fxxxxIxxxFxxFf =+++==+++= 1 sur car '432 R fxxxIxxFxxxxxFf =+-==·+·-=+-= 641 sur 64 car '64 R fxxxxIxxxFxxxxxxFf =++==·+·+·+=+++= 4+321 sur 432 car '432 R INTÉGRATION

MATHOVORE.FR

INTÉGRATION

I. Détermination de primitives Corrigé

Exercice 1 :

1. On dérive ^{F x}

( )

^{= −x ln 1 e}

(

^{+ x}

)

^:

( )

^{e 1 e e 1}

( )

' 1 ;

1 e 1 e 1 e

x x x

x x x

F x = − = + − = = f x

+ + + F est donc bien une primitive de f sur R.

2. On dérive ^{F x}

( )

^{=2 ex :}

( ) ( )

2

e e

' 2 e ;

2 e e

x x

x

x x

F x = × = = = f x

F est donc bien une primitive de f sur R.

Exercice 2 : Primitives de sommes de fonctions usuelles

( ) ( )

3 2

1

4 3 2

4 3 2

1 1 1

4 +3 2 1 sur

4 3 2 car '

4 3 2

f x x x x I

x x x

F x x x x x x F f

= + + =

= × + × + × + = + + + =

R

( ) ( )

5 3

2

6 4

6 4

2 2 2

6 4 1 sur

6 4 car '

6 4

f x x x I

x x

F x x x x x F f

= + − =

= × + × − = + − =

R

( ) ( )

3 2

3

4 3 2

3 3 3

1 sur car '

4 3 2

f x x x x I

x x x

F x x F f

= + + + =

= + + + =

R

( ) ( )

7 6

4

8 7 2 8 7 2

4 4 4

4 2 5 sur

3

4 2 5 5 car '

8 7 3 2 2 7 3

f x x x x I

x x x x x x

F x x x F f

= − − − =

= × − − × − = − − − =

R

( ) ] [

( )

5

5 5 5

1 9 sur 0;

2

9 car '

f x I

x

F x x x F f

= + = +∞

= + =

( ) ( )

6

6 6 6

sin 3cos sur cos 3sin car '

f x x x I

F x x x F f

= − =

= − − =

R

( ) ( )

7

7 7 7

2 sur

2 ln car '

f x I

x

F x x F f

= = ∗

= × =

R

( ) ( )

8 2

8 8 8

1 1

e sur 1 ln e car '

x

x

f x I

x x

F x x F f

x

= − + − = ∗

= + − =

R

MATHOVORE.FR

Exercice 3 : Primitives de u^', u₂^' et 'e^u u u u

• 1

( )

2

2 sur 1

f x x I

= x =

+ R : f est de la forme ₁ ^{u' avec u x}

( )

^{x2 1 0.}

−u = + >

Une primitive de f est donc ₁ ^{F x1}

( )

^{=lnu x}

( )

^=ln

(

^x2+1

)

sur R.

•

( )

( )

3

2 4 2

4 sur : 1

f x x I

x

= =

+ R f est de la forme ₂ 2

( )

⁴

' avec 1 0.

u u x x

u = + >

Une primitive de f est donc ₂ ^{F x2}

( )

^{= −u x}

( )

^{1 = −x41+1} sur R.

• 3

( )

^{3 2 1 3 2 1}

3 e =1 6 e sur 2

x x

f x = x ⁺ × x ⁺ I =R : f est de la forme ₃ ¹ ' e avec

( )

3 ² 1.

2

u u u x = x +

Une primitive de f est donc ₃ ³

( )

^{1e ( ) e3 2 1}

2 2

x

F x u x

= = − sur R.

•

( )

( )

4 2

e sur :

e 1

x x

f x = I =

+ R f est de la forme ₄ 2

( )

' avec e^x 1.

u u x

u = +

Une primitive de f est donc ₄ ^{F x4}

( )

^{= −u x}

( )

^{1 = −ex1+1 sur ℝ}.

• ⁵

( )

^{e sur :}

e 3

x

f x = x I =

+ R f est de la forme ₅ ^{u' avec u x}

( )

^{ex 3}

u = + .

Une primitive de f est donc ₅ ^{F x5}

( )

^{=lnu x}

( )

^{=ln e}

(

^{x+3 car e}

)

^{x+ >3 0 sur R.}

• ^f6

( )

^{x =cosx esinx sur I =R :} f est de la forme ⁶ u'e avec ^u u x

( )

=sin .x Une primitive de f est donc ₆ F6

( )

x =e^{u x( )} =e^sinx sur R.

