D657. Polygones ´ equiangles
Soit un ensemble deN vecteurs non nuls dont la somme est nulle.
Mis bout `a bout, ils forment un polygone `aN cˆot´es, convexe si les vecteurs sont pris dans l’ordre de leur orientation, ´equi-angle si les orientations r´epondent `a la formulej2π
N (j ∈[0..N−1]).
Pour un tel ensemble ´equi-angle, on peut ajouter une mˆeme valeur quelconque au module des N vecteurs sans changer leur somme. Donc, si on connait un hexagone ou un dod´ecagone ´equi-angle compos´e de cˆot´es de 1 `a 6, ou de 1 `a 12, on en d´eduit directement les figures demand´ees.
Soit un ensemble deP vecteurs dont la somme des vecteurs unitaires est nulle.
On peut ajouter une mˆeme valeur quelconque au module desP vecteurs sans modifier leur somme. Si un tel ensemble est de plus ´equi-angle, on l’appelle une ”P-´etoile”. 2 P-´etoiles sont dites ”semblables” si les vecteurs de mˆeme orientation diff`erent en module d’une quantit´e constante.
Le principe de cr´eation des polygones sera de composer l’ensemble des N vecteurs `a partir de Q P-´etoiles semblables (N = P ×Q), en leur don- nant des orientations ´equi-angles. P et Q doivent ˆetre premiers entre eux pour
´
eviter des conflits sur les directions. Et la ”similitude” des P-´etoiles ne peut ˆ
etre obtenue qu’avec des ensembles de P nombres cons´ecutifs.
Hexagone :
on peut composer 3 2-´etoiles en triangle, ou 2 3-´etoiles en opposition; le r´esultat est le mˆeme
2-´etoiles = (1, 4) (2, 5) (3, 6)⇒1, 5, 3, 4, 2, 6 premi`ere 3-´etoile 1 2 3
deuxi`eme 3-´etoile 6 4 5
r´esultat 1 6 2 4 3 5
(il n’y a pas de variante possible en dehors des rotations et/ou sym´etrie) Dod´ecagone :
on peut composer 3 4-´etoiles en triangle, ou 4 3-´etoiles en quadrature;
il y a plusieurs variantes parce qu’on peut permuter les vecteurs `a l’int´erieur des P-´etoiles d’une part, et entre P-´etoiles d’autre part, `a condition de garder le sens et la place du premier vecteur.
premi`ere 3-´etoile 1 2 3
deuxi`eme 3-´etoile 4 5 6
troisi`eme 3-´etoile 9 7 8
quatri`eme 3-´etoile 11 12 10
r´esultat 1 11 9 4 2 12 7 5 3 10 8 6
(repr´esentation graphique ci-dessous)
1
)
Le proc´ed´e se g´en´eralise pour les polygones `aNcˆot´es (N =P×Q) `a condition que P et Q soient premiers entre eux.
Par exemple :
N = 10 avec 2 5-´etoiles en opposition 10 : 1, 9, 2, 10, 3, 6, 4, 7, 5, 8
N = 15 avec 5 3-´etoiles `a 72o
15 : 1, 9, 14, 4, 12, 2, 7, 15, 5, 10, 3, 8, 13, 6, 11 N = 18 (k = 3) avec 2 9-´etoiles en opposition
18: 1, 15, 2, 16, 3, 17, 4, 18, 5, 10, 6, 11, 7, 12, 8, 13, 9, 14 N = 36 (k = 6) avec 4 9-´etoiles en quadrature
36: 1, 17, 25, 31, 2, 18, 25, 32, 3, 10, 26, 33, 4, 11, 27, 34, 5, 12, 19, 35, 6, 13, 20, 36, 7, 14, 21, 28, 8, 15, 22, 29, 9, 16, 23, 30
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