs obtenues par la méthode de Newton .
Cette quartique dégénérée a un léger méplat pour x = 0, valeur qui annule la dérivée 2ième , la concavité est tournée vers les y > 0.
En examinant plus en détail , on peut la décomposer en un produit de la forme :
c = -a , et
.
Par la méthode de Newton, on obtient deux racines réelles et .
Vérifions que ces deux racines sont bien et et que ce sont les seules : ces deux racines sont les racines de : par décomposition de , on obtient :
.
La fonction a pour dérivée , la dérivée seconde est dont le discriminant est < 0 > 0 croissante sur [ et donc ne s’annule qu’une seule fois en b 0.153 les seules racines de :
sont donc bien et .
- Avec , on obtient : le couple d’équations du 2ième degré : (1) : , et (2) :
.
(1) Admet pour racines : et (2) admet , soit
comme racines réelles : et que l’on avait obtenues par la méthode de Newton.
- Avec , on obtient : avec le couple d’équations du 2ième degré : et
, on obtient les mêmes racines réelles et imaginaires .
(Q2) Dans l’équation :
, il y a deux couples de racines évidentes qui sont : (x
= 2021 , ) et (y = 2021 , ) .
(Q3) Soit les trois équations : (1) : x2 ‒ xy ‒ xz = 5
(2) : y2 ‒ yz ‒ xy = ‒ 4 (3) : z2 ‒ xz ‒ yz = ‒ 7
En faisant (1) – (2)
, et (3) , . En faisant (2) – (3)
, et (1) ,
x = 10y ,
et z = 7y , en reportant par exemple dans (1) , . Ces valeurs sont compatibles avec les équations (2) et (3) .
(Q4) De la suite des 5 1ières équations, on obtient :
,
,
,
, et plus généralement : ,
.
En posant , on obtient dans la dernière équation : y = 1 = 2021
…
et … .
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