Exercice 4 :

On a

( )

2 2

1 2

4 2 4.

x x

f x = x = ×x

+ + La fonction est de la forme ^{1 ' avec}

( )

^{2 4}

2

u u x x

×u = + .

Les primitives de f sur R, sont donc de la forme ^{F x}

( )

^{= 1}₂^ln

(

^{x2+ +4}

)

^{C, C∈R.}

Exercice 5 :

1. Les primitives de la fonction cosinus sont de la forme ^{F x}

( )

^{=sinx C+ , C∈R..}

On cherche alors C tel que 0 F π2

 =

  . On a sin 1 .

2 2

F π π C C

= + = +

  

Il faut donc que C= −1 et la primitive cherchée est ^{F x}

( )

^=sinx−1.

2. On a

( )

^{1 3e3 1.}

3

f x = × x⁺ La fonction est de la forme ¹ ' e avec

( )

3 1 3

u u u x x

× = + .

Les primitives de la fonction f sont donc de la forme ^{F x}

( )

^{=e3x+1+C, C∈R.}

On cherche alors C tel que ^F

( )

^{− =1 0. On a}

( )

^{3( )1 1 2} 2

1 e e 1 .

F − = ^{× − +} + =C ⁻ + =C e +C Il faut donc que 1₂

C= −e et la primitive cherchée est

( )

^{3 1} 2

e 1 e F x = x⁺ −

MATHOVORE.FR

3. On a

( )

¹

(

²

)

^{e 2.}

2

f x = − × − x ⁻x La fonction est de la forme ¹ ' e avec

( )

²

2

u u u x x

− × = − .

Les primitives de la fonction f sont donc de la forme

( )

^{1e 2 ,}

2

F x = − ⁻x +C C∈R. On cherche alors C tel que ^F

( )

^{ln 2 =1.}

On a ^F

( )

^{ln 2 = −1}₂^{e− ln 22 + = −C 1}₂^{e−ln 2+ = −C} _2e^{1ln 2 + = − + =C 1}₄ ^{C 1.}

Il faut donc que 5

C= 4 et la primitive cherchée est

( )

^{1e 2 5}

2 4

F x = − ⁻x + .

Exercice 6 : f est la fonction définie sur

]

^2;+∞

[

^{par ( ) 2 2 3 4}

2

x x

f x x

= − −

− .

a)

( )(

²

)

^{2 2 2 2}

(

²

)

²

2 2 2 2 .

ax b x c ax b a x c b

c ax ax bx b c

ax b x x x x

+ − + − + − + + − + −

+ + = = =

− − − −

Pour que ce quotient soit égal à ^{f x}

( )

, il suffit que :

2 2

2 3 3 2 2 1 .

2 4 4 2 1 2

a a

b a b

c b c

= =

 

 

− = − ⇔ = − + × =

 

 − = −  = − + × = −

 

On en déduit que

( )

^{2 1 2}

f x x 2

= + −x

− .

b) Comme

( )

^{2 1 2 2 1 2 1}

2 2

f x x x

x x

= + − = + − ×

− − , une primitive de f sur

]

^2;+∞

[

^est

( )

^{2 2 ln}

(

^{2 .}

)

F x = + −x x x−

II. Calcul d’intégrales Corrigé

À l’aide des primitives Exercice 7 :

a) ¹1

(

²

)

^{3 2 1 3 2 1}

1 1

1 1 20

4 3 d 4 3 2 3 2 3 2 3

3 2 3 3 3 3

t t t

t t t t t t

− − −

      − 

+ + = + × +  = + +  = + + −  + − =

   

   

∫

^.

b)

2 2 2

2 2

1 1 1

1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3

d 3 d ln 3 ln 2 ln1 3 ln 2

2 t 2 t 2 t 2 2 2 2 2

t t t t t

 

       

− = × + × − = + × = + − + = −

        

        

⌠ ⌠

 

⌡ ⌡ ^.

c) ^{ln 3 ln 3 ln 3 ln 2}

ln 2e d^x x=  e^x ln 2=e −e =1

∫

^.

d)

( )

2

3 2

1 2 3 3

2 2

2 2 2

1 1

1 1

2 2 2

d d 2 1 2 2 1

3 3 3 3

2

t t t t t t

      

= =  =  =  − = −

   

  

∫ ∫

^.

e) ²

( ) [ ]

²

6 6

1 3 1 3

cos sin d sin cos sin cos sin cos 1

2 2 6 6 2 2 2

x x x x x

  −

   

− = + = +   − + = − + =

∫

^{ππ ππ π π π π .}

f) ³ 2

[ ]

³

4 4

d tan 3 1

cos

x x

x = = −

⌠

⌡

π π

π π .

