D263 – La chèvre de Monsieur Seguin
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre. Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La chèvre fait comprendre à son maître que ne sachant pas nager, elle ne se sauvera plus mais en contrepartie il lui faut au moins 1000 m² d’herbe à brouter. Prouver qu’avec 80 mètres de clôture, Mr Seguin peut installer son enclos et déterminer le nombre minimal de poteaux dont il a besoin ?
Solution par Patrick Gordon
Soit n le nombre de côtés de la clôture (donc n + 1 le nombre de poteaux utilisés). L'enclos aura la forme d'un polygone à n + 1 côtés, dont un formé par le bord rectiligne du ruisseau.
Pour n donné, l'aire sera maximale si le polygone est convexe et est la moitié d'un polygone régulier.
En effet, le théorème isopérimétrique (connu, nous dit Wikipédia, au moins depuis Zénodore – 2ème siècle av. JC) nous enseigne que, à périmètre donné, le k-gone d'aire maximale est le k- gone régulier.
Si donc l'enclos est un (n+1)-gone quelconque de périmètre L ≤ 80 m donné (bord du ruisseau non compris, ou encore : longueur de la clôture seule), en le complétant par symétrie par rapport au bord du ruisseau et en supprimant celui-ci, on obtient un (2n)-gone de périmètre 2L dont l'aire est double de celle de l'enclos. Mais alors, de par le théorème isopérimétrique, ce dernier (2n)-gone peut être remplacé par un (2n)-gone de même périmètre et d'aire supérieure, également symétrique par rapport au bord du ruisseau et dont la moitié répondra donc à la condition L ≤ 80 m avec une aire supérieure.
Pour la suite des calculs, nous aurons besoin tout d'abord de relier l'aire S d'un demi 2n-gone régulier à son côté c.
Les angles au centre d'un 2n-gone régulier valent /n. L'aire d'un des 2n quartiers est donc ½ R² sin (/n) (R étant le rayon de son cercle circonscrit) et l'aire 2S du 2n-gone est donc :
1) 2S = n R² sin (/n) Quant au côté, il vaut :
2) c = 2R sin (/2n).
Pour chercher l'aire S maximale, on a évidemment intérêt à saturer la contrainte L ≤ 80 m et donc à prendre c = 80/n.
On a alors, par (2) :
R = 40 / n sin (/2n) Soit, en reportant dans (1) :
S = 800 sin (/n) / n sin² (/2n)
= 1600 cot (/2n) / n
Au moyen d'un tableur, on détermine que la valeur S = 1000 m² n'est atteinte qu'à partir de n = 7, pour laquelle on trouve S = 1001,43…
La réponse est donc qu'il faut au minimum 8 poteaux.
