Prouver qu'il est possible de construire un hexagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2018,2019,2020,2021,2022 et 2023.
Prouver qu'il est possible de construire un dodécagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017 et 2018.
Pour les plus courageux: montrer qu'il est possible de construire pour tout entier k ≥ 1, un 6k-gone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 1,2,3,...,6k.
Les cotés de cet hexagone sont donc parallèles à ceux d’un hexagone régulier.
Soient a, b, c, d, e, f les longueurs des cotés pris consécutivement. Les cotés de
longueur a et d sont parallèles, et en projection parallèlement et perpendiculairement à ces cotés, on obtient (puisque cos(π/3)=1/2) a-d+(b-c-e+f)/2=0 et b+c-e-f=0, donc b-e=f-c=d-a=±3 : ainsi b-a=4, c-a=2, d-a=3, e-a=1, f-a=5 convient, ce qui donne pour les nombres de l’énoncé a=2018, b=2022, c=2020, d=2021, e=2019, f=2023.
Pour un dodécagone régulier, ou plus généralement un 6k-gone régulier, on remarque que l’on peut construire k hexagones réguliers de cotés égaux et parallèles à chaque ensemble de cotés pris de k en k. Il suffit alors de découper l’ensemble des longueurs en k ensembles de 6 nombres consécutifs, de construire les k hexagones équiangles correspondants, avec des cotés parallèles à ceux de chacun des hexagones réguliers, pour pouvoir reconstituer le 6k-gone demandé.
Par exemple on aura un dodécagone dont les cotés impairs seront 2007, 2011, 2009, 2010, 2008, 2012 et les cotés pairs 2013, 2017, 2015, 2016, 2014, 2018 (et autant de solutions que de rotations et symétries dans ces ensembles...)