MATHOVORE.FR

Exercice 8 :

a) 0^{ln 3 ln 3}0 ^{ln 3}

( )

⁰

1 2

e d e e e 1

3 3

t t

− t= − −  = − − − − = − + =

∫

^.

Pour toute la suite, on note f la fonction à intégrer, F une primitive de f et I l’intégrale à calculer.

b)

( )

2 2 2 0

d 1

x x

x +

⌠

⌡ ^{: soit}

( ) 2 1

u x =x + ; alors ( )u x′ =2x.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2

2 0

1 2 1 '( ) 1 1 1

( ) donc ( )

2 2 2 ( ) 2 1

² 1 ² 1 ( )

1 1 1 2

10 2 5.

2 1

x x u x

f x F x

u x x

x x u x

I

x

 

= = × = × = × − = −

+ +   +

   

 

= − = − − − =

+  

 

 

c)

1

0

d 1 2

t t

−

−

⌠

⌡ : soit ( ) 1 2u t = − t ; alors ( )u t′ = −2.

( )

1 0

1 1 2 '( )

( ) donc ( ) ( ) 1 2

1 2 2 1 2 2 ( )

1 2 3 1 1 3.

f t u t F t u t t

t t u t

I t ⁻

= = − × − = − = − = − −

− −

 

= − −  = − − − = −

d)

2

1

d

3 2

x x+

⌠

⌡ : soit ( )u x =3x+2 ; alors ( )u x′ =3.

( )

( )

2

1

1 1 3 1 '( ) 1 1

( ) donc ( ) ln ( ) ln(3 2)

3 2 3 3 2 3 ( ) 3 3

1 1 1 8

ln(3 2) ln 8 ln 5 ln .

3 3 3 5

f x u x F x u x x

x x u x

I x

= = × = × = = +

+ +

 

= +  = − =

e)

e 1 e

lntd t t

⌠

⌡ : soit ( )u t =lnt ; alors 1 ( ) u t′ = t.

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 e 2

2 1

e

( ) ln

ln 1

( ) ln ( ) '( ) donc ( )

2 2

ln 1 1

ln e ln 0.

2 2 e

u t t

f t t t u t u t F t

t t

I t

= = × = × = =

     

=  =  −  =

f) ¹

0 2−t td

∫

: soit ( )u t = −2 t ; alors ( )u t′ = −1.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 3 3

2 2 2 2

1 3

3 2 2

0

2 2

( ) 2 2 ( ) '( ) donc ( ) ( ) 2

3 3

2 2 2 2

2 2 2 2 1 .

3 3 3 3

f t t t u t u t F t u t t

I t

= − = − = − × = − = − −

 

 

= − −  = − − − × = −

g)

ln 2 2 2 0

e d

e 1

t

t t

+

⌠

⌡ ^{: soit}

( ) e2^t 1

u t = + ; alors u t′ =( ) 2e^2t.

MATHOVORE.FR

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

2 2

2

2 2

ln 2

2 2ln 2 0

0

e 1 2e 1 '( ) 1 1

( ) donc ( ) ln ( ) ln 1

e 1 2 e 1 2 ( ) 2 2

1 1 1 5

ln e 1 ln e 1 ln e 1 ln .

2 2 2 2

t t

t

t t

t

f t u t F t u t e

u t I

= = × = × = = +

+ +

 

= +  = + − + =

h)

∫

₀^{π2sin 2 d}

( )

^{t t} : soit ( )u t =2t ; alors ( )u t′ =2.

( ) ( ) ( )

( )

2 0

1 1

( ) sin(2 ) sin(2 ) 2 cos ' ( ) '( )

2 2

1 1

donc ( ) cos ( ) cos(2 )

2 2

1 1 1

cos(2 ) cos cos 0 1.

