D657. Polygones équiangles
D6. Constructions avec règle et compas
Prouver qu'il est possible de construire un hexagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2018,2019,2020,2021,2022 et 2023.
Prouver qu'il est possible de construire un dodécagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017 et 2018.
Pour les plus courageux: montrer qu'il est possible de construire pour tout entier k ≥ 1, un 6k-gone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 1,2,3,...,6k.
Solution de Marie-Christine Piquet
Si un hexagone est équiangle , alors , par définition ses angles sont égaux et valent 120° . Par conséquent ses côtés opposés sont parallèles . Appelons : "hexagone primitif" , un hexagone équiangle , s'il existe , dont les côtés mesurent respectivement : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
Si cet hexagone existe , ses côtés opposés sont parallèles ; alors l'hexagone (a + m, b + n , c + p , d + m , e + n , f + p)
est aussi équiangle ; puisqu'on agrandit à trois reprises les côtés opposés d'une même longueur : m , n puis p.
Si a , b , c , d , e , f sont les six côtés de l'hexagone dans cet ordre , alors a + b = d + e ; b + c = e + f & c + d = f + a
La somme des vecteurs a + b + c + d + e + f est nulle si on applique la relation de Chasles . vecteurs
module
a 1
b 4
c 5
d 2
e 3
f
6 a+b+c+d+e+f X +1 +2 -2.5 -2 -1.5 +3 = 0 Y 0 2V3 5V3 /2 0 -3V3 /2 -3V3 = 0
L'hexagone (a,b,c,d,e,f) = (1,4,5,2,3,6) est équiangle .On conserve l'ordre des valeurs dans le sens direct sur la figure ,
puisque l'hexagone ( 1,6,3,2,5,4) est aussi équiangle puisque symétrique .
Q1:
Si m = n = p = 2017 , l'hexagone (1+2017 , 4+2017 , 5+2017 , 2+2017 , 3+2017 , 6+2017) est équiangle . C'est le cas pour l'hexagone (2018 , 2021 , 2022 , 2019 , 2020 , 2023) .
Q2:
On doit construire maintenant un dodécagone équiangle primitif de côtés : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 . On peut l'appeler 2-6-gone ; (2x6 est la longueur du plus grand côté) .
1) On duplique l'hexagone primitif (1,4,5,2,3,6) puis on effectue avec le second une rotation de 180 x (1 - 10/12) = 30°
2) On allonge sur un des 2 hexagones tous ses côtés d'une longueur de 6 ; les 12 côtés sont de longueurs distinctes et correctement orientés . Le second hexagone devient H30 (7,10,11,8,9,12) (c'est lui qui tourne de 30°).
3) On garde les orientations de chacun des 12 côtés et on fait l'assemblage suivant afin de construire le dodécagone équiangle 6-2-gone : (1,7,4,10,5,11,2,8,3,9,6,12) . Ce polygone est un dodécagone équiangle primitif .
4) On effectue une dernière transformation qui consiste à allonger 2 par 2 les douze côtés d'une longueur de 2006 .
Ainsi , un des dodécagones équiangles recherchés est celui-ci :
(2007,2013,2010,2016,2011,2017,2008,2014,2009,2015,2012,2018).
Q3:
Construction d'un 6-4-gones équiangle :
1) On duplique le dodécagone primitif puis on effectue avec le second une rotation de 180° x (1 - 22/24) = 15° .
2) On allonge sur un des 2 polygones ses 12 côtés d'une longueur de 12 . Ce qui donne un nouveau décagone équiangle:
(13,19,16,22,17,23,14,20,15,21,18,24)
3) les orientations de chacun des 24 côtés étant conservées , on procède de la même manière pour construire le 6-4-gone équiangle : (1,13,7,19,4,16,10,22,5,17,11,23,2,14,8,20,3,15,9,21,6,18,12,24) .
Pour construire un 6-3-gone ou octadécagone équiangle : 1) On dessine 3 hexagones primitifs (1,4,5,2,3,6).
2) On tourne le second de 180° x (1 - 16/18) = 20° , puis on allonge tous ses côtés d'une même longueur : 6 On obtient l'hexagone (7,10,11,8,9,12)
3) On tourne le troisième de 40° puis on allonge tous ses côtés d'une même longueur : 12 On obtient l'hexagone (13,16,17,14,15,18)
4) En conservant toutes les orientations on effectue l'assemblage suivant : (1,7,13,4,10,16,5,11,17,2,8,14,3,9,15,6,12,18)
Pour construire un 6-k-gone on procède de la même façon : 1) On construit k hexagones équiangles primitifs .
2) On ne touche pas au premier , mais on tourne respectivement chacun des k-1 autres d'un angle de :
60° x 1/k pour le premier ; d'un angle de 60° x 2/k pour le troisième ...d'un angle de 60° x (k-1)/k pour le dernier .
3) On agrandit les côtés du second de 6 unités , les côtés du troisième de 2 x 6 = 12 unités ... les côtés du kième d'une valeur de (k-1) x 6 unités .
4) Les orientations des 6k côtés étant respectées , l'assemblage se fait en suivant la même logistique que pour le 3-6-gone ci-dessus .
Voici un des dodécagones équiangles primitifs . ( de côtés 1 , 2 ... 11,12).
n.b. Logiquement , (mais je n'ai pas vérifié) s'il n'existe qu'un hexagone primitif (sans tenir compte des symétries), il y a alors 6 dodécagones équiangles constructibles . En effet , si l'hexagone rouge
(7,10,11,8,9,12) est tourné de 90° au lieu de 30° après assemblage , on obtient
alors le dodécagone ( 1,12,4,7,5,10,2,11,3,8,6,9) tout aussi équiangle ; (loi de Chasles oblige) . Les 6 rotations alors possibles de l'hexagone rouge (7,10,11,8,9,12) sont : 30° , 90° , 150° , 210° , 270° & 330°
Il y aurait alors donc au moins 36 octadécagones constructibles sans les symétries et leurs rotations . Si je n'ai pas fait d'erreur , il y aurait pour finir au moins 6 k-1 6k-gones équiangles constructibles puisque chacun des k hexagones peut permuter avec un autre et aussi posséder 6 positions angulaires de raison 60° .
Il y en a même beaucoup plus puisque les symétries ne sont pas prises en compte .