2 2 2

f t t t u t u t

F t u t t

I t

= = − × − × = − × ×

= − = −

   

= −  = − − − =

π

π

i) ³⁴

( )

2

cos 3x dx

∫

^ππ : soit ( )u x =3x ; alors u x′( )=3.

( ) ( ) ( )

( )

3 4

2

1 1

( ) cos(3 ) cos(3 ) 3 sin ' ( ) '( )

3 3

1 1

donc ( ) sin ( ) sin(3 )

3 3

1 1 9 3 1 2 2 2

sin(3 ) sin sin 1 .

3 3 4 2 3 2 6

f x x x u x u x

F x u x x

I x

= = × × = × ×

= =

  +

   

=  =  − =  − − =

π

π

π π

Exercice 9 : f est la fonction définie sur 1 1 2 2;

 

− 

 par :

2 2

8 4

( ) 4 1

f x x x

= −

− .

1. 1 1

; , ( )

2 2 2 1 2 1

b c

x f x a

x x

 

∀ ∈ −  = + + + −

( ) ^{( ) ( )}

( )( )

( )

( )( )

( )

2

2 2 2

2 2

4 1 2 1 2 1

1 1; , ( )

2 2 2 1 2 1

4 2 2

1 1 8 4

; ,

2 2 4 1 2 1 2 1

1 1; , 8 4 4 2 2

2 2

a x b x c x

x f x

x x

ax b c x a b c

x x

x x x

x x ax b c x a b c

− + − + +

 

⇔ ∀ ∈ −  = + −

+ + − − +

−

 

⇔ ∀ ∈ −  − = + −

 

⇔ ∀ ∈ −  − = + + − − +

Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients.

L’égalité précédente équivaut à :

4 8 2 2

2 2 0 1

4 2 2 4 1

a a a

b c c b b

a b c b c

= = =

  

  

+ = ⇔ = − ⇔ =

  

− − + = − − − = −  = −

  

D’où : 1 1 1 1

; , ( ) 2

2 2 2 1 2 1

x f x

x x

 

∀ ∈ −  = + + − − .

2. 1 2 1 2 1 1

( ) 2 donc ( ) 2 ln 2 1 ln 2 1

2 2 1 2 2 1 2 2

f x F x x x x

x x

= + × − × = + + − −

+ − .

1

1 4

4 0

0

1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1

( ) d 2 ln 2 1 ln 2 1 ln ln ln1 ln1 ln 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

f x x  x x x   

= + + − −  = + − − − = +

∫

^.

MATHOVORE.FR

À l’aide d’une intégration par parties Exercice 10 :

a) ²

0 xsin dx x

∫

π ^;

Posons : ( ) et ( ) sin

les fonctions , , et sont continues sur 0;

on a : ( ) 1 et ( ) cos 2

u x x v x x

u v u v

u x v x x

= ′ =  ′ ′  π

′ = = −    ;

Appliquons la formule d’intégration par parties :

[ ] ( )

( ) [ ]

2 2 2

0 0 0

2 0

sin d cos cos d

cos 0 cos 0 sin sin sin 0 1.

2 2 2

x x x x x x x

x

π π π

π

= − − −

π π π

 

= − − − + = − =

 

∫ ∫

b)

∫

₀²

(

^2−x

)

^{e dx x ;}

Posons : ( ) 2 et ( ) e

[ ]

les fonctions , , et sont continues sur 0; 2 on a : ( ) 1 et ( ) e

x x

u x x v x

u v u v

u x v x

′ 

= − = 

′ ′

′ = − =  ;

Appliquons la formule d’intégration par parties :

( ) ( ) ( )

2 2 2 0 2 2 0 2

0 0

0 2−x e d^x x= 2−x e^x − 0 −e^x dx= −2e +  e^x = − + − = −2 e e e 3

∫ ∫

^.

c) ^e

1ln( )dx x

∫

^;

Posons : ( ) ln et ( ) 1

[ ]

les fonctions , , et sont continues sur 1; e on a : ( ) 1 et ( )

u x x v x

u v u v

u x v x x

x

= ′ = 

 ′ ′

′ = =  ;

Appliquons la formule d’intégration par parties :

[ ]

^e

[ ] ( )

e e e e

1 1

1 1

1

ln( )dx x xln( )x 1x xd e ln(e) 1ln(1) 1dx e x e e 1 1

= −⌠ x = − − = − = − − =

∫

⌡

∫

^.

Exercice 11 :

∫

₀^x

( )

^{t−1 e d−t t.}

Posons : ( ) 1 et ( ) e

[ ]

les fonctions , , et sont continues sur 0;

on a : ( ) 1 et ( ) e

t t

u t t v t

u v u v x

u t v x

−

−

′ 

= − =  ′ ′

′ = = −  ;

Appliquons la formule d’intégration par parties :

( ) ( ) ( ) ^{( ) ( )}

( )

0

0 0

0 0

0

1 e d 1 e e d 1 e 1 e e

1 e 1 e e e .

x t t x x t x t x

x x x

t t t t x

x x

− − − − −

− − −

   

− = − −  − − = − − + − + − 

= − − − − + = −

∫ ∫

Exercice 12 : f x^{( )}=x²ln( ) pour x x∈

]

0;+∞

[

.

] [

2 3

Posons : ( ) ln et ( )

les fonctions , , et sont continues sur 0;

on a : ( ) 1 et ( ) 3

u x x v x x

u v u v

u x v x x

x

′ 

= =

 ′ ′ +∞

′ = = 



;

Appliquons la formule d’intégration par parties :

MATHOVORE.FR

3 2 3 3

2 1

ln( )d ln( ) d ln( )

3 3 3 3 3

x x x x

x x x  x  x x  

= − = − × 

   

⌠

∫

⌡ ^.

Une primitive sur

]

^0;+∞

[

de f est la fonction F définie sur

]

^0;+∞

[

^{par ( ) 3 ln( ) 3}

3 3

x x

F x = x − .

Exercice 13 :

0e sin( )d et ^x 0e cos( )d^x I =

∫

^π x x J =

∫

^π x x^.

a) En appliquant à J la formule d’intégration par parties

∫

^uv′=

[ ]

^{uv −}

∫

^{u v′ avec}

( ) cos et ( ) e^x

u x = x v x′ = , les fonctions u, v, u’ et v’ étant continues sur

[ ]

^0;π , on obtient :

(

^cos

)

^ex _{0 0}

(

^sin

)

^{e dx e 1}

J = x ^π−

∫

^π − x x= − − +^π I^{, donc I = + +J eπ 1.} b) Pour déterminer I et J, on résout le système (S) :

e 1

I J

I J ^π

= −



= + +

 ^;

e 1

( ) 2

e 1 2 e 1 e 1

2

J I J I I

S I I I

J

π

π π π

 = +

= − = − 

  

⇔ ⇔ ⇔

= − + + = + +

   = −

.

Exercice 14 : ^{1 1}

0 ⁿe ^xd

In =

∫

x ⁻ x pour n entier naturel.

a) I¹=

∫

0¹xe^1−xdx= − xe^1−x¹0−

∫

0¹

(

−e^1−x

)

dx= − + −1  e^1−x¹0 = − − + = −1 1 e e 2^. b) I_n+¹=

∫

0¹x^{n+1 1}e^−xdx= − x^{n+1 1}e^−x¹0−

∫

0¹

(

n+1

)

xⁿ

(

−e^1−x

)

dx= − + +1

⁽

n 1

⁾ ∫

0¹xⁿe^1−xdx

donc ^In+¹ = +

(

^{n 1}

)

^In −¹.

c) On calcule d’abord I : ₂ I₂ =3I₁− = −1 3e 7 ; on en déduit I : ₃ I₃ =4I₂− =1 12e 29− . Exercice 15 :

a) ^{3 2 2}

0 e ^xd

I =

∫

x ⁻ x ^;

En appliquant la formule d’intégration par parties

∫

^uv′=

[ ]

^{uv −}

∫

^{u v′ avec}

2 2

( ) et ( ) e ^x

u x =x v x′ = ⁻ , les fonctions u, v, u’ et v’ étant continues sur

[ ]

^0;3 , on obtient :

3 3

2 2 2 6 3 2

0 0 0

1 1 9

e 2 e d e e d

2 2 2

x x x

I x  ⁻  x ⁻  x ⁻ x ⁻ x

= −  − −  = − +

⌠

⌡

∫

^.

Intégrons de nouveau par parties ^{3 2}

0xe^{− x}dx

∫

^{avec u x( )=x et ( )v x′ =e−2x.}

3 3 3

3 2 2 2 6 2 6

0

0 0 0

1 1 3 1 7 1

e d e e d e e e

2 2 2 4 4 4

x x x x

x ⁻ x  x ⁻   ⁻  x ⁻  ⁻  ⁻

= −  − −  = − + −  = − +

⌠

∫

⌡ ^.

On en déduit : 9 ⁶ 7 ⁶ 1 25 ⁶ 1

e e e

2 4 4 4 4

I = − ⁻ − ⁻ + = − ⁻ + .

b) ²

0 cos( )d I =

∫

^πx x x ^;

En appliquant la formule d’intégration par parties

∫

^uv′=

[ ]

^{uv −}

∫

^{u v′ avec}

( ) 2 et ( ) cos

u x =x v x′ = x, les fonctions u, v, u’ et v’ étant continues sur

[ ]

^0;π , on obtient :

2

0 0 0

sin 2 sin d 2 sin d

I =x x^π−

∫

^π x x x= −

∫

^πx x x^.

MATHOVORE.FR

Intégrons de nouveau par parties

0^πxsin dx x

∫

^{avec ( )u x =x et ( )v x′ =sinx.}

[ ]

0

( ) [ ]

0

0^πxsin dx x= xcosx ^π− 0^π −cosx dx= +1 sinx ^π=1

∫ ∫

^.

On en déduit : I = − × = −2 1 2.

III. Calcul d’aires Corrigé

Exercice 16 :

Le schéma a) correspond à l’intégrale 1.

Le schéma b) correspond à l’intégrale 3.

Le schéma c) correspond à l’intégrale 4.

Le schéma d) correspond à l’intégrale 2.

Exercice 17 :

a) I₁= − +A₁ A₂^, I2 = − −A3 A4 ^et I3 =A5−A4^.

b) _{1 2 3} ^{0 1,5 5 0}

6 ( ) d 5 ( )d 6 ( )d 1,5 ( )d ;

A A A f x x ⁻ f x x ⁻ f x x f x x

− − − −

+ + =

∫

=

∫

−

∫

−

∫

Exercice 18 :

a) I₁= +A₁ A₃ ; I₂ =A₃+A₄+A₅ ; I₃= +A₁ A₂−A₆ ; I₄ = +A₁ A₂+A₆.

b) _{4 5} ^{2 3}

1 ( )d 2 ( )d

A +A =

∫

g x x+

∫

f x x^. Exercice 19 :

a)

∫

₂^{3 f x}

( )

^dx est l’aire de la partie du plan coloriée en rouge.

b)

∫

₋¹₂ ^{f x}

( )

^dx est l’aire de la partie du plan coloriée en bleu.

c)

∫

_α^{β f x}

( )

^{−1 dx}est l’aire de la partie du plan coloriée en vert.

Exercice 20 :

a) ₁²

[ ]

² ₁^{2 2}

1 1

1 1

( ) ( ) d d d d

rouge

A g x f x x x x x x x

x x

 

= − =  −  = −

⌠ ⌠

 ⌡

∫

⌡

∫

^.

Sur l’intervalle

[ ]

^{1; 2} , une primitive de la fonction g est

3

2 2

( ) 3 G x = x et une primitive de la fonction f est F x( )=lnx.

MATHOVORE.FR

Donc l’aire est égale à

[ ] ( )

3 2 3

2 2 2

1 1

2 2 2 4 2 2

ln 2 ln 2 ln1 ln 2

3 3 3 3

rouge

A = x  − x = − − − = − −

  ^.

b)

4 4

4 2

2 2

3 3

1 d d 1 d

4 4

bleue

A  x x  x x x  x  x

=  − +  = −  − 

   

⌠ ⌠

 

⌡

∫

⌡ ^.

Sur l’intervalle

[ ]

^{1; 2} , une primitive de la fonction h est 3 ² ( ) 8

H x = x −x. Donc

4 4

3 2 2

2 2

2 3 2 2 3 3 17 8 2

8 8 16 4 4 2

3 8 3 3 8 8 6

bleue

A  x   x x   −

=  − −  = × − − × − − × + = ^.

c) L’aire de la partie coloriée est 13 6 ln 2

rouge bleue

A +A = − unités d’aire.

Exercice 21 :

1. a) ^{V =}

∫

₋⁰₂ ^{f x}

( )

^dx.

Une primitive de la fonction f est F x

( )

⁼¹

9x³−1 2x².

Donc ⁰₂

( )

^d

( )

⁰₂

( )

⁰

( )

^{2 8 4 8 2 26}

9 2 9 9

f x x F x F F

− = − = − − = + = + =

∫

^.

L’aire verte V est égale à V =26 9 ^u.a.

b) ^B=

∫

₀^{5 f x}

( )

^{dx= −}

∫

₀^{3 f x}

( )

^dx+

∫

₃^{5 f x}

( )

^dx.

Une primitive de la fonction f est F x

( )

^{= 1}

9x³−1 2x².

Donc 0³

( ) ( )

³0

( ) ( )

27 9 3

d 3 0

9 2 2

f x x F x F F

− = −  = − + = − + =

∫

^.

et ₃⁵

( )

^d

( )

⁵₃

( )

⁵

( )

^{3 125 25 27 9 26}

9 2 9 2 9

f x x=F x  =F −F = − − + =

∫

^.

Donc l’aire bleue est égale à B= 3 2+26

9 = 79 18 ^u.a.

2. ^{A m}

( )

⁼

∫

₋^m_0,5^{g x}

( )

^dx. La fonction g est de la forme g x

( )

^{= u' x}

( )

u²

( )

x ^{où u x}

( )

^=x2+1.

La fonction G x

( )

^{= −1}

x³+1 est une primitive de la fonction g.

( )

0,5

( ) ( )

0,5

( ) ( )

3 3

1 1 8 1

d 0, 5

1 0,125 1 9 1

m m

A m g x x G x G m G

m m

− −

=

∫

=  = − − = −+ + + = − + ^.

A m

( )

⁼⁸

9− 1

m³+1 unités d’aire.

(

³

)

lim 1

m m

→+∞ + = +∞ donc lim

m→+∞A m

( )

⁼⁸

9 ^u.a.

Exercice 22 :

Il faut déterminer les bornes. On résout f x( )=0. Les solutions sont

{

− 2 ; 1;1; 2 .−

}

L’aire du domaine D est ^{2 1 1 2}

2 ( ) d 2 ( )d 1 ( )d 1 ( )d

A f x x ⁻ f x x f x x f x x

− − −

=

∫

= −

∫

+

∫

−

∫

unités d’aire.

Une primitive de la fonction f est

( )

^{1 5 3 2}

F x =5x − +x x. F est une fonction impaire.

MATHOVORE.FR

[

( )

]

¹2

[

( )

] [

¹1 ( )

]

1²

A= − F x ⁻₋ + F x ₋ − F x

( )

¹

( )

²

^{( )}

¹

^{( )}

¹

( )

²

^{( )}

^{1 4}

^{( )}

^{1 2}

( )

²

A= − − +F F − +F −F − −F +F = F − F

5

1 2 3 24 8 2

4 1 2 2 2 2 2 ;

5 5 5

A

  −

   

=  − + −  − + =

l’unité d’aire est de 2 cm² donc l’aire du domaine D est 48 16 2

5, 07 cm².

5

− ≈

IV. Intégrales et inégalités Corrigé

Exercice 21 :

1 2

0

e d 1

t

I t

t

= −

+

⌠

⌡ ^.

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par t t f

t

= +⁻ 1 ) e (

2

. Pour tout t de [0 ; 1], ( )f t ?0, donc

1 2

0

e d 0

1

t

t t

−

+

⌠

⌡ ? , c’est à dire I?0.

Exercice 22 : f est la fonction définie sur

[ ]

^{0;1 par}

x x x

f = +

) 1 (

2

. On note ¹

0 ( )d

I =

∫

f x x^. a) Pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1], on a successivement :

1 1

0 1 puis 1 1 2 et 1

2 1

t t

+ t

; ; ; ; ; + ; ;

donc pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1], on a : 1

0 1

1 t+

; ; , puis, en multipliant par t², qui est positif, on obtient :

2

0 2

1

t t

+t

; ; , c’est-à-dire 0; f t( );t².

b) Puisque pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1], 0; f t( );t², on en déduit que

^{1 1 2}

0 0

0^;

∫

f t( )dt^;

∫

t dt^.

Or, 3

1 3

d 1

1

0 1 3

0

2  =



∫

^{t t}= ^{t ; d’où : 0; ;I 1}₃^.

Exercice 23 :

a) Soit t un réel strictement positif : alors 0<t²;1+t², puis 1 ₂ 1₂ 1 t+ ;t .

b) On en déduit que si n est un entier naturel non nul, alors pour tout réel t de l’intervalle [1 ; n],

2 2

1 1

1 t+ ;t , puis que _{2 2}

1 1

1 1

d d

1

n n

t t

t t

+

⌠ ⌠

 

⌡ ^;⌡ ^.

Or, ₂

1 1

1 1 1 1 1

d 1

1

n n

t t t n n

   

= −  = − − − = − 

⌠

⌡ ; on a donc : ₂

1

1 1

d 1

1

n

t t −n +

⌠

⌡ ^{; .}

Exercice 24 :

1. ^{I =}

∫

₀^{1x2ln(x+1)dx.}

Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], 1;x+1 2; , puis 0;ln(x+1);ln 2 et x²?0,

MATHOVORE.FR

donc 0;x²ln(x+1);x²ln 2. On en déduit que ^{1 2 1 2}

0 0

0^;

∫

x ln(x+1)dx^;ln 2

∫

x xd ^.

Or, 3

1 3

d 1

1

0 1 3

0

2  =



∫

^{x x}= ^{x . D’où : 0 ln 2}

I 3

; ; . 2. ^{I =}

∫

₀^{1(1−x)e−xdx.}

Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], 0 1; −x;1 et e^−x?0, donc 0;(1−x)e^−x;e^−x.

On en déduit que ^{1 1}

0 0

0^;

∫

(1−x)e d^−x x^;

∫

e d^−x x^.

Or, ^{1 1 1}

0 0

e d e e ( 1) 1 1

e

x x

− x= − −  = − − − − = −

∫

^{. D’où : 0 1 1}

I −e

; ; .

Exercice 25 : F est la fonction définie sur

[

0;+∞

[

par

3 0

( ) d

1

x t

F x

= t

+

⌠

⌡ ^.

Soit f la fonction définie sur

[

0;+∞

[

par

1 3

) 1 (

t t

f = + ^.

Pour tout réel positif t, on a successivement : t³?0 ; 1+t³?1 ; 1+t³ ?1, puis

3

1 1

1 t+ ; . On en déduit que

3 0

0

1 d 1 d

1

x

t x t

t ⋅

+

⌠

⌡ ^;

∫

^.

Or,

∫

₀^x1⋅^dt=

[ ]

^t ₀^x =^x. Donc, pour tout réel x positif, F x( );x. Exercice 26 : On connaît le tableau de variation

d’une fonction f définie sur

[ ]

^{0;5 :}

D’après le tableau de variation, pour tout x de l’intervalle [0 ; 2], 1− ; f x( );2 , donc

2 2 2

0 −1dx 0 f x x( )d 0 2dx

∫

^;

∫

^;

∫

^{, puis 2− ; ;I 4.}

De même, pour tout x de [2 ; 5], 1; f x( );2, donc ^{5 5 5}

21dx 2 f x x( )d 22dx

∫

^;

∫

^;

∫

^{, puis 3;J ;6.}

V. Suites et intégrales Corrigé

Exercice 25 : La suite (u_n) est définie pour tout entier naturel n, par ¹

0 ⁿe d^x un =

∫

x ⁻ x a) Pour tout entier n, on a : pour tout x de

[ ]

^{0;1 , xn?0 et e−x >0 donc xne−x?0 ;}

donc pour tout entier naturel n : ¹

0xⁿe d^−x x 0

∫

^{? soit un?0.}

b) Pour tout entier naturel n ,

( ) ^{( )}

1 1 1 1 1 1

1 0 ⁿ e d^x 0 ⁿe d^x 0 ^{n n} e d^x 0 ⁿ 1 e d^x

n n

u ₊ − =u

∫

x ^{+ −} x−

∫

x ⁻ x=

∫

x ⁺ −x ⁻ x=

∫

x x− ⁻ x ^; or sur

[ ]

^0;1 , pour tout entier naturel n , xⁿ?0, e^−x >0 et x−1 0;

donc sur

[ ]

^{0;1 , xn}

(

^{x−1 e}

)

^{−x;0 et donc}

∫

₀^1xn

(

^{x−1 e d}

)

^{−x x;0 soit un}+¹−^un;⁰.

1

n n

u ₊ ;u donc la suite (u_n) est décroissante .

c) La suite (u_n) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un réel l